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2015年高考数学试题分项版解析 专题05 平面向量 理(含解析)



专题 05 平面向量
1.【2015 高考新课标 1,理 7】设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则( ) (A) AD ? ? (C) AD ? 【答案】A 【解析】由题知 AD ? AC ? CD ? AC ? 【考点定位】平面向量的线性运算 【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质,是 基础题,

解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量 AD 表示为 AC ? CD ,再用已知条件和向量减 法将 CD 用 AB, AC 表示出来. 2.【2015 高考山东,理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a , ?ABC ? 60 (A) ? 【答案】D 【解析】因为 BD ? CD ? BD ? BA ? BA ? BC ? BA BA 故选 D. 【考点定位】平面向量的线性运算与数量积. 【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识,重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌 握,属 基础题,要注意结合图形的性质,灵活运用向量的运算解决问题. 3.【2015 高考陕西,理 7】对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( A. | a ? b |?| a || b | C. (a ? b)2 ?| a ? b |2 【答案】B 【解析】 因为 a ? b ? a b cos a, b ? a b , 所以选项 A 正确; 当 a 与 b 方向相反时, a ? b ? a ? b 不 成立,所以选项 B 错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项 C 正确; a ? b 所以选项 D 正确.故选 B. B. | a ? b |?|| a | ? | b || D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b
2 2

1 4 AB ? AC 3 3

(B) AD ?

1 4 AB ? AC 3 3

4 1 AB ? AC 3 3

(D) AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

1 1 1 4 BC ? AC ? ( AC ? AB ) ? = ? AB ? AC ,故选 A. 3 3 3 3

,则 BD ? CD ? ( (D)



3 2 a 2

(B) ?

3 2 a 4

(C)

3 2 a 4

3 2 a 2 3 2 a 2

?

?

? ?

2

? BC ? BA ? a 2 ? a 2 cos 60 ?



?

?? a ? b ? ? a

2

?b2 ,

【考点定位】1、向量的模;2、向量的数量积. 【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积,属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“不” , 否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积,即 a ? b ? a b cos a , b ,

a2 ? a .
4. 【2015 高考四川, 理 7】 设四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? 6 , AD ? 4 .若点 M, N 满足 BM ? 3MC ,

2

DN ? 2 NC ,则 AM ? NM ? (
(A)20 【答案】C 【解析】 (B)15

) (C)9 (D)6

AM ? AB ?

3 1 1 AD, NM ? CM ? CN ? ? AD ? AB ,所以 4 4 3
2 2 1 1 1 1 (4 AB ? 3 AD) (4 AB ? 3 AD) ? (16 AB ? 9 AD ) ? (16 ? 36 ? 9 ?16) ? 9 ,选 C. 4 12 48 48

AM NM ?

【考点定位】平面向量. 【名师点睛】涉及图形的向量运算问题,一般应选两个向量作为基底,选基底的原则是这两个向量有尽量 多的已知元素.本题中,由于 AB ? 6 , AD ? 4 故可选 AB, AD 作为基底.

5.【2015 高考重庆,理 6】若非零向量 a,b 满足|a|= 为 A、 ( ) B、

2 2 |b|,且(a-b) ? (3a+2b) ,则 a 与 b 的夹角 3
3? 4

? 4

? 2

C、

D、 ?

【答案】A

【考点定位】向量的夹角. 【名师点晴】本题考查两向量的夹角,涉及到向量的模,向量的垂直,向量的数量积等知识,体现了数学 问题的综合性,考查学生运算 求解能力,综合运用能力. 6. 【2015 高考安徽, 理 8】??? C 是边长为 2 的等边三角形, 已知向量 a ,b 满足 ?? ? 2a ,?C ? 2a ? b ,

则下列结论正确的是( (A) b ? 1 【答案】D 【解析】如图,

) (B) a ? b (C) a ? b ? 1 (D) 4a ? b ? ?C

?

?

由题意, BC ? AC ? AB ? (2a ? b) ? 2a ? b ,则 | b |? 2 ,故 A 错误; | 2a |? 2 | a |? 2 ,所以 | a |? 1, 又 AB ? AC ? 2a ? (2a ? b) ? 4 | a |2 ?2ab ? 2 ? 2cos60 ? 2 , 所以 a ? b ? ?1, 故 B, C 错误; 设 B, C 中

B ? A C 点为 D , 则A
故选 D.

? A D 2

D ? B C , 且A

, 而 2A D ?2 a ?( 2a ? b) ? 4a ? b

, 所以 4a ? b ? ?C ,

?

?

【考点定位】1.平面向量的线性运算;2.平面向量的数量积. 【名师点睛】平面向量问题中,向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时,注意两个向 量的差 OA ? OB ? BA ,这是一个易错点,两个向量的和 OA ? OB ? 2OD ( D 点是 AB 的中点).另 外,要选好基底向量,如本题就要灵活使用向量 AB, AC ,当涉及到向量数量积时,要记熟向量数量积 的公式、坐标公式、几何意义等. 7.【2015 高考福建,理 9】已知 AB ? AC , AB ? , AC ? t ,若 P 点是 ?ABC 所在平面内一点,且

1 t

AP ?
A.13

AB AB

?

4 AC AC
B. 15

,则 PB ? PC 的最大值等于(



C.19

D.21

【答案】A 【解析】以 A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示, 则 B ( , 0) , C (0, t ) , AP ? (, 1 0)+4(0,1)=(1,4) , 即

y C P B A x

1 t

1 P ( 1,4),所以 PB=( ? 1,-4) , PC=(?1 ,t-4),因此 t

PB ? PC
1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 4t ? 16 ? 17 ? ( ? 4t ) ,因为 ? 4t ? 2 ? 4t ? 4 ,所以 PB ? PC 的最大值等于 13 ,当 ? 4t , t t t t t
即t ?

1 时取等号. 2

【考点】1、平面向量数量积;2、基本不等式. 【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算,通过构建直角坐标系,使得向量运算完全代数化, 实现了数形的紧密结合,同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题,本题容易出错的地方是对

AB AB

的理解不到位,从而导致 解题 失败.

8.【2015 高考北京,理 13】在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC , 则x? 【答案】 ;y? .

1 1 ,? 2 6

【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算,利用向量相等解题. 【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算,利用向量相等条件求值,本题属于基础题.利用 坐标运算要建立适当的之间坐标系,准确写出相关点的坐标、向量的坐标,利用向量相等,列方程组,解 出未知数的值.

9.【2015 高考湖北,理 11】已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? 【答案】9 【解析】因 为 OA ? AB , | OA |? 3 , 所以 OA ? OB ? OA? (OA ? AB) ?| OA |2 ?OA? OB ?| OA |2 ? 32 ? 9 . 【考点定位】 平面向量的加法法则,向量垂直,向量的模与数量积.

.

【名师点睛】平面向量是新教材新增内容,而且由于向量的双重“身份”是研究一些数学问题的工具.这类 问题难度不大,以考查基础知识为主. 10. 【2015 高考天津, 理 14】 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,动点 E 和 F 为 【答案】 分 别 在 线 段 BC . 和 DC 上 , 且 , BE ? ? BC , DF ?

1 DC , 9?

则 AE ? AF 的 最 小 值

29 18

【解析】因为 DF ?

1 1 1 1 ? 9? 1 ? 9? DC , DC ? AB , CF ? DF ? DC ? DC ? DC ? DC ? AB , 9? 2 9? 9? 18? 1 ? 9? 1 ? 9? AB ? AB ? BC , AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC , AF ? AB ? BC ? CF ? AB ? BC ? 18? 18?
2 2 1 ? 9? ? ? 1 ? 9? ? 1 ? 9? ? AE ? AF ? AB ? ? BC ? ? AB ? BC ? ? AB ? ? BC ? ?1 ? ? ? ? AB ? BC 18? ? ? 18? ? 18? ?

?

?

?
当且仅当

1 ? 9? 19 ? 9? 2 1 17 2 1 17 29 ?4?? ? ? 2 ? 1 ? cos120? ? ? ?? ?2 ? ?? ? 18? 18 9? 2 18 9? 2 18 18

2 1 2 29 ? ? 即 ? ? 时 AE ? AF 的最小值为 . 9? 2 3 18

D F

C E

A

B

【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式. 【名师点睛】 本题主要考查向量的几何运算、 向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求 AE, AF ,

体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算 AE ? AF ,体现了数学定义的运用,再利用基 本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.

e1 ? e 2 ? 11. 【2015 高考浙江, 理 15】 已知 e1 , e2 是空间单位向量,

1 5 , 若空间向量 b 满足 b ? e1 ? 2, b ? e 2 ? , 2 2
, y0 ? ,

且对于任意 x, y ? R , b ? ( xe1 ? ye2 ) ? b ? ( x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1( x0 , y0? R) ,则 x0 ?

b?



【答案】 1, 2 , 2 2 .

【考点定位】1.平面向量的模长;2.函数的最值 【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解,属于较难题,分析题意可得问 题等价于 b ? ( xe1 ? ye2 ) 当且仅当 x ? x0 , y ? y0 时取到最小值 1,这是解决此题的关键突破口,也是最 小值的本质,两边平方后转化为一个关于 x , y 的二元二次函数的最值求解,此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生,此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解,关于二元二次 函数求最值的问题,在 14 年杭州二模的试题出现过类似的问题,在复习时应予以关注. 12.【2015 高考新课标 2,理 13】设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________. 【答案】

1 2

k a ? 2b) 【解析】因为向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,所以 ? a ? b ? ( ,则 ?
【考点定位】向量共线.

?? ? k, 1 所以 ? ? . 2 ?1 ? 2k ,

【名师点睛】本题考查向量共线,明确平面向量共线定理,利用待定系数法得参数的关系是解题关键,属 于基础题.

13.【2015 江苏高考,14】设向量 ak ? (cos 为 【答案】 9 3 【解析】 ak ak+1 ? (cos

k? k? k? ,sin ? cos )(k ? 0,1, 2, 6 6 6

,12) ,则 ? (ak ak+1)的值
k ?0

11

k? k? k? (k ? 1)? (k ? 1)? (k ? 1)? ,sin ? cos ) ? (cos ,sin ? cos ) 6 6 6 6 6 6

? cos

k? (k ? 1)? k? k? (k ? 1)? (k ? 1)? cos ? (sin ? cos ) ? (sin ? cos ) 6 6 6 6 6 6 k? (k ? 1)? k? (k ? 1)? k? (k ? 1)? k? (k ? 1)? k? (k ? 1)? cos ? sin sin ) ? (sin cos ? cos sin ) ? cos cos 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
? sin 2k? ? ? k? (k ? 1)? 3 2k? ? ? 3 k? 1 k? k? ? cos cos ? ? sin ? cos 2 ? cos sin 6 6 6 2 6 2 6 2 6 6

? (cos
? cos ?

?
6

3 2k? ? ? 3 k? 1 k? 3 3 2k? ? ? 1 (2k ? 1)? ? sin ? (1 ? cos ) ? sin ? ? sin ? cos 2 6 4 3 4 3 4 6 2 6

因为 sin
11

2k? ? ? 1 (2k ? 1)? , cos 的周期皆为 6 ,一个周期的和皆为零, 6 2 6
3 3 ? 12 ? 9 3 . 4

因此 ? (ak ak+1) ?
k ?0

【考点定位】向量数量 积,三角函数性 质 【名师点晴】向量数量积在本题中仅是一个表示,实质是三角函数化简求和,首先根据角之间的差别与联 系,对通项进行重新搭配,对不可搭配的项再一次展开,重新配角搭配,这样将通项化为一次式,利用三 角函数周期性进行求和.作为压轴题,主要考查学生基础题型的识别与综合应用. 14. 【2015 江苏高考, 6】 已知向量 a= (2,1) , b= (1,?2) , 若 ma+nb= (9,?8) ( m, n ? R ), 则 m ? n 的值为______. 【答案】 ?3 【解析】由题意得: 2m ? n ? 9, m ? 2n ? ?8 ? m ? 2, n ? 5, m ? n ? ?3. 【考点定位】向量相等 【名师点晴】明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共 线的充要条件的坐标表示:若 a ? ( x1,y1 ), b ? ( x2,y2 ) ,则 a∥b ? x1 y2 -x2 y1 ? 0 .向量垂直的充要条件的 坐标表示:若 a ? ( x1,y1 ), b ? ( x2,y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 +y1 y2 ? 0 .

C 在圆 x ? y ? 1上运动, 15. 【2015 高考湖南, 理 8】 已知点 A ,B , 且 AB ? BC , 若点 P 的坐标为 (2, 0) ,
2 2

则 PA ? PB ? PC 的最大值为( A.6 B.7 C.8 D.9



【答案】B. 【解析】

【考点定位】1.圆的性质;2.平面向量的坐标运 算及其几何意义. 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算,向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题,属于中 档题,结合转化思想和数形结合思想求解最值,关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆 上点的距离的 最值问题,即圆 x ? y ? 1上的动点到点 (6,0) 距离的最大值.
2 2



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