9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高三学情摸底考试数学试题答案



江苏省海州高级中学 2015 届高三年级暑期学情摸底考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题 纸 相应位 .. . ... 置上 . .. 1.设全集 U ? {x | x ? 1} ,集合 A ? U .若 ?U A ? {x | x ? 9} ,则集合 A ? 答案: ?x 1 ? x≤9? . 2.已知复数

z ? a ? 3i ( i 为虚数单位, a ? 0 ) ,若 z 2 是纯虚数,则 a 的值为 答案:3. 3.抛物线 y 2 ? x 的焦点到准线的距离为 答案: 1 . 2 4.命题“ ? x∈R,| x | +x ≥ 0 ”的否定 是 .. 2 答案:否定为“?x0∈R,|x0|+x0<0”. 5.设 a =log 3 7 ,b= 2
1.1
2

.

.

.

.

,c =0.83.1,则 a、b、c 从小到大排列为

.

答案:c<a<b. 6.从某校高三年级随机抽取一个班,对该班 45 名学生的 高校招生体检表中视力情况进行统计, 其结果的频率分布 直方图如右图.若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上, 则该班学生中能报 A 专业的人数为 . 答案:18. 7.一个长方体的各顶点均在同一球面上, 且一个顶点上的 三条棱的长分别为 1, 2, 3, 则此球的表面积为 . 答案: 14 ? .
2 2 8.已知圆 O : x ? y ? 5 ,直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1

频率 组距

1.75

1.00 0.75 0.50 0.25 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 视力 (第 6 题)

(0 ?? ?

?
2

) ,设圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ,则 k ?

.

答案:4. 9.若将函数 f(x)=sin 2 x+cos 2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的最小正值是 . 答案:φ
min=

3π . 8
高三数学试题第 1 页(共 4 页)

10.有 5 条线段,其长度分别为 1,3,5,7,9.现从中任取 3 条,恰能构成三角形的概率

为 答案: 3 . 10

.

11.若函数 f(x)=| x+1 |+| 2 x+a | 的最小值为 3,则实数 a 的值为 . 答案:-4 或 8. 12.设 a>0,b>0,4 a+b=a b,则在以(a,b)为圆心,a+b 为半径的圆中,面积最小 的圆的标准方程是 . 2 2 答案: (x-3) +(y-6) =81. 4 1? 4 1 4a b 解析:∵ + =1,∴(a+b) ·? ?b+a?=5+ b +a≥5+2 4=9.当且仅当 b=2a 时,等号 b a 成立.即 b=6,a=3,∴圆的标准方程为(x-3)2+(y-6)2=81. 13.如图,偶函数 f ( x) 的图象形如字母 M,奇函数 g ( x) 的图象形如字母 N,若方程:

f ( f ( x)) ? 0 , f ( g ( x)) ? 0 , g ( g ( x)) ? 0 , g ( f ( x)) ? 0 的实数根的个数分别为 a、b、
c、d,则 a ? b ? c ? d = y
1 -1 -2 -1

.

y
y ? f ( x)
1 2 x 2

y ? g ( x)

O
-1

O
-2

1

x

答案:30. 14.已知 [x)表示大于 x 的最小整数,例如[3)=4,[-1.3)=-1.下列命题:①函数

f ( x) ? [ x) ? x 的值域是 (0, 1]; ②若 {an } 是等差数列, 则 {[an )} 也是等差数列; ③若 {an }
是等比数列,则 {[an )} 也是等比数列;④若 x ?(1,2014) ,则方程 [ x ) ? x ?

1 有 2013 个 2

根.其中,正确命题的序号是 . 答案:①. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题 纸 指定位置 内作答,解答时应写出 .. . .... 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

) 的部分图象如图所示.

(1)写出 f ( x ) 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

?
2

,?

? ]上的最大值和最小值. 12

高三数学试题第 2 页(共 4 页)

16.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 为菱形 ABCD 对角线的交点,M 为棱 PD 的中点,MA=MC. (1)求证:PB // 平面 AMC; (2)求证:平面 PBD ? 平面 AMC. P

M O D A O
(第 16 题)

C B

证明: (1)连结 OM ,因为 O 为菱形 ABCD 对角线的交点, 所以 O 为 BD 的中点,又 M 为棱 PD 的中点,所以 OM // PB ,
高三数学试题第 3 页(共 4 页)

?? 2 分

又 OM ? 平面 AMC, PB ? 平面 AMC,所以 PB // 平面 AMC; ?? 6 分 (2)在菱形 ABCD 中,AC ? BD,且 O 为 AC 的中点, 又 MA ? MC,故 AC ? OM, ?? 8 分 而 OM BD ? O ,OM,BD ? 平面 PBD, 所以 AC ? 平面 PBD, ?? 11 分 又 AC ? 平面 AMC,所以平面 PBD ? 平面 AMC. ?? 14 分

17.(本小题满分 14 分) (如图)已知 A、 B 分别在射线 CM 、CN (不含端点 C )上运

2 ? ,在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c . 3 (1)若 a 、 b 、 c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值;
动, ?MCN ? (2)若 c ? 3 , ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大值.
M A

θ N B C

? a ? c ? 4 、b ? c ? 2 . 又 解析: (1) a 、b 、c 成等差, 且公差为 2,
2 2

?MCN ?

2 ?, 3

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? ? 1 1 a 2 ? b2 ? c2 1 cos C ? ? , ? ?? , ? ,恒等变形得 2 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ? 2 2ab 2
c2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7 或 c ? 2 .又
(2)在 ?ABC 中,

c ? 4 ,? c ? 7 .

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB

?

AC ? sin ?

BC 3 ?? ? ? ? 2 , AC ? 2 sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2 ? ?? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ? ?ABC 的周长 f ? ? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ?

高三数学试题第 4 页(共 4 页)

?1 ? 3 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 , 2 3? ? ?2 ?


? ? 2? ? ?? ?? ? 0, ? ,? ? ? ? ? , 3 3 3 ? 3?
?
3 ?

?当? ?

?
2

即? ?

? 时, f ? ? ? 取得最大值 2 ? 3 . 6
*

18.(本小题满分 16 分) 数列{ an }满足 a1 =1,n an ?1 =(n+1) an +n(n+1) ,n∈N . (1)证明:数列{
n

an }是等差数列; n

(2)设 bn = 3 · an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Sn . 解: (1)证明:由已知可得 为公差的等差数列. an 2 (2)由(1)得 =1+(n-1) ·1=n,所以 an=n ,从而可得 bn=n·3n. n Sn=1×3 +2×3 +?+(n-1)×3n +n×3n,① 2 3 +1 3Sn=1×3 +2×3 +?+(n-1)3n+n×3n .②
1 2 -1

?an? an+1 an an+1 an a1 = +1,即 - =1,所以? ?是以 =1 为首项,1 n+1 n n+1 n 1 ?n?

3·(1-3 ) (1-2n)·3 1 2 +1 +1 ①-②得-2Sn=3 +3 +?+3n-n·3n = -n·3n = 1- 3 2 (2n-1)·3 所以 Sn= 4
n+ 1

n

n+1

-3 ,

+3 .

19.(本小题满分 16 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F(1,0) ,A、B 是椭 圆 C 的左、右顶点,P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,且△APB 面积的最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D,证明:以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

高三数学试题第 5 页(共 4 页)

y P

D E

A

O

F

B

x

第 19 题 解析: (1)由题意可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) . a 2 b2

?1 ? 2 ? 2a ? b ? 2 3, ? 由题意知 ?c ? 1, 解得 a ? 2, b ? 3 . ? 2 2 2 ?a ? b ? c . ? 故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 .????????6 分 ? ?1 4 3 (2) 由题意, 设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) .则点 D 坐标为 (2, 4k ) ,BD 中点 E ? y ? k ( x ? 2), ? (2, 2 k ) 的坐标为 .由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4 16k 2 ? 12 6 ? 8k 2 x ? 设 点 P 的 坐 标 为 ( x0 , y0 ) , 则 ?2 x0 ? . 所 以 , 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 12k .??10 分 y0 ? k ( x0 ? 2) ? 3 ? 4k 2 1 3 因为点 F 坐标为 (1, 0) ,当 k ? ? 时,点 P 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ? 2) . 2 2 2 2 直线 PF ? x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2) ? ( y 1) ? 1 与直线 PF 相切.?11 分 y 4k 1 当 k ? ? 时 , 则 直 线 PF 的 斜 率 k PF ? 0 ? . 所 以 直 线 PF 的 方 程 为 x0 ? 1 1? 4 k2 2

y?

4k ( x ? 1) .??13 分 1 ? 4k 2
8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 16k 2 ?1 (1 ? 4k 2 ) 2
2 k ? 8k 3 1 ? 4k 2 ? ? 2 | k | .????15 分 1 ? 4k 2 |1 ? 4 k 2 |

点 E 到直线 PF 的距离 d ?

高三数学试题第 6 页(共 4 页)

1 | BD | .故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 2 综上得,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. ?????????16 分
又因为 | BD |? 4 | k | ,所以 d ? 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? e? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e 围;
3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1, ?? ) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e
a ?1
?x

? m ? 1 在(0, ?? )上恒成立,求实数 m 的取值范

与a

e ?1

的大小,并证明你的结论.
?x

解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为 R ,关于原点对称;又因为 f (? x) ? e 所以函数 f ( x) 是 R 上的偶函数; ( 2 ) mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 ? m(e ? e ) ? e
x ?x ?x

? ex ? f (x) ,

? m ?1 ,即 m(ex ? e? x ? 1) ? e? x ? 1;令

1 t ? e? x ( t ? 0) ;因为 e x ? e ? x ? 1 ? t ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ,当且仅当 t ? 1 时,等号成立; t 1 ?1 t (t ? 2) 1? t 1? t 故m ? t , 令 h(t ) ? 2 , 下只要求 m ? hmin (t ) . h '(t ) ? 2 ; ? 2 1 t ? t ?1 ( t ? t ? 1) t ? t ? 1 t ? ?1 t
则当 t ? 2 时, h '(t ) ? 0 ;则当 0 ? t ? 2 时, h '(t ) ? 0 ;因此可知当 t ? 2 时,

1 1 1 hmin (t ) ? h(2) ? ? ;则 m ? ? . 综上可知,实数 m 的取值范围为 ( ?? , ? ] . 3 3 3
(3)难题分解 1:如何根据条件求出参数 a 的取值范围? 分解路径 1:直接求函数的最值(笔者称其为“单刀直入”法) 解:令 g ( x0 ) ? f ( x0 ) ? a(?x03 ? 3x0 ) ,只要在 x0 ?[1, ??) 上, g ( x0 ) min ? 0 即可.

g '( x0 ) ?

(e x0 ) 2 ? 1 ? 3a( x0 2 ? 1) . 且当 x0 ? 1 时, g '( x0 ) ? 0 ;当 x0 ? 1 时, x02 ?1 ? 0 , x0 e

(e x0 )2 ? 1 ? 0 ,则 g '( x0) ?0 . 故在区间 [1, ??) 上, g '( x0 ) ? 0 ,即函数 g ( x0 ) 为 [1, ??)
高三数学试题第 7 页(共 4 页)

e ? e ?1 的增函数,则 gmin ( x0 ) ? g (1) ? e ? e ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 2
?1

分解路径 2:参数分离可以吗?

解:欲使条件满足,则 x0 ? 1, 3 (想想这是为什么?留给大家思考.)
3 此时 ? x0 ? 3x0 ? 0 ,则 a ?

? ?

f ( x0 ) f ( x0 ) ,构造函数 g ( x0 ) ? ,即求此函数在 3 3 ? x0 ? 3x0 ? x0 ? 3x0

x0 ? 1, 3 上的最小值.
g ?( x 0 ) ?
3 2 (e x0 ? e ? x0 )(? x0 ? 3x0 ) ? (e x0 ? e ? xo )(?3x0 ? 3) 3 2 (? x0 ? 3x0 )

? ?

因 为 x0 ? 1, 3 , e

? ?

x0

3 2 ? e? x0 ? 0,?x0 ? 3x0 ? 0, ex0 ? e? x0 ? 0,?3x0 ? 3 ? 0 ,, 则

3 2 (ex0 ? e? x0 )(? x0 ? 3x0 ) ? (ex0 ? e? x0 )(?3x0 ? 3) ? 0 . 则 g ?( x 0 ) ? 0 在 x0 ? 1, 3 上 恒

? ?

成立,故 g ( x 0 ) min ? g (1) ?

e ? e ?1 e ? e ?1 ,故 a ? 2 2 .

难题分解 2:如何根据求得的参数 a 的取值范围比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小? 分解路径 1: (取对数) e
a ?1

与a

e ?1

均为正数,同取自然底数的对数,即比较 (a ? 1) ln e 与

(e ? 1) ln a 的大小,即比较

ln e ln a ln x ( x ? 1) , 与 的大小. 构造函数 h( x) ? e ?1 a ?1 x ?1

则 h?( x ) ?

1?

1 ? ln x 1 1? x x , 再设 m( x) ? 1 ? ? ln x ,m?( x) ? 2 , 从而 m( x) 在 (1,??) 上 2 ( x ? 1) x x
ln x 在 x ?1

单调递减,此时 m( x) ? m(1) ? 0 ,故 h?( x) ? 0 在 (1,??) 上恒成立,则 h( x) ?

(1,??) 上单调递减.


e ? e ?1 ? a ? e 时, ae?1 ? ea ?1 ;当 a ? e 时, e a?1 ? a e?1 ;当 a ? e 时, a e?1 ? e a?1 . 2
a ?1

分解路径 2: (变同底,构造函数比大小)要比较 e

与a

e ?1

的大小,由于 a

e ?1

? e( e?1)ln a ,

高三数学试题第 8 页(共 4 页)

a e?1 [( e ?1)ln a ? ( a ?1)] 那么 a ?1 ? e ,故只要比较 a ? 1 与 (e ? 1) ln a 的大小. e
令 h( x) ? (e ? 1) ln x ? ( x ? 1) , 那 么 h '( x) ?

e ?1 ? 1 , 当 x ? e ? 1 时 , h '(x )? 0; 当 x

0 ? x ? e ? 1 时, h '( x) ? 0 ;所以在区间 (0, e ? 1) 上, h( x) 为增函数;在区间 (e ? 1, ??)
上, h( x) 为减函数.

e ? e?1 e ? e ?1 ? a ? e 时, ) ? 0 ;那么当 又 h(e) ? 0 , h(1) ? 0 , 则 h(e ? 1)? 0, h( 2 2
h(a ) ? 0, eh ( a ) ? 1 , ae?1 ? ea ?1 ;当 a ? e 时, h(a) ? 0 , 0 ? eh( a ) ? 1 , ae?1 ? ea ?1 .
综上所述,当

e ? e ?1 ? a ? e 时,当 a ? e 时, e a?1 ? a e?1 ;当 a ? e 时, a e?1 ? e a?1 . 2

高三数学试题第 9 页(共 4 页)



更多相关文章:
2015届高三学情摸底考试数学试题答案
江苏省海州高级中学 2015 届高三年级暑期学情摸底考试数学试题一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题 纸 相应位 ......
江苏省苏锡常镇四市2015年高三教学情况调研(二)数学试题及答案
江苏省苏锡常镇四市2015高三教学情况调研(二)数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年度苏锡常镇四市高三数学调研(二模)试卷 2015/05/04 一...
连云港、徐州、宿迁三市2015届高三第三次模拟考试数学试题 含答案
连云港、徐州、宿迁三市 2015 届高三第三次模拟考试高三数学试题 第 4 页(共 13 页) 数学Ⅱ(附加题)注意事项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 ...
河北唐山市2015届高三摸底考试数学(文)试题 Word版含答案
河北唐山市2015届高三摸底考试数学(文)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区...m | (m>0) m 唐山市 2014—2015 学年度高三年级摸底考试 文科数学参考答案...
2015年高考数学模拟试题及答案
2015年高考数学模拟试题答案_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学模拟试题答案 2015 年高考数学模拟试题答案本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)...
江苏省泰州市2015届高三第二次模拟考试数学试卷及答案
an xn . 2014~2015 学年度泰州市第二次模拟考试 高三数学参考答案一、填空题 1. 2 ; 6. 3 ; 2. {4} ; 7. 3. 16 ; 8. 64 ; 4. 2 ; 9. ...
河北省邢台市2015届高三摸底考试数学理试题 Word版含答案
河北省邢台市2015届高三摸底考试数学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。河北省邢台市 2015 届高三摸底考试数学试题(word 版)本试卷分第 I 卷和第...
江苏省南京市2015届高三学情调研数学试题(含附加题)
江苏省南京市2015届高三学情调研数学试题(含附加题)_高三数学_数学_高中教育_教育...题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本 试卷...
江苏省苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研数学试题
2014-2015 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学试题一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接...
山东省沂水一中2015届高三12月学情调查数学(文)试题 Word版含答案
山东省沂水一中2015届高三12月学情调查数学(文)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。沂水一中 12 月份学情调查高三数学(文科)(考试时间:120 分钟 总分:15...
更多相关标签:
2017高三摸底语文试题    高三摸底考试生物试题    高三物理摸底考试试题    高三摸底考试语文试题    高三物理试题及答案    高三数学试题及答案    高三英语试题及答案    高三化学试题及答案    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图