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2016高考数学大一轮复习 9.8直线与圆锥曲线位置关系学案 理 苏教版


学案 52

直线与圆锥曲线位置关系

导学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.

自主梳理 1.直线与椭圆的位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若 Δ >0, 则直线与椭圆________; 若 Δ =0, 则直线与椭圆________; 若 Δ <0, 则直线与椭圆________. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 2 将直线方程与双曲线方程联立消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax +bx+c=0. ①若 a≠0,当 Δ >0 时,直线与双曲线________;当 Δ =0 时,直线与双曲线________; 当 Δ <0 时,直线与双曲线________. ②若 a=0 时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点. (3)直线与抛物线位置关系的判定方法 2 将直线方程与抛物线方程联立,消去 y(或 x),得到一个一元方程 ax +bx+c=0. ①当 a≠0,用 Δ 判定,方法同上. ②当 a=0 时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点. 2.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程

x2 y2 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一条弦, M(x0, y0)是 AB 的中点, 则 kAB=______, kAB?kOM a b
=________.点差法求弦的斜率的步骤是:

x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 a b a b x2 x2 y2 y2 1 2 1 2 ②两等式对应相减: 2- 2+ 2- 2=0. a a b b y1-y2 b2?x1+x2? b2x0 ③分解因式整理:kAB= =- 2 =- 2 . x1-x2 a ?y1+y2? a y0 x2 y2 (2)运用类比的手法可以推出:已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦,中点 M(x0,y0),则 kAB a b 2 =________________.已知抛物线 y =2px (p>0)的弦 AB 的中点 M(x0, y0), 则 kAB=________.
①将端点坐标代入方程: 2+ 2=1, 2+ 2=1. 3.弦长公式 直线 l:y=kx+b 与圆锥曲线 C:F(x,y)=0 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 2 则 AB= 1+k |x1-x2| 2 2 = 1+k ?x1+x2? -4x1x2 1 或 AB= 1+ 2|y1-y2|

k



1 2 1+ 2? ?y1+y2? -4y1y2.

k

自我检测 2 1.抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上 方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是________. 2 2 2 . 如 果 直 线 y = kx - 1 与 双 曲 线 x - y = 1 没有 公 共 点 , 则 k 的 取值范 围 是 ________________. 3.椭圆 + =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 12 3
1

x2

y2

那么点 M 的纵坐标是________. 1? → → ? 2 4.过点?0,- ?的直线 l 与抛物线 y=-x 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则OA?OB的 2? ? 值为________. 2 5.经过抛物线 y =4x 焦点的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,且 AB=8,则直线 l 的倾斜 角的大小为________.

探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 k 为何值时, 直线 y=kx+2 和曲线 2x +3y =6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?
2 2

1 2 变式迁移 1 已知抛物线 C 的方程为 x = y,过 A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物 2 线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是________________. 探究点二 圆锥曲线中的弦长问题 例2 如图所示,直线 y=kx+b 与椭圆 +y =1 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 4

x2

2

S.

(1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当 AB=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

2

变式迁移 2 已知椭圆的两焦点为 F1(- 3,0),F2( 3,0),离心率 e=

3 . 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l:y=x+m,若 l 与椭圆相交于 P,Q 两点,且 PQ 等于椭圆的短轴长,求 m 的值.

探究点三 求参数的范围问题 例 3 直线 m:y=kx+1 和双曲线 x -y =1 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(- 2,0)和线段 AB 的中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.
2 2

变式迁移 3 在平面直角坐标系 xOy 中, 经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 + 2 y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; → (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量OP → → +OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

x2

函数思想 例

x2 y2 x2 y2 (14 分)已知椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),双曲线 2- 2=1 的两条渐近线为 a b a b
3

l1,l2,过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个 交点由上至下依次为 A,B.

(1)当 l1 与 l2 夹角为 60°,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程及离心率; (2)求 的最大值. 【答题模板】 解 (1)双曲线的渐近线为 y=± x,两渐近线夹角为 60°,又 <1,∴∠POx=30°,

FA AP

b a

b a

b 3 2 2 2 ,∴a= 3b.又 a +b =2 , a 3 2 2 ∴3b +b =4,[2 分] x2 2 2 2 ∴b =1,a =3,∴椭圆 C 的方程为 +y =1,
∴ =tan 30°= 3

a -b 6 = .[5 分] a 3 a b (2)由已知,l:y= (x-c)与 y= x 联立, b a 2 a ab ? ? 解方程组得 P? , ?.[7 分] ?c c ? FA → → 设 =λ ,则FA=λ AP,∵F(c,0),设 A(x0,y0), AP 2 ab ?a ? 则(x0-c,y0)=λ ? -x0, -y0?, c ?c ? 2 a ab 2 c+λ ? λ ? ?c+λ ?a λ ?ab? c c c c ?.[10 分] ∴x0= ,y0= .即 A?
∴离心率 e= 1+λ ? 2 2 2 2 4 2 2 2 将 A 点坐标代入椭圆方程,得(c +λ a ) +λ a =(1+λ ) a c , 4 2 2 2 2 2 等式两边同除以 a ,(e +λ ) +λ =e (1+λ ) ,e∈(0,1),[12 分] 2 ? e4-e2 2 ? 2 ∴λ = 2 =-??2-e ?+ 2 +3 2-e ? e -2 ? ? ≤-2
2

2

2

1+λ

1+λ

? ? 1+λ



?

?2-e ??
2

2

2 2 2-1) , 2+3=3-2 2=( 2-e

∴当 2-e = 2, 即 e =2- 2时, λ 有最大值 2-1, 即 的最大值为 2-1.[14 分] 【突破思维障碍】 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容, 一是在准确把握题意的 基础上,建立函数、不等式模型,利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决;二 是利用数形结合,考虑相切、相交的几何意义解决. 【易错点剖析】 FA e4-e2 2 不能把 转化成向量问题,使得运算繁琐造成错误,由 λ = 2 不会求最值或忽视 AP e -2 e2-2<0 这个隐含条件.

FA AP

4

1.直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一,也是高考的热点,这类问 题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查,而且对综合能力的考查显见其 中.因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力. 2.从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参 2 数范围问题. 基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如 ax +bx+c=0 的方 -b c 程,由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2= .然后再把要研究的问题转化为用 x1+x2 和 x1x2 去表

a

a

示.最后,用函数、不等式等知识加以解决.需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘,比 如判别式 Δ ≥0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 2 1.已知抛物线 y =4x,则过点 P(-1,1)与抛物线有且只有一个交点的直线的条数是 ________. 2.(2009?重庆)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 2 3.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为________. 2 4.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦点.若 FA=2FB,则 k=________. 5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则 AB 的最大值为________. 4 6.(2011?镇江模拟)若直线 y=kx+1 (k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 恒有公 5 t 共 点 , 则 t 的 范 围 是 _______________________________________________________________. 7.P 为双曲线 x - =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4) +y =4 和(x-4) +y =1 15 上的点,则 PM-PN 的最大值为________. 2 8.(2010?全国Ⅱ)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的 直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B,若 A M =M B ,则 p=________. 二、解答题(共 42 分) 2 9.(14 分)已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,求 AB 的长.
2

x2

2

x2 y2

y2

2

2

2

2





5

10.(14 分)(2010?天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

3 ,连结椭圆的四个 2

顶点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0) → → 在线段 AB 的垂直平分线上,且QA?QB=4,求 y0 的值.

11.(14 分)(2011?江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,

x2 y2 a b
1 5

M,N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .
(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 → → → 双曲线上一点,满足OC=λ OA+OB,求 λ 的值.

学案 52

直线与圆锥曲线位置关系 答案

自主梳理 1.(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个 (3)②平行 一个 自我检测 1.4 3 2.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 3.± 3 4 2.(1)-

b2x0 b2 b2 x0 p - 2 (2) 2 2 a y0 a a y0 y0

1 π 3 4.- 5. 或 π 4 4 4 课堂活动区 例 1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线 与圆锥曲线的位置关系,也就是用代数的方法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方 法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数 是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,后面才可以用 判别式 Δ 的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系. ? ?y=kx+2, 2 2 解 由? 2 得 2x +3(kx+2) =6, 2 ?2x +3y =6, ? 2 2 即(2+3k )x +12kx+6=0, 2 2 2 Δ =144k -24(2+3k )=72k -48.
6

当 Δ =72k -48>0,即 k>
2

2

6 6 或 k<- 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 或 k=- 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 Δ =72k -48=0,即 k= 当 Δ =72k -48<0,即-
2

6 6 <k< 时,直线和曲线没有公共点. 3 3

变式迁移 1 (-∞,- 2)∪( 2,+∞) 例 2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. “设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问 题的基本方法.当所求弦为焦点弦时,可结合圆锥曲线的定义求解. (1)设点 A 的坐标为(x1, b), 点 B 的坐标为(x2, b), 由 +y =1, 解得 x1,2=±2 1-b , 4 1 2 2 2 所以 S= b|x1-x2|=2b 1-b ≤b +1-b =1. 2 解 当且仅当 b= 2 时,S 取到最大值 1. 2 得(4k +1)x +8kbx+4b -4=0,
2 2 2

x2

2

2

y=kx+b ? ? 2 (2)由?x 2 +y =1 ? 4 ?
2 2

Δ =16(4k -b +1).

① 2 2 16?4k -b +1? AB= 1+k2|x1-x2|= 1+k2? 2 4k +1 =2. ② |b| 2S 又因为 O 到 AB 的距离 d= = =1, 2 1+k AB 2 2 所以 b =k +1. ③ 4 2 将③代入②并整理,得 4k -4k +1=0, 1 3 2 2 解得 k = ,b = ,代入①式检查,Δ >0. 2 2 故直线 AB 的方程是: y= 2 6 2 6 2 6 2 6 x+ 或 y= x- 或 y=- x+ 或 y=- x- . 2 2 2 2 2 2 2 2

变式迁移 2 解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), 则 c= 3, =

x2 y2 a b

c a

3 .∴a=2,b=1. 2

∴所求椭圆方程为 +y =1. 4

x2

2

y=x+m, ? ? 2 (2)由?x 2 +y =1, ? 4 ?
2 2

消去 y 得关于 x 的方程:

5x +8mx+4(m -1)=0, 2 2 2 则 Δ =64m -80(m -1)>0,解得 m <5.(*) 8 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=- m, 5 2 4?m -1? x1x2= ,y1-y2=x1-x2, 5 ∴PQ= ?x1-x2? +?y1-y2? = 2?x1-x2?
2 2 2

7



?? 8 ?2 16 2 ? 2??- m? - ?m -1??=2, ?? 5 ? 5 ?

15 30 2 解得 m = ,满足(*),∴m=± . 8 4 例 3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看,就是直线方程与圆 锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题,结合判别式 Δ 研究,利用设而不求与整体代入 等技巧与方法,从而延伸出一些复杂的参数范围的研究. 解 由?
2

?y=kx+1 ? ? ?x -y =1
2 2 2 2

(x≤-1)

得(k -1)x +2kx+2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),

? 2k ?x +x =1- <0 k 则? -2 ? ?x x =1-k >0
1 2 2 1 2 2 0 0 0 0

Δ =4k +8?1-k ?>0 ,∴1<k< 2.

2

x +x k x= = ? ? 2 1-k 设 M(x ,y ),由? y +y 1 y= = ? ? 2 1-k
1 2 1 2

2

2

设 l 与 y 轴的交点为 Q(0,b),则由 P(-2,0), 2 ? k 2, 1 2?,Q(0,b)三点共线得 b= M? , ? 2 1 - k 1 - k -2k +k+2 ? ? 设 f(k)=-2k +k+2,则 f(k)在(1, 2)上单调递减, ∴f(k)∈(-2+ 2,1), ∴b∈(-∞,-2- 2)∪(2,+∞). 变式迁移 3 解 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1, 2 ?1 2? 2 整理得? +k ?x +2 2kx+1=0.① ?2 ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 2 2 ?1 2? 2 2 Δ =8k -4? +k ?=4k -2>0,解得 k<- 或 k> . 2 2 ?2 ? 2? ? 2 ? ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? → → (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2), 4 2k 由方程①,x1+x2=- 2.② 1+2k 即 k 的取值范围为?-∞,- 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2.③ → 而 A( 2,0),B(0,1),AB=(- 2,1). → → → 所以OP+OQ与AB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= . 2
2

x2

2

? ?

8

由(1)知 k<- 课后练习区 1.3 2.y=x 3.2 解析

2 2 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2

由抛物线 y =4x 知直线 l2 为其准线,焦点为 F(1,0).由抛物线的定义可知动点 P 到直 线 l2 的距离与 P 到焦点 F(1,0)的距离相等, 所以 P 到直线 l1 的距离与 P 到焦点 F(1,0)的距 |4?1-0+6| 离之和的最小值为焦点 F(1,0)到直线 l1 的距离(如图),则 d= =2. 2 2 3 +4 2 2 4 10 5. 6.[1,5) 7.5 8.2 3 5 9.解 设直线 AB 的方程为 y=x+b, 2 ? ?y=-x +3, 2 ? 由 消去 y 得 x +x+b-3=0,(4 分) ?y=x+b ? ∴x1+x2=-1. 1 1 于是 AB 的中点 M(- ,- +b),且 Δ =1-4(b-3)>0, 2 2 13 即 b< .(7 分) 4 1 1 又 M(- ,- +b)在直线 x+y=0 上,∴b=1 符合.(10 分) 2 2 2 ∴x +x-2=0.由弦长公式可得 AB= 1+12 ?-1?2-4??-2?=3 2.(14 分) c 3 2 2 10.解 (1)由 e= = ,得 3a =4c . a 2 2 2 2 再由 c =a -b ,得 a=2b. 1 由题意可知 ?2a?2b=4,即 ab=2. 2 4. 解方程组?
?a=2b, ? ? ?ab=2,

2

得?

?a=2, ? ? ?b=1.

所以椭圆的方程为 +y =1.(4 分) 4 (2)由(1)可知 A(-2,0),且直线 l 的斜率必存在.设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的 斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

x

2 2

y=k?x+2?, ? ? 2 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x 2 +y =1. ? ?4
由方程组消去 y 并整理,得 2 2 2 2 (1+4k )x +16k x+(16k -4)=0.
9

16k -4 由根与系数的关系,得-2x1= 2 , 1+4k 2 2-8k 4k 所以 x1= 2,从而 y1= 2. 1+4k 1+4k 8k 2k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为(- 2, 2).(6 分) 1+4k 1+4k 以下分两种情况讨论: → ①当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是QA=(-2,- → y0),QB=(2,-y0). → → 由QA?QB=4,得 y0=±2 2.(8 分) ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 2 2k 1 8k y- 2=- (x+ 2). 1+4k k 1+4k 6k 令 x=0,解得 y0=- 2. 1+4k → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), → → QA?QB=-2x1-y0(y1-y0) 2 -2?2-8k ? 6k 4k 6k = + 2 2( 2+ 2) 1+4k 1+4k 1+4k 1+4k 4 2 4?16k +15k -1? = =4, 2 2 ?1+4k ? 整理得 7k =2,故 k=±
2 2

2

14 2 14 .所以 y0=± .(13 分) 7 5

2 14 综上,y0=±2 2或 y0=± .(14 分) 5 11.解 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线 2- 2=1 上, 有 2- 2=1. 由题意有
2

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 a b

1 = ,(4 分) x0-a x0+a 5 ?
2 2 2 2 2

y0

y0

可得 a =5b ,c =a +b =6b ,e= =
? ?x -5y =5b , (2)联立? ?y=x-c, ?
2 2 2 2

c a

30 .(7 分) 5
2

得 4x -10cx+35b =0.

5c ? ?x +x = 2 , 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? 35b ? ?x x = 4 .
1 2 1 1 2 2 2 1 2



→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λ OA+OB, ? ?x3=λ x1+x2, 即? ?y3=λ y1+y2. ? 2 2 2 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b ,有 2 2 2 (λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b .化简得

(10 分)

10

λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ (x1x2-5y1y2)=5b . 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 2 2 2 2 2 2 所以 x1-5y1=5b ,x2-5y2=5b . 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) 2 2 =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 2 ②式可化为 λ +4λ =0,解得 λ =0 或 λ =-4.

2

2

2

2

2

2

② (12 分)

(14 分)

11


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