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广东省2012届高三全真模拟卷数学理科24


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 24
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

2. 复数 z=

m ? 2i (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( R 1 + 2i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3. 在(0,2π)内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( )

D.第四象限

π
A.( ,

π
)∪(π,

4

2


5π ) 4

π
B.( ,π)

4

π
C.(

4

5π ) 4

π
D.( ,π)∪(

4

5π 3π , ) 4 2

4. 根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)

近似地满足 Sn=

n 2 (21n-n -5) n=1,2,……,12). ( 90

按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( ) A.5 月、6 月 B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月 5. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 6.设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N (0, ,已知 Φ ( ?1.96) = 0.025 , 1) 则 P (| ξ |< 1.96) =( A.0.025 ) C.0.950 D.0.975

B.0.050

x2 y2 7. 已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双 a b
曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞]

D.(2,+∞)

第 1 页 共 10 页

8. 对于函数① f ( x) = lg( x ? 2 + 1) ,② f ( x) = ( x ? 2) 2 ,③ f ( x ) = cos( x + 2) ,判断如下 三个命题的真假: 命题甲: f ( x + 2) 是偶函数; 命题乙: f ( x ) 在 ( ?∞,) 上是减函数,在 (2, ∞ ) 上是增函数; 2 + 命题丙: f ( x + 2) ? f ( x ) 在 ( ?∞, ∞ ) 上是增函数. + 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( A.①③ B.①② C.③ ) D.②

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9 ~ 12 题) 9. 一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调 查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超 过 45 岁的职工________________人. 10. 在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是________________ 11. 设 P(3,1)为二次函数 f ( x ) = ax 2 ? 2ax + b( x ≥ 1) 的图象与其反函数 f = f 图象的一个交点,则 a=________________b=________________
?1

1 x

( x) 的

?2 x ? y ≤ 2 ? 12. 设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1 ,则 z = 2 x + 3 y ? x + y ≥1 ?
的最大值为 (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在 两种坐标系中 取相同的长度单位。 已知直线的极坐标方程为 θ =

π

? x = 1 + 2 cos α 它与曲线 ? ( ρ ∈ R) , 4 ? y = 2 + 2 sin α

( α 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. 14. (不等式选讲选做题) 不等式 x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对任意实数 x 恒成立, 则实数 a 的
2

取值范围为_______. 15. (几何证明选讲选做题)如图,三角形 ABC 中,

AB = AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,
与 AC 相交于 D ,若 AD = CD = 1 ,则⊙ O 的 半径 r = .

第 2 页 共 10 页

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的 坐标为 ? ,

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5? (Ⅰ)求 sin ∠COA ; (Ⅱ)求 cos ∠COB .
第 16 题图

17. (本题满分 12 分)

2 ,甲、乙、 5 3 3 丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙通 20 40
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ξ 的数学期望 Eξ .

18. (本题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,

PA ⊥ 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证: BD ⊥ 平面 PAC .

第 3 页 共 10 页

19. (本题满分 14 分)已知数列 {a n }是首项为 a1 =

1 1 , 公比q = 的等比数列 ,设 4 4 bn + 2 = 3 log 1 a n ( n ∈ N *) ,数列 {c n }满足c n = a n ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (3)若 c n ≤

(2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn;

1 2 m + m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ? x 3 + ax 2 + b(a, b ∈ R ) . (1) f ( x ) 在[0, 若 2]上是增函数, = 2 是方程 f ( x ) = 0 的一个实根, x 求证:f (1) ≤ ? 2 ; (2)若 f ( x ) 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数的取值范围.

x2 y 2 21.(本题满分 14 分) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 2 ? 2 = 1 b ( 1 8b b
为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线, 1 垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P2 . (1) 求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

Q x1 , y1)y1 ≠ 0) ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M,N 两点. ( (
求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

第 4 页 共 10 页

参考答案 答案:1-8CACCDCCD 9.10 10.10 11. a = ?

1 5 ,b = . 2 2

12.18

13.

14. (?∞, ?1] U [4, +∞ )

15.

2 14 7

一、选择题 1.答案:C 【解析】M={2,3}或 M={1,2,3} 因为 M ? {1,2,3},因此 M 必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素 2,3. 2. 答案:A

【解析】由已知 z=

m ? 2i (m ? 2i )(1 ? 2i) 1 = = [ m-4)-2(m+1)i]在复平面对应 ( 1 + 2i (1 + 2i )(1 ? 2i ) 5
?m ? 4 > 0 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第 ?m + 1 < 0

点如果在第一象限, ? 则 一象限. 3. 答案:C

π
【解析】解法一:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标

4


5π ,由图 1 可得 C 答案. 4

图1 图2 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 2) 4. 答案:C 【解析】n 个月累积的需求量为 Sn.∴第 n 个月的需求量为

第 5 页 共 10 页

an=Sn-Sn-1=

n n ?1 2 2 (21n-n -5)- [21(n-1)-(n-1) -5] 90 90



1 2 (-n +15n-9) 30 n 2 (-n +15n-9)>1.5,6<n<9(n=1,2,3,…,12) , 90

an>1.5 即满足条件,∴

∴n=7 或 n=8. 5.答案:D 【解析】 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是

π π ? ? ? sin A2 = cos A1 = sin( 2 ? A1 ) ? A2 = 2 ? A1 ? ? π π π ? ? 得 那么, 2 + B2 + C2 = , 锐角三角形, ? sin B2 = cos B1 = sin( ? B1 ) , ? B2 = ? B1 , 由 A 2 2 2 ? ? π π ? ? ?sin C2 = cos C1 = sin( 2 ? C1 ) ?C2 = 2 ? C1 ? ? 所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。
6.答案:C 【解析】 ξ 服从标准正态分布 N (0, , ? P (| ξ |< 1.96) = P ( ?1.96 < ξ < 1.96) = 1)

Φ (1.96) ? Φ ( ?1.96) = 1 ? 2Φ ( ?1.96) = 1 ? 2 × 0.025 = 0.950.
7. 答案:C

【解析】双曲线

x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与 2 a b b ,∴ a

双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
2 a 2 + b2 b 2 c ≥ 3 ,离心率 e = 2 = ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C a a a2

8.答案:D 【解析】函数① f ( x) = lg( x ? 2 + 1) ,函数 f ( x + 2) = lg(| x | +1) 是偶函数;且 f ( x ) 在

( ?∞,) 上是减函数,在 (2, ∞ ) 上是增函数; 2 +
但对命题丙: f ( x + 2) ? f ( x ) = lg(| x | +1) ? lg(| x ? 2 | +1) = lg

| x | +1 在 x∈(-∞,0) | x ? 2 | +1

时, lg

(| x | +1) ?x +1 2 = lg = lg(1 + ) 为减函数,排除函数①, (| x ? 2 | +1) 2 ? x +1 x?3

第 6 页 共 10 页

对于函数③, f ( x ) = cos( x + 2) 函数 f ( x + 2) = cos( x + 2) 不是偶函数,排除函数③ 只有函数② f ( x) = ( x ? 2) 2 符合要求,选 D 二、填空题 9. 答案:10 10.答案:10
r r 【解析】对于 Tr +1 = C5 ( x 2 )5? r (? ) r = ( ?1) C5 x10?3r ,对于 10 ? 3r = 4,∴ r = 2 ,则 x 4 的 r
2 项的系数是 C5 ( ?1) 2 = 10

1 x

11.答案: a = ?

1 5 ,b = . 2 2

【解析】 P(3,1)为二次函数 f ( x ) = ax 2 ? 2ax + b( x ≥ 1) 上的点, 1 = 9a ? 6a + b. 又 P(3,1)为反函数上的点,则 P(1,3)在原函数上, ? 3 = a ? 2a + b. 联立解得 a = ?

1 5 ,b = . 2 2

12. 答案:18 【解析】画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 13.答案: 【解析】直线的普通方程为 y = x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ∴ | AB |= 2 2 2 ? (

|1 ? 2 | 2 ) = 14 1+1

14.答案: (?∞, ?1] U [4, +∞ ) 【 解 析 】 因 为 ?4 ≤ x + 3 ? x ? 1 ≤ 4对x + 3 ? x ? 1 ≤ a ? 3a 对 任 意 x 恒 成 立 , 所 以
2

a 2 ? 3a ≥ 4即a 2 ? 3a ≥ 0,解得a ≥ 4或a ≤ ?1
2 14 7

15. 答案

三、解答题 16. (本题满分 12 分) 解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

4 ?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 sin ∠COA = ---4 分 5 ?5 5?

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ∠AOB = 600 ,

第 7 页 共 10 页

sin ∠COA =

4 3 , cos ∠COA = , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ∠COB = cos(∠COA + 600 )

= cos ∠COA cos 600 ? sin ∠COA sin 600

-------------------------10 分

17. 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

3 ?2 ? 5 xy = 20 , ? ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y ) = 3 , ?5 40 ?

3 ? ?x = 4 , ? 即? ?y = 1. ? 2 ?



1 ? ?x = 2 , ? (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? ?y = 3. ? 4 ?

所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是

3 1 、 . 4 2

┅┅┅┅┅┅┅6 分

(Ⅱ)因为

P (ξ = 0) =

3 40

P(ξ = 3) =

3 20

2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 P(ξ = 1) = (1 ? )(1 ? ) + (1 ? ) (1 ? ) + (1 ? )(1 ? ) = 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 17 P (ξ = 2) = 1 ? ( P0 + P + P3 ) = 1 40 3 7 17 3 33 ┅┅┅┅┅┅┅12 分 所以 Eξ = 0 ? + 1? + 2 ? + 3 ? = 40 20 40 20 20
18.(本题满分 18.(本题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 连结 AC , BD 与 AC 交于点 O ,连结 OF .…… 1 分

Q ABCD 是菱形,

∴O 是 AC 的中点.
…… 4 分

Q 点 F 为 PC 的中点, ∴ OF // PA .

Q OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 BDF ,
…… 7 分 ∴ PA // 平面 BDF . (Ⅱ)证明: Q PA ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , …… 10 分 ∴ PA ⊥ BD . ∴ AC ⊥ BD . Q ABCD 是菱形, Q PA I AC = A , ∴ BD ⊥ 平面 PAC .

…… 12 分 …… 14 分

19. 1)由题意知, a n = ( ) n ( n ∈ N *) Q bn = 3 log 1 a n ? 2, b1 = 3 log 1 a1 ? 2 = 1
4 4

1 4

∴ bn +1 ? bn = 3 log 1 a n+1 ? 3 log 1 a n = 3 log 1
4 4 4

a n+1 = 3 log 1 q = 3 an 4

∴数列 {bn }是首项b1 = 1, 公差d = 3 的等差数列 (2)由(1)知, a n = ( ) n , bn = 3n ? 2( n ∈ N *) ∴ c n = (3n ? 2) × ( ) n , ( n ∈ N *)

1 4

1 4

第 8 页 共 10 页

1 1 1 1 1 + 4 × ( ) 2 + 7 × ( ) 3 + L + (3n ? 5) × ( ) n ?1 + (3n ? 2) × ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 于是 S n = 1 × ( ) + 4 × ( ) + 7 × ( ) + L + (3n ? 5) × ( ) + (3n ? 2) × ( ) n +1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式相减得 S n = + 3[( ) 2 + ( ) 3 + L + ( ) n ] ? (3n ? 2) × ( ) n +1 4 4 4 4 4 4 1 1 2 12n + 8 1 n +1 = ? (3n + 2) × ( ) n +1 . ∴ S n = ? × ( ) ( n ∈ N *) 2 4 3 3 4 1 1 1 (3)Q c n +1 ? c n = (3n + 1) ? ( ) n +1 ? (3n ? 2) ? ( ) n = 9(1 ? n) ? ( ) n +1 , ( n ∈ N *) 4 4 4 1 ∴当 n=1 时, c 2 = c1 = 4 1 当 n ≥ 2时, c n +1 < c n , 即c1 = c 2 < c3 < c 4 < L < c n ∴当 n=1 时, cn 取最大值是 4 1 1 1 又 c n ≤ m 2 + m ? 1对一切正整数 n恒成立 ∴ m 2 + m ? 1 ≥ 4 4 4 ∴ S n = 1×
即 m + 4m ? 5 ≥ 0得m ≥ 1或m ≤ ?5
2

20. (1) f '( x) = ?3x 2 + 2ax 由题可知 f '( x) = ?3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立.

?3 x 2 + 2ax ≥ 0 ? 2ax ≥ 3 x 2
当 x = 0 时此式显然成立, a ∈ R ; 当 x ∈ (0, 2] 时有 2a ≥ 3 x 恒成立,易见应当有 2a ≥ 6 ? a ≥ 3 , 可见 f '( x) = ?3x 2 + 2ax ≥ 0 在[0,2]上恒成立,须有 a ≥ 3 又 f (2) = 0 ? b = 8 ? 4a

? f (1) = a + b ? 1 = 7 ? 3a ≤ ?2
(2)设 P ( x, f ( x )), Q ( y, f ( y )) 是 f ( x ) 图象上的两个不同点,则
f

(x)?

f

x? y

(y) <1

?

( ? x 3 + ax 2 + b ) ? ( ? y 3 + ay 2 + b ) <1 x? y

? ?( x 2 + y 2 + xy) + a( x + y ) < 1 ? x 2 + ( y ? a) x + ( y 2 ? ay + 1) > 0 此 式 对 于 恒 成 立 , 从 而 ? < 0 ? 3 y 2 ? 2ay ? a 2 + 4 > 0
此式对于也恒成立,从而 ? ' < 0 ? a 2 < 3 ? a ∈ (? 3, 3) 注:用导数方法求解略,按相应步骤给分. 21. (1) 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y = ? ( 0),( b,y0) A 令 x = 0 得 y = 9 y0 ,即 P2 (0,9 y0 ) ,
第 9 页 共 10 页

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 = 2 x ? x= 2 x2 y2 4x2 y2 ? ? 设 P x,y) ? ,则 ,即 ? 代入 0 2 ? 02 = 1 得: 2 ? = 1, ( y 8b b 8b 25b 2 ? y = y0 + 9 y0 = 5 y ? y0 = 5 ? 0 ? ? 2
即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? =1. 2b 2 25b 2

x2 y2 (2) 在 2 ? = 1 中令 y = 0 得 x 2 = 2b 2 ,则不妨设 B - 2b, ( 0),D 2b, , ( 0) 2 2b 25b
于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y =

y1 ( x + 2b) , x1 + 2b

直 线 QD 的 方 程

为: y =

y1 ( x- 2b) , x1 - 2b
2by1 - 2by1 ),N 0, ( ) , x1 + 2b x1 - 2b
2

( 则 M 0,

( 则以 MN 为直径的圆的方程为: x + y -

2by1 2by1 )(y + ) 0 , = x1 + 2b x1 - 2b

令 y = 0 得: x =
2

2b 2 y12 x2 y2 2 2 ,而 Q x1 , y1) ( 在 2 ? = 1 上,则 x12 ? 2b 2 = y1 , 2 2 2 x1 ? 2b 2b 25b 25

于是 x = ±5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 ( ?5b, 0), (5b, 0) .

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