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高中函数求值域的九种方法和例题讲解



高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了 函数求值域最常用的九种方法和例题讲解. 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例 1 求函数 y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故 3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域

为. 点评: 算术平方根具有双重非负性,即: (1)被开方数的非负性, (2) 值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解, 这种方法对于一类函数的 值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数 y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2, 3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义 域为 y≠1 的实数,故函数 y 的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评: 利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值 域为{y∣y<-1 或 y>1}) 三.配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方 法求函数值域 例 3:求函数 y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为 x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=- (x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义 域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数 y=2x-5+√15-4x 的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法 求函数的值域。 例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式, 从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当 y≠2 时,由Δ =(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当 y=2 时,方程(*)无解。∴函数的值域为 2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程 F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其 判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f) 及 y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习: 求函数 y=1/(2x2-3x+1)的值域。 (答案: 值域为 y≤-8 或 y>0) 。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内 的极值,并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。

例 5 已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值 域。 点拨:根据已知条件求出自变量 x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可 求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式 2x2-x-3≤0 同解,解之 得-1≤x≤3/2, 又 x+y=1, 将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中, 得 z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4 且 x∈[-1,3/2],函数 z 在区间[-1,3/2]上连续, 故只需 比较边界的大小。 当 x=-1 时,z=-5;当 x=3/2 时,z=15/4。 ∴函数 z 的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在 最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习:若√x 为实数,则函数 y=x2+3x-5 的值域为() A.(-∞,+∞)B.[-7,+∞]C.[0,+∞)D.[-5,+∞) (答案:D)。 六.图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。 例 6 求函数 y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 解:原函数化为-2x+1(x≤1) y=3(-1<x≤2) 2x-1(x>2) 它的图象如图所示。 显然函数值 y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法 等方法求函数的值域 七.单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例 1 求函数 y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。 点拨:由已知的函数是复合函数,即 g(x)=-√1-3x,y=f(x)+g(x),其 定义域为 x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。 解:设 f(x)=4x,g(x)=-√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函 数,从而 y=f(x)+g(x)=4x-√1-3x 在定义域为 x≤1/3 上也为增函数, 而且 y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此, 所求的函数值域为{y|y≤4/3}。 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数 隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定 函数的值域。 练习:求函数 y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3}) 八.换元法 以新变量代替函数式中的某些量, 使函数转化为以新变量为自变量的函 数形式,进而求出值域。 例 2 求函数 y=x-3+√2x+1 的值域。 点拨: 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的 最值,确定原函数的值域。 解:设 t=√2x+1(t≥0),则 x=1/2(t2-1)。 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。

点评: 将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数 的最值, 从而确定出原函数的值域。 这种解题的方法体现换元、 化归的思想方法。 它的应用十分广泛。 练习:求函数 y=√x-1–x 的值域。(答案:{y|y≤-3/4} 九.构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。 例 3 求函数 y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 点拨: 将原函数变形, 构造平面图形, 由几何知识, 确定出函数的值域。 解:原函数变形为 f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位 正方形。设 HK=x,则 ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22, KC=√(x+2)2+1。 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当 A、K、C 三点共 线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5}。 点评: 对于形如函数 y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c 均为正数),均可通 过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体 现。 练习:求函数 y=√x2+9+√(5-x)2+4 的值域。 (答案: {y|y≥5√2}) 以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几 种方法. 十.比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函 数,进而求出原函数的值域。 例 4 已知 x,y∈R,且 3x-4y-5=0,求函数 z=x2+y2 的值域。 点拨:将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式,设置参数,代入原函数。

解:由 3x-4y-5=0 变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 当 k=-3/5 时,x=3/5,y=-4/5 时,zmin=1 函数的值域为{z|z≥1}. 点评: 本题是多元函数关系, 一般含有约束条件, 将条件转化为比例式, 通过设参数, 可将原函数转化为单函数的形式, 这种解题方法体现诸多思想方法, 具有一定的创新意识。 练习: 已知 x,y∈R, 且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。 (答 案:{f(x,y)|f(x,y)≥1}) 十一.利用多项式的除法 例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1)的值域。 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0,故 y≠3。 ∴函数 y 的值域为 y≠3 的一切实数。 点评:对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。 练习:求函数 y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2) 十二.不等式法 例 6 求函数 Y=3x/(3x+1)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。 解:易求得原函数的反函数为 y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0 1-x≠0

解得,0<x<1。 ∴函数的值域(0,1)。 点评: 考查函数自变量的取值范围构造不等式 (组) 或构造重要不等式, 求出函数定义域, 进而求值域。 不等式法是重要的解题工具, 它的应用非常广泛。 是数学解题的方法之一。



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