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四川省成都市新都一中2015-2016学年高一数学4月月考试题 文



2015-2016 学年下学期高 2015 级 4 月阶段考 数学试题(文)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若角 60°的终边上有一点(4,a),则 a 的值是( ) 4 3 4 3 A.4 3 B.-4 3 C. D.- 3 3 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a?b=0,则实数 m 的值为( ) 3 3 A.-

B. C.2 D.6 2 2 1 2 3.设向量 a=(cos α , ),若 a 的模长为 ,则 cos 2α 等于( 2 2 )

1 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 4 2 2 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 → → 5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB?AC等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 π 6.要得到函数 y=sin x 的图象,只需将函数 y=cos(x- )的图象( ) 3 π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 3 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 6 π 7.已知 sin(π -α )=-2sin( +α ),则 sin α cos α 等于( ) 2 2 2 2 2 1 A. B.- C. 或- D.- 5 5 5 5 5 2 8.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin x,x∈R,则 f(x)是( ) π A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数 2 π C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 π 9.若满足条件 AB= 3,C= 的三角形 ABC 有两个,则边长 BC 的取值范围是( 3 A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2)

)

D.( 2,2)10.在 ?ABC 中,

若 sin ? A ? B? ? 1 ? 2cos ? B ? C ? sin ? A ? C ?,则?ABC 的形状一 定是) A.等边三角形 形 → → 11.设 0≤θ ≤2π ,向量OP1=(cos θ ,sin θ ),OP2=(2+sin θ ,2-cos θ ),则向量 → P1P2的模长的最大值为( ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2 B.不含 60 的等腰三角形
o

C.钝角三角形

D. 直 角 三 角

1

12.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 ? 0 ,则

a sin( 30? ? C ) 的值为( b?c
A.



1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

二。填空题: (每小题 5 分) 13. 已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若(a-c)⊥b,则 k=___ . 14. 已知 α 、β 为锐角,且 a=(sin α ,cos β ),b=(cos α ,sin β ),当 a∥b 时, α +β =_______. 15. 一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 64 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为________海里/小时. 16. 如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: → → → → → → ①AC+AF=2BC; ②AD=2AB+2AF; → → → → → → → → → → ③AC?AD=AD?AB; ④(AD?AF)EF =AD(AF?EF). 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号)

三。解答题: (合计 70 分) 17. (10 分)已知 tan α =2,求下列代数式的值. 4sin α -2cos α (1) ; 5cos α +3sin α 1 1 1 2 2 (2) sin α + sin α cos α + cos α . 4 3 2

18. (12 分)设函数 f(x)=a?b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x ∈R. π π (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈[- , ],求 x; 3 3 (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在[0,π ]上的图象.

π π 19.(12 分)已知向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ),- <θ < . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ ;
2

(2)求|a+b|的最大值. 2 20. (12 分)已知函数 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos ω x(ω >0)的最小正周期为 π . (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π 的图象,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最小值. 16

21. (12 分)已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 acos B+ 3bsin A=c. (1 )求角 A 的大小; → → (2)若 a=1,AB?AC=3,求 b+c 的值.

22. (12 分)如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点

P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ ,求△POC 面积的最大值及此时 θ
的值.

3

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若角 60°的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是( A ) 4 3 4 3 A.4 3 B.-4 3 C. D.- 3 3 2.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a?b=0,则实数 m 的值为( D ) 3 3 A.- B. C.2 D.6 2 2 1 2 3.设向量 a=(cos α , ),若 a 的模长为 ,则 cos 2α 等于( A ) 2 2 1 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 4 2 2 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( B ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 → → → 5. 在△ABC 中,已知| AB |=4,|AC|=1,S△ABC= 3,则AB?AC等于( D ) A.-2 B.2 C.±4 D.±2 π 6.要得到函数 y=sin x 的图象,只需将函数 y=cos(x- )的图象( A ) 3 π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 3 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 6 π 7.已知 sin(π -α )=-2sin( +α ),则 sin α cos α 等于( B ) 2 2 2 2 2 1 A. B.- C. 或- D.- 5 5 5 5 5 8.已知函数 f(x)=(1+cos 2x)sin x,x∈R,则 f(x)是( D ) π A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数 2 π C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 π 9.若满足条件 AB= 3,C= 的三角形 ABC 有两个,则边长 BC 的取值范围是( 3 A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.( 2,2)【解析】:C ) ∵C=
2

? , 3

AB= 3 ,设 BC=a,∴由正弦定理得:

3 a a AB BC ? ,即 = ,解得:sinA= , 2 sin C sin A 3 sin A 2

由题意得:当 A∈(

? 2? , )时,满足条件的△ABC 有两个, 3 3

所以

3 a < <1,解得: 3 <a<2,则 BC 的取值范围是( 3 ,2). 2 2

4

10 .在 ?ABC 中,若 sin? A ? B? ? 1? 2 cos ABC 的形状一定是 ? B ? C? sin ? A ? C?,则 ? ( ) B.不含 60o 的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

A.等边三角形

【解析】D ∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,∴sin(A-B)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1,∴A+B=90°,∴△ABC 是直角三角形

→ → 11.设 0≤θ ≤2π ,向量OP1=(cos θ ,sin θ ),OP2=(2+sin θ ,2-cos θ ),则向 量 → P1P2的模长的最大值为( D ) A. 2 B. 3 C.2 3 D.3 2 12.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 ? 0 ,则

a sin( 30? ? C ) 的值为( b?c
A.



1 2

B.

3 2
2 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? ,又 A 为三角形内角,所 解析:A 由 b ? c ? bc ? a ? 0 得 cos A ? 2bc 2
2



A=120

°

,



? 1? 3 ? 3?1 3 3 sin C ? cos C ? sin C ? ? cos C ? ? 2 ?2 2 2 a sin(30? ? C ) sin A sin ? 30? ? C ? ? ? 2? 2 ??1 ? ? b?c sin B ? sin C sin ? 60? ? C ? ? sin C 2 3 3 cos C ? sin C 2 2
13.0 14. 已知 α 、β 为锐角,且 a=(sin α ,cos β ),b=(cos α ,sin β ),当 a∥b 时, π α +β =___ _____. 2 15. 一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达 一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 64 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为________海里/小时. 8 6 解析 如图所示,

在△PMN 中, = , sin45° sin120° 64? 3 ∴MN= =32 6, 2
5

PM

MN

∴v= =8 6(海里/小时). 4 16. 如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题:

MN

→ → → ①AC+AF=2BC; → → → ②AD=2AB+2AF; → → → → ③AC?AD=AD?AB; → → → → → → ④(AD?AF)EF=AD(AF?EF). 其中真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) ①②④ → → → → → → 解析 在正六边形 ABCDEF 中,AC+AF=AC+CD=AD=2BC,①正确; → → → → → → 设正六边形的中心为 O,则 2AB+2AF=2(AB+AF)=2AO=AD,②正确; → → → → AC?AD AB?AD → → → → → → → 易知向量AC和AB在AD上的投影不相等,即 ≠ .∴AC?AD≠AD?AB,③不正确; → → |AD| |AD| → → ∵AD=-2EF, → → → → → → → → → → → → → → → → ∴(AD?AF)EF=AD(AF?EF)?(AD?AF)EF=-2EF(AF?EF)?AD?AF=-2AF?EF → → → → → → → → → → ?AF?(AD+2EF)=0.∵AD+2EF=AD-AD=0,∴AF?(AD+2EF)=0 成立. 从而④正 确. 17. 已知 tan α =2,求下列代数式的值. 4sin α -2cos α (1) ; 5cos α +3sin α 1 1 1 2 2 (2) sin α + sin α cos α + cos α . 4 3 2 (1)6/11 (2)13/30 18. 设函数 f(x)=a?b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. π π (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈[- , ],求 x; 3 3 (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在[0,π ]上的图象.

(1)依题设得 f(x)=2cos x+ 3sin 2x π =1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin(2x+ )+1. 6 π π 3 由 2sin(2x+ )+1=1- 3得 sin(2x+ )=- . 6 6 2 π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ , 3 3 2 6 6

2

6

π π π ∴2x+ =- ,即 x=- . 6 3 4 π π π π π (2)- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z) 2 6 2 3 6 π π 得函数单调增区间为[- +kπ , +k π ](k∈Z). 3 6 π π π 2π 5π x 0 π 6 3 2 3 6 y 2 3 2 0 -1 0 2

19.已知向量 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ ),-

π π <θ < . 2 2

(1)若 a⊥b,求 θ ; (2)求|a+b|的最大值. (1)若 a⊥b,则 sin θ +cos θ =0. π π π 由此得 tan θ =-1(- <θ < ),∴θ =- . 2 2 4 (2)由 a=(sin θ ,1),b=(1,cos θ )得 a+b=(sin θ +1,1+cos θ ), 2 2 |a+b|= ?sin θ +1? +?1+cos θ ? = 3+2?sin θ +cos θ ?= π 3+2 2sin?θ + ?, 4 π 当 sin(θ + )=1 时,|a+b|取得最大值, 4 π 即当 θ = 时,|a+b|的最大值为 2+1 4 2 20 已知函数 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos ω x(ω >0)的最小正周期为 π . (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π 的图象,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最小值. 16 2 (1)因为 f(x)=sin(π -ω x)cos ω x+cos ω x. π? 1+cos 2ω x 1 1 1 2 ? 所以 f(x)=sin ω xcos ω x+ = sin 2ω x+ cos 2ω x+ = s in?2ω x+ ? 4? 2 2 2 2 2 ? 1 + . 2 2π 由于 ω >0,依题意得 =π ,所以 ω =1. 2ω π? 1 2 ? (2)由(1)知 f(x)= sin?2x+ ?+ , 4? 2 2 ?

7

所以 g(x)=f(2x)=

π? 1 2 ? sin?4x+ ?+ . 4? 2 2 ? 所以 π? 2 ? ≤sin?4x+ ?≤1 . 4? 2 ?

π π π π 当 0≤x≤ 时, ≤4x+ ≤ , 16 4 4 2 1+ 2 因此 1≤g(x)≤ . 2

? π? 故 g(x)在区间?0, ?上的最小值为 1. ? 16? 21. 已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
且 a cos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; → → (2)若 a=1,AB?AC=3,求 b+c 的值. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得 sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin Bsin A=cos Asin B, 3 π ,故 A= . 3 6

所以 tan A=

→ → π (2)由AB?AC=3,得 bccos =3,即 bc=2 3,① 6 又 a=1, ∴1=b +c -2bccos
2 2 2

π ,② 6

由①②可得(b+c) =7+4 3,所以 b+c=2+ 3. 22. 如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

解 ∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ , ∠OCP=120°. 在△POC 中,由正弦定理得 = , sin∠PCO sinθ 2 CP 4 ∴ = ,∴CP= sinθ . sin120° sinθ 3

OP

CP

OC 2 4 = ,∴OC= sin(60°-θ ). sin?60°-θ ? sin120° 3 因此△POC 的面积为

8

S(θ )= CP?OCsin120°
1 4 4 = ? sinθ ? sin(60°-θ 2 3 3 4 = sin θ sin(60°-θ ) 3 4 1 ? 3 = sin θ ? cos θ - sin θ 2 ?2 3 2 2 =2sin θ ?cos θ - sin θ 3 =sin 2θ + = 3 3 cos 2θ - 3 3 )? 3 2

1 2

? ? ?

π? 2 3 3 ? sin?2θ + ?- 6 3 ? ? 3

π 3 ∴θ = 时,S(θ )取得最大值为 . 6 3

9



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