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2014年潍坊市高三上学期期末考试数学(理)试题



高三数学(理科)检测
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a ? bi ?

25 (a、b 都是实数,i 为虚数单位),则 a+b=A.1B. -1 C7 D.-7 3 ? 4i

2.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1} , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 1

} ,则 M ? N ? A. {(0,1)} B. {1,?2} C. {1} D. [?1,??)

3.设 P ? e 0.2 , Q ? ln 0.2 , R ? sin A. P ? R ? Q

15 ? ,则 7
C. R ? P ? Q
3

B. R ? Q ? P

D. Q ? R ? P

4.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a3 ? 6 , s3 ? A.1 B. ?

? 4 xdx,则公比 q 的值为
0

1 2

C.l 或 ?

1 2

D.-1 或 ?

1 2

5.将函数 y ? sin x ? cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则 m 的最小值是 A.

?
4

B.

? 6

C.

3? 4

D.

5? 6

6. “ m=3”是“直线 l1: 2(m ? 1) x ? (m ? 3) y ? 7 ? 5m ? 0 与直线 l2: (m ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直”的 A.充分不必要条件 必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不

?x ? y ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 5 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 1 ?
A.2 8.函数 y ? 2
x

B.3

C.4

D.5

? x 2 ( x ? R) 的图象大致为

9.已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? ; ② 若 m ? ? , n ?? , 且 m ? n , 则 ? ? ? ; ③ 若

m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ;
A.①④ B.②③

④若 m // ? , n // ? ,且 m // n ,则 ? // ? .其中正确命题的序号是 C.②④ D.①③

1

10. 设 M 是 ?ABC 边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,若 AN ? ? AB ? ? AC ,则 λ+μ 的值为 B.

A.

1 2

1 3
2

C.

1 4

D.1

x2 y2 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F,点 A 是两曲 a b
线的一个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 A.2 B. 1 ? 3 C. 2 ?

2

D. 1 ? 2


12 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 , 当 x≠0 时 , f ( x) ?

f ( x) ? 0 ,则关于 x 的函数 x
D.0 或 2

g ( x) ? f ( x) ?

1 的零点个数为 A.l x

B.2

C.0

二、填空题(本题共 4 小题,共 16 分) 13.执行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 是________.

14.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的体积 是________.

15.已知定点 Q(2,?1) ,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,动点 P 为抛物线上任意一点,当 | PQ | ? | PF | 取
2

最小值时 P 的坐标为________. 16 . 已 知 m ? 0 , n ? 0 , 若 直 线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与 圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 相 切 , 则

m ? n 的取值范围是________.
17. (本小题满分 12 分) 已知 m ? (2 sin x, sin x ? cos x) , n ? ( 3 cos x, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? m ? n. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c ,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , ?ABC 的面积为 的值.

A 2

3 ,求 a 2

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 m 的值: (2)设 g ( x) ? 2 x?1 ? a .若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点.求实数 a 的取值范围.

4x ? m 是奇函数. 2x

19.(本小题满分 l2 分) 已知 {an } 为等比数列,其中 a1=1,且 a2,a3+a5,a4 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式: (2)设 bn ? (2n ? 1) ? an ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn.

3

20. (本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中,AD=1,AA1=AB=2.点 E 是线段 AB 上的动点,点 M 为 D1C 的 中点. (1)当 E 点是 AB 中点时,求证:直线 ME‖平面 ADD1 A1; (2)若二面角 A- D1E-C的余弦值为

4 5 .求线段 AE 的长. 15

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 2 ?

x2 a

2 y2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M ( 2, 1) ,离心率为 2 . 2 b

(1)求椭圆 C 的方程: (2)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点,点 P(4,3),记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, 当 k1·k2 最大时,求直线 l 的方程.

4

高三数学(理科)检测答案(阅卷)
一、 二、 选择题(共 60 分)BCDCA 填空题(共 16 分)13. 1007 ADABA 14. DC 15. ( , ?1)

1 2

1 4

16. m ? n ? 2 ? 2 2

17.解:(1)∵ f ( x) ? m ? n = (2sin x,sin x ? cos x) ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) = 2 3 sin x cos x ? sin x ? cos x
2 2

?? ?

? 2sin(2 x ? ) 6

?

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ?

?

A 2

?

? 2? ) ? 2 即 sin( A ? ) ? 1 所以 A ? 6 6 3

6

)

--------------6 分 -----8 分



1 3 ,可得: c ? 2 bc sin A ? 2 2
2 2 2

-------------10 分

所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ,得 a ?

7 ---------------12 分
---4 分

18. 解: (1)由函数 f ( x ) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 ,解得 m ? ?1 .

( 2 ) 函 数 f ( x) 与 g ( x) 的 图 象 至 少 有 一 个 公 共 点 即 方 程 ------6 分 即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根
x x

4x ? 1 ? 2x?1 ? a 至 少 有 一 个 实 根 2x

-----------------8 分

x 2 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 t ? at ? 1 ? 0 至少有一个正根 ,方法一:由于 a ? t ? ? 2

∴a 的取值范围为 [2, ??) .
2

1 t

---------------------12 分

?? ? 0 ? 方法二:令 h(t ) ? t ? at ? 1 ,由于 h(0) ? 1 ? 0 ,所以只须 ? a ,解得 a ? 2 . ?0 ? ?2
∴a 的取值范围为 [2, ??) . 19. 解 : (1) 设 在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 公 比 为 q , 因 为 a2 , a3 ? a5 , a4 成 等 差 数 列 . 所 以

2(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4
2(q2 ? q4 ) ? q ? q3 ,解得 q ?
1 2

------------------------------2 分 -------------------4 分
5

所以 an ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

------------------------------6 分

(Ⅱ) bn ? (2n ? 1) ? ?

?1? ?2?

n ?1

. Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
2 n ?1

1 ?1? ?1? Tn ? 1?1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2?
2 3


n

1 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ------------------------------8 分 2 2 ?2? ?2? ? 2?
n ?1 n ? 1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? ①—②,得 Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ? ?2? ?2 ? 2 ? ? ?

n ? ? 1 ?n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ?

? 3?

2n ? 3 2n

------------------------------10 分

所以 Tn ? 6 ?

2n ? 3 2n ?1

------------------------------12 分

20.(1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , ------------------------------1 分 MN∥

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

------------------------------3 分
z D1 A1 N M B1 C1

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN------------------------------4


? AN ? 平面ADD1 A1 ME ? 平面ADD1 A1 , ? ME ∥平面 AD1 .
-------6 分 (2)解:设 AE ? m ,如图建立空间直角坐标系-----7 分

A(1,0,0), E(1, m,0), C(0, 2,0), D1 (0,0, 2) ,

D

C y

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AD1 ? (?1,0,2), AE ? (0, m,0), DC ? (0,2, ? 2), EC ? (?1,2 ? m,0), 1
平面 AD1E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 n1 ? AD1 ? 0 及 n1 ? AE ? 0 得 n1 ? (2,0,1)

A x

E

B

??

??

???? ?

? ?? ???

??

------------------------------9 分

平 面 D1EC 的 法 向 量 为 n2 ? ( x, y, z) , 由 n2 ?

?? ?

?? ?

? ???? ? ?? ? ??? ?? ? D1C ? 0 及 n2 ? EC ? 0 得 n2 ? (2 ? m,1,1)

6

?? ?? ? n1 ?n2 5 ? 2m 4 5 cos ? ? ?? ?? ? ? ? 2 n1 ?n2 5 (2 ? m) ? 1 ? 1 15
3 43 3 m ? 或m ? (舍) 所以 AE ? 2 10 2
21.解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

, 即

20m2 ? 116m ? 129 ? 0 , 解 得

-------12 分 ------------------------------1 分

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

------------------------------3 分

' (i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x) ?

( x ? 1) 2 故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加. ----------4 分 x

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 或 x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ; 故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 , 同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增. (2) 由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 设 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F (x) ? x ?
'

-----------------------------5 分

------------------------------6 分

1 2 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立. 2
------------------------------8 分

1 2 x ? a ln x ? 2 x , 2

a ?2? 2 a ?2?0 x
-----------------------------10 分 ------------------------------12 分

所以 F(x) 在区间[e,? ?) 上是增函数, 只需 F(e) ?

1 2 1 e ? a ? 2e ? 0 即 a ? 2 e ? e 2 2 2

22. (本小题满分 14 分) 解:(1) 由已知可得

c2 a 2 ? b2 1 ? ? ,所以 a 2 ? 2b2 a2 a2 2
2 1 ? ?1 a 2 b2



-----------------------------1 分 -----------------------------2 分

又点 M ( 2,1) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 2 .
2 2



故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2
7

-----------------------------4 分



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