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2.1.2指数函数及其性质(最新第二课时)


高中数学新课标人教A版必修①

2.1.2指数函数及其性质
第二课时

复习引入
a 的范围
图象
y ?1 y ?1

a >1
y

0<a<1
y

o 定义域 值域 定点 单调性 函数值 的变化 范围
(左右无限延伸) (在x轴上方) 都过(0,1)点

x
(-∞,+∞)

o
(0,+∞) 即x = 0时,y = 1

x

(自左向右上升) 增函数
(y轴右侧,在直线y=1上方)

(自左向右下降) 减函数
(y轴右侧,在直线y=1下方)

x>0时,y>1

x>0时, 0<y<1

(y轴左侧,在直线y=1的下方) (y轴左侧,在直线y=1的上方) x<0时, y>1 x<0时,0<y<1

巩固训练 拓展深化
例6:已知指数函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )
x

的图象过点(3,π),求
的值.

f ( 0 ), f ( 1 ), f ( ? 3 )

解:因为 f ( x ) ? a ,过点(3,π),所以
x
1

f (3) ? ?
x

即a

3

? ?,

解得 a

? ?
3

3

, 于是 f ( x ) ? ? 3 .
1 ?

所以 f ( 0 ) ? 1, f (1) ? ? , f ( ? 3 ) ?

.

巩固训练 拓展深化
例8、截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年 后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 年份 经过年数 人口数(亿) 1999 0 13(1+1%)1 2000 1 13(1+1%)2 2001 2 2002 … 1999+x 3 … x 13(1+1%)3 … 13(1+1%)x

y= 13(1+1%)x

巩固训练 拓展深化
点评:(1)在实际问题中,经常会遇到类似 的指数增长模型:设原有量为N,平均增长 率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用 y=N(1+p)x表示. (2)形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为 指数型函数.

深化知识 应用举例
类型一:幂值大小的比较
例1、比较下列各题中两个值的大小:

? 1 ? 1 .7

2 .5

, 1 .7 ; ? 2
3 1 .6

? 0 .8

? 0 .1

, 0 .8

? 0 .2

;

4 7 3 1 . .8 , . .3 , ? 3 )? 1 7 0 . 3 , 0 29 3 . 1 ; (?44 51..74 4 . 7 .0 .9 )? , (
1 .6 0 .3 1

3 .1

;

? 5 ? 1 .5

? 0 .2

, 1 .3

0 .7

? 2 ?3 ,? ? ? 3 ?

深化知识 应用举例
(1)1.7 2.5 < 1.7 3
解: ∵函数 y ? 1 . 7 在R上是增函数, 而指数2.5<3.
x



1 .7

2 .5

< 1 .7

3
5

4.5

4

3.5

3

f ? x ? = 1.7
2.5 2 1.5

x

1

0.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

深化知识 应用举例
(2)

0.8 < 0.8

?0.1

?0.2

解: ∵函数 y ? 0 . 8 x在R上是减函数, 而指数-0.1>-0.2
∴ 0 .8
? 0 .1

? 0 .8

? 0 .2

1.8

1.6

f ? x ? = 0.8

x
1.4 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

深化知识 应用举例 变式练习
比较两个数的大小 (1)2.012.8 < 2.013.5 (2) 0.79-0.1 > 0.790.1

方法
底数相同,指数不同时, 做题方法:利用指数函数的单调性来判断.

深化知识 应用举例
(3)比较两个数的大小1.7 0.3 ?
1 .7
0 .3

0.9

3.1

解:根据指数函数的性质,得:
? 1 .7 ? 1 且 0 .9
0

3 .1

? 0 .9 ? 1
0

从而有 1 . 7 0 . 3 ? 0 . 9 3 . 1
3.2
3.2

3

3

2.8

2.8

2.6

2.6

2.4

2.4

2.2

2.2
2

2
1.8

1.8

f ? x ? = 0.9

x

f ? x ? = 1.7

x

1.6

1.6
1.4

1.4
1.2

1.2
1

1
0.8

0.8
0.6

0.6
0.4

0.4
0.2

0.2
-0.5 0.5 -0.2 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.4

-0.4

深化知识 应用举例 变式练习
比较两个数的大小

1 . 08

0 .3

>

0 . 98

3 .1

方法
指数不同,底数也不同, 做题方法:引入中间量法(常用0或1).

深化知识 应用举例
(4)比较两个数的大小
5
4 .7

?

4

4 .7

解:因为 又
4

5 4

4 .7 4 .7

?5? ? ? ? ?4?

4 .7

? 1,

4 .7

? 0,

所以

5

4 .7

? 4

4 .7

.

深化知识 应用举例
比较两个数的大小 > 36.2 ________ 26.2

变式练习

方法
指数相同,底数不同, 做题方法:利用比商法来判断.

深化知识 应用举例
比较指数大小的方法
1、底数相同,指数不同, 做题方法:利用指数函数的单调性来判断.
2、指数不同,底数也不同, 做题方法:引入中间量法(常用0或1). 3、指数相同,底数不同, 做题方法:利用比商法来判断.

深化知识 应用举例
类型二:简单的指数不等式
例2、设0<a<1,解关于x的不等式 a
x
2 x ?3 x? 2
2

? a

2 x ? 2 x?3

2

.

解 当 0 ? a ? 1时 , y ? a 在 R 上 调 减 : 单递

,

又为 因

a
2

2 x ?3 x? 2

2

?a

2 x ? 2 x?3

2

,

所 , 2 x ? 3 x ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 3, 以
2

解 x ? 1. 得
所不式解为 以等的集

?1, ?? ?.

深化知识 应用举例 变式练习
1、 a ? 0 且 a ? 1时 , 解 于 当 关 x的 等 不 式 a
2 x ?3 x? 2
2

?a

2 x ? 2 x?3

2

.

解 当 0 ? a ? 1时 , 不 式 集 : 等解为 当 a ? 1时 , 不 式 集 等解为
2 、 a ? 1时 , 解 于 当 关 x的 等 不 式 a

(1, ?? ), ( ?? ,1).

?3 x ? 2

? 1.

解 当 :

a ? 1时 , 不 式 集 等 解 为

( ?? , ). 3

2

深化知识 应用举例
解指数不等式的方法
1、形如ax>ay的不等式,可借助y=ax的单调性求解. 如果a的值不确定,需分情况讨论. 2、形如ax>b的不等式,注意把b化为以a为底的指数 幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.

深化知识 应用举例
类型三:指数函数的最值问题
x

例3、函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 在区间 ?1, 2 ? 上的最大 a 值比最小值大 ,求a的值.
2
x

解 若 0 ? a ? 1, 则 数 数 : 指 函 y ? a 在 ?1, 2 ?单 递 调 减 , 2 所 y min ? a , y max ? a , 以 1 a a 2 2 以 由 意 a ? a ? , 即 ? a ? 0, 所 a ? 0或 a ? , 题 2 1 2 2 所 a ? . 以 2 x 若 a ? 1, 则 数 数 指 函 y ? a 在 ?1, 2 ?单 递 调 增 ,

所 y min ? a , y max ? a , 以 3 a 3 2 2 以 由 意 a ? a ? ,即 a ? a ? 0 , 所 a ? 0 或 a ? , 题 2 2 2 3 所 a ? . 以 1 3 上 2 综 a ? 或a ? . 2 2
2

深化知识 应用举例 变式练习
若函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1)在区间?? 1, 2 ?上的最大值
x

为4,最小值为m,且函数 g ( x ) ? (1 ? 4 m ) 上为增函数,求a的值.

x

在 ?0 , ?? ?

解: a ?

1 4

.

深化知识 应用举例
指数函数最值的求法
1、指数函数f(x)=ax(0<a<1)为单调减函数,在闭区间 ?m, n?上存在最大值与最小值,并且当x=m时有最 大值am,当x=n时有最小值an. 2、指数函数f(x)=ax(a>1)为单调增函数,在闭区间?m, n? 上存在最大值与最小值,并且当x=m时有最小值am, 当x=n时有最大值an.

小结归纳 感悟收获
本节课学了哪些知识?
1、幂值大小比较的方法 单调性法、中间量法、比商法. 2、解简单的指数不等式 ①形如ax>ay; ②形如ax>b.

3、指数函数的最值问题

作业

P59习题2.1 A组:6、7题;

B组:1、4题.
整理学案一、二,并上交.

谢谢大家



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