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山东省枣庄八中南校区2015-2016学年高二上学期10月月考数学试题(理科) Word版含解析



2015-2016 学年山东省枣庄八中南校区高二(上)10 月月考数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.△ ABC 中,A=45°,C=30°,c=10,则 a 等于( ) A.10 B. C. D.
2 2 2

2. 在△ ABC

中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a +c ﹣b = A. B. C. 或 D. 或

ac, 则角 B 的值为 (



3.在△ ABC 中,若 acosB=bcosA,则△ ABC 的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.若△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. B. C. D. )

5.△ ABC 中,AB= A. B. C.

,AC=1,∠B=30°,则△ ABC 的面积等于( D.



6.数列{an}为等比数列,a1=2,a5=8,则 a3=( A.4 B.﹣4 C.±4 D.±



7.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176



8.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn= ( ) A. B. C. D.n +n
2

9. 在等差数列{an}中, a1>0, 5a5=9a9, 则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值等于 ( A.12 B.13 C.14 D.13 或 14
*



10.已知数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上, 则 =( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上. … 11.数列数列﹣3,5,﹣7,9,﹣11,… 的一个通项公式为 . 12.在△ ABC 中,若 a +b <c ,且 sinC=
n 2 2 2

,则∠C=



13.已知数列{an}的前 n 项和是 2Sn=3 +3,则数列的通项 an=



14.如图,一艘轮船按照北偏西 30°的方向以每小时 30 海里的速度从 A 处开始航行,此时灯 塔 M 在轮船的北偏东 45°方向上,经过 40 分钟后,轮船到达 B 处,灯塔在轮船的东偏南 15° 方向上,则灯塔 M 和轮船起始位置 A 的距离为 海里.

15.已知数列{an}的通项公式为 an=nsin

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2015=



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分) (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成 等差数列. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 17. (12 分) (2015 秋?枣庄校级月考)已知等差数列{an}满足:a6=13,a2+a4=14,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn. (Ⅱ)令 bn= , (n∈N ) ,求数列{bn}的前项和 Tn.
*

18. (12 分) (2015 秋?枣庄校级月考)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂, 经营中,第一年支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和(f(n)前 n 年总收入前 n 年的总支出﹣投资额 72 万元)

(1)该厂从第几年开始盈利? (2)写出年平均纯利润的表达式. 19. (12 分) (2013?浙江) 在锐角△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2asinB= (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. 20. (13 分) (2015?安徽) 在△ ABC 中, ∠A= 求 AD 的长. 21. (14 分) (2013?湖南校级模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插人 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列{ 的前 n 项和 Tn. }
*

b.

, AB=6, AC=3

, 点 D 在 BC 边上, AD=BD,

2015-2016 学年山东省枣庄八中南校区高二(上)10 月月 考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.△ ABC 中,A=45°,C=30°,c=10,则 a 等于( ) A.10 B. C. D.

【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】直接利用正弦定理求得 a 的值. 【解答】 解: △ ABC 中, 由正弦定理可得 = , 即 = , 解得 a=10 ,

故选 B. 【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理的应用,属于基础题. 2. 在△ ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若 a +c ﹣b = A. B. C. 或 D. 或
2 2 2

ac, 则角 B 的值为 (



【考点】余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】通过余弦定理求出 cosB 的值,进而求出 B.

【解答】解:∵



∴根据余弦定理得 cosB= ∴ ,又在△ 中所以 B 为 .

,即



故选 A. 【点评】本题考查了余弦定理的应用.注意结果取舍问题,在平时的练习过程中一定要注意 此点. 3.在△ ABC 中,若 acosB=bcosA,则△ ABC 的形状一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】应用正弦定理和已知条件可得 B=0,得到△ ABC 为等腰三角形. 【解答】解:∵在△ ABC 中,acosB=bcosA,∴ ∴ ,又由正弦定理可得 , ,进而得到 sin(A﹣B)=0,故有 A﹣

,sinAcosB﹣cosAsinB=0,sin(A﹣B)=0.

由﹣π<A﹣B<π 得,A﹣B=0,故△ ABC 为等腰三角形, 故选 D. 【点评】本题考查正弦定理的应用,根据三角函数值求角的大小,推出 sin(A﹣B)=0 是解 题的关键. 4.若△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. B. C. D. )

【考点】余弦定理. 【专题】计算题. 【分析】通过正弦定理求出,a:b:c=2:3:4,设出 a,b,c,利用余弦定理直接求出 cosC 即可. 【解答】解:因为 sinA:sinB:sinC=2:3:4 所以 a:b:c=2:3:4,设 a=2k,b=3k,c=4k 由余弦定理可知: cosC= = =﹣ .

故选 A. 【点评】本题是基础题,考查正弦定理与余弦定理的应用,考查计算能力. 5.△ ABC 中,AB= ,AC=1,∠B=30°,则△ ABC 的面积等于( )

A.

B.

C.

D.

【考点】解三角形. 【专题】计算题. 【分析】由 AB,AC 及 cosB 的值,利用余弦定理即可列出关于 BC 的方程,求出方程的解即 可得到 BC 的长,然后利用三角形的面积公式,由 AB,BC 以及 sinB 的值即可求出△ ABC 的 面积. 【解答】解:由 AB=
2

,AC=1,cosB=cos30°=
2 2


2

根据余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB,即 1=3+BC ﹣3BC, 即(BC﹣1) (BC﹣2)=0,解得:BC=1 或 BC=2, 当 BC=1 时,△ ABC 的面积 S= AB?BCsinB= × 当 BC=2 时,△ ABC 的面积 S= AB?BCsinB= × 所以△ ABC 的面积等于 或 . ×1× = ×2× = ; ,

故选 D 【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,是一道中档题. 6.数列{an}为等比数列,a1=2,a5=8,则 a3=( A.4 B.﹣4 C.±4 D.± 【考点】等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列.
2



【分析】设等比数列{an}的公比为 q,由题意可得 q =2,可得 a3=a1?q ,代入计算可得. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, 则可得 q =
2 4

2

=4,解得 q =2,

2

∴a3=a1?q =2×2=4 故选:A 2 【点评】本题考查等比数列的通项公式,得出 q =2 是解决问题的关键,本题易错选 C,属易 错题. 7.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176 【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由 S11= 求得结果. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, ∴a1+a11=a4+a8=16, )

运算

∴S11=

=88,

故选 B. 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前 n 项和公式的应用,属于中档 题. 8.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn= ( ) A. B. C. D.n +n
2

【考点】等差数列的前 n 项和;等比数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】设数列{an}的公差为 d,由题意得(2+2d) =2?(2+5d) ,解得 由此可求出数列{an}的前 n 项和. 【解答】解:设数列{an}的公差为 d, 2 则根据题意得(2+2d) =2?(2+5d) , 解得 或 d=0(舍去) , .
2

或 d=0(舍去) ,

所以数列{an}的前 n 项和

故选 A. 【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 9. 在等差数列{an}中, a1>0, 5a5=9a9, 则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值等于 ( ) A.12 B.13 C.14 D.13 或 14 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由 5a5=9a9,利用等差数列的通项公式得到 a1=﹣13d,由此求出数列的{an}的前 n 项 和 Sn,配方后能求出数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,a1>0,5a5=9a9, ∴5(a1+4d)=9(a1+8d) , 整理,得 a1=﹣13d,∴d<0, =﹣13nd+ = ﹣ ,

∴n=13 或 n=14 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值. 故选:D. 【点评】本题考查数列{an}的前 n 项和 Sn 取最大值时 n 的值的求法,是基础题,解题时要认 真审题,注意等差数列的性质的合理运用. 10.已知数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上, 则 =( )
*

A.

B.

C.

D.

【考点】数列的求和. 【专题】计算题;转化思想. * 【分析】由“P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上”可得到数列的类型,再求其通项,求 其前 n 项和,进而得到新数列的规律,选择合适的方法求新数列的和. 【解答】解:∵点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上 ∴an﹣an+1+1=0 ∴数列{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. ∴an=n ∴ ∴ = = 故选 C 【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题,来考查数列的通项公式 及前 n 项和的求法. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上. … n 11.数列数列﹣3,5,﹣7,9,﹣11,… 的一个通项公式为 an=(﹣1) (2n+1) . 【考点】数列的函数特性. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】设此数列为{an},其符号为(﹣1) ,其绝对值为 2n+1,即可得出. n 【解答】解:设此数列为{an},其符号为(﹣1) ,其绝对值为 2n+1, n 可得通项公式 an=(﹣1) (2n+1) . n 故答案为:an=(﹣1) (2n+1) . 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 12.在△ ABC 中,若 a +b <c ,且 sinC= 【考点】余弦定理. 【专题】计算题. 【分析】直接利用勾股定理,判断三角形的形状,通过 sin C=
2 2 2 2 2 2 n *

,则∠C=



,求出∠C 的值. ,

【解答】 解: 因为在△ ABC 中, 若 a +b <c , 所以三角形是钝角三角形, ∠C>90°, 又 sin C= 所以∠C= 故答案为: . .

【点评】本题是基础题,考查三角形的有关计算,勾股定理、余弦定理的应用,考查计算能 力.

13.已知数列{an}的前 n 项和是 2Sn=3 +3,则数列的通项 an= 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 由 2Sn=3 +3, 可得当 n=1 时, 2a1=3+3, 解得 a1. 当 n≥2 时, ﹣2Sn﹣1 即可得出. n 【解答】解:∵2Sn=3 +3, ∴当 n=1 时,2a1=3+3,解得 a1=3. 当 n≥2 时, 化为 an=3 ∴an=
n﹣1 n

n



+3, 2an=2Sn

+3,∴2an=(3 +3)﹣(3 . ,

n

n﹣1

+3) ,

故答案为:



【点评】本题考查了递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.如图,一艘轮船按照北偏西 30°的方向以每小时 30 海里的速度从 A 处开始航行,此时灯 塔 M 在轮船的北偏东 45°方向上,经过 40 分钟后,轮船到达 B 处,灯塔在轮船的东偏南 15° 方向上,则灯塔 M 和轮船起始位置 A 的距离为 海里.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】首先将实际问题抽象成解三角形问题,再借助于正弦定理求出灯塔 M 和轮船起始位 置 A 的距离. 【解答】解:由题意可知△ ABM 中 AB=20,B=45°,A=75°, ∴∠M=60°,由正弦定理可得 ,

∴AM=



故答案为:



【点评】本题考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力,比较基础.

15.已知数列{an}的通项公式为 an=nsin 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】an=nsin

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2015= ﹣2014 .

+1,可得 a1=2,a2=1,a3=﹣3+1=﹣2,a4=1,a5=5+1=6,…,于是 +1=(﹣1)
k+1

a2k=2ksinkπ+1=1,a2k﹣1=(2k﹣1) 【解答】解:∵an=nsin +1,

(2k﹣1)+1.即可得出.

∴a1=2,a2=1,a3=﹣3+1=﹣2,a4=1,a5=5+1=6,…, 可得 a2k=2ksinkπ+1=1,a2k﹣1=(2k﹣1) +1=(﹣1)
k+1

(2k﹣1)+1.

∴S2015=(a1+a3+…+a2015)+(a2+a4+…+a2014) =[(1﹣3)+(5﹣7)+…+(2011﹣2013)﹣2015+1008]+1007 =(﹣2×1007﹣2015+1008)+1007 =﹣2014. 故答案为:﹣2014. 【点评】本题考查了递推关系的应用、分组求和问题、三角函数的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分) (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成 等差数列. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 【考点】数列与三角函数的综合. 【专题】计算题;综合题. 【分析】 (Ⅰ)在△ ABC 中,由角 A,B,C 成等差数列可知 B=60°,从而可得 cosB 的值; (Ⅱ) (解法一) ,由 b =ac,cosB= ,结合正弦定理可求得 sinAsinC 的值;
2

(解法二) , 由 b =ac, cosB= , 根据余弦定理 cosB= 为等边三角形,从而可求得 sinAsinC 的值. 【解答】解: (Ⅰ)由 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, ∴cosB= ;…6 分 (Ⅱ) (解法一) 2 2 由已知 b =ac,根据正弦定理得 sin B=sinAsinC,

2

可求得 a=c, 从而可得△ ABC

又 cosB= , ∴sinAsinC=1﹣cos B= …12 分 (解法二) 由已知 b =ac 及 cosB= ,
2 2

根据余弦定理 cosB= ∴B=A=C=60°, ∴sinAsinC= …12 分

解得 a=c,

【点评】本题考查数列与三角函数的综合,着重考查等比数列的性质,考查正弦定理与余弦 定理的应用,考查分析转化与运算能力,属于中档题. 17. (12 分) (2015 秋?枣庄校级月考)已知等差数列{an}满足:a6=13,a2+a4=14,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn. (Ⅱ)令 bn= , (n∈N ) ,求数列{bn}的前项和 Tn.
*

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)通过设等差数列{an}的公差为 d,利用 a1+5d=13、2a1+4d=14 计算可得首项与公 差,进而可得结论; (Ⅱ)通过(I)裂项可知 bn= ﹣ , (n∈N ) ,并项相加即得结论.
*

【解答】解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a6=13,a2+a4=14, ∴a1+5d=13,2a1+4d=14, 解得:a1=3,d=2, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1, Sn=3n+ ×2=n +2n; = = ﹣ , (n∈N ) ,
* 2

(Ⅱ)由(I)可知 bn= ∴Tn=b1+b2+…+bn =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1﹣

=



【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,裂项、并项相加是解决本题的关键,注意解题方 法的积累,属于中档题. 18. (12 分) (2015 秋?枣庄校级月考)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂, 经营中,第一年支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元,设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和(f(n)前 n 年总收入前 n 年的总支出﹣投资额 72 万元) (1)该厂从第几年开始盈利? (2)写出年平均纯利润的表达式. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)通过 f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资金额 72 万元即可列出表 达式,进而解不等式 f(n)>0 即得结论; (2)通过年平均纯利润为 ,直接列式即可.

【解答】解: (1)依题意,根据 f(n)=前 n 年的总收入﹣前 n 年的总支出﹣投资金额 72 万 元, 可得 f(n)=50n﹣[12n+
2

×4]﹣72=﹣2n +40n﹣72,

2

由 f(n)>0,即﹣2n +40n﹣72>0,解得:2<n<18, 由于 n 为整数, 故该厂从第 3 年开始盈利; (2)年平均纯利润 =﹣2n+40﹣ =40﹣2(n+ ) .

【点评】本题考查函数模型的选择与应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法 的积累,属于基础题. 19. (12 分) (2013?浙江) 在锐角△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 2asinB= b. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式,求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用特殊角的三 角函数值即可求出 A 的度数; (Ⅱ)由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,b+c 及 cosA 的值代入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 【解答】解: (Ⅰ)由 2asinB= b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB, ∵sinB≠0,∴sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ; ,

(Ⅱ)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 36=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=64﹣3bc, ∴bc= ,又 sinA= , .

2

2

2

2

2

2

则 S△ ABC= bcsinA=

【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 20. (13 分) (2015?安徽) 在△ ABC 中, ∠A=

, AB=6, AC=3

, 点 D 在 BC 边上, AD=BD,

求 AD 的长. 【考点】正弦定理;三角形中的几何计算. 【专题】解三角形. 【分析】由已知及余弦定理可解得 BC 的值,由正弦定理可求得 sinB,从而可求 cosB,过点 D 作 AB 的垂线 DE,垂足为 E,由 AD=BD 得:cos∠DAE=cosB,即可求得 AD 的长. 【解答】解:∵∠A= ,AB=6,AC=3
2 2


2

∴在△ ABC 中,由余弦定理可得:BC =AB +AC ﹣2AB?ACcos∠BAC=90. ∴BC=3 …4 分 ∵在△ ABC 中,由正弦定理可得: ∴sinB= ∴cosB= , …8 分 ,

∵过点 D 作 AB 的垂线 DE,垂足为 E,由 AD=BD 得:cos∠DAE=cosB, ∴Rt△ ADE 中,AD= = = …12 分

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基本知识的考查. 21. (14 分) (2013?湖南校级模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插人 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列{ 的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;数列的求和;等差数列的性质. 【专题】计算题. }
*

【分析】 (I) 由

可得 an=2sn﹣1+2 (n≥2) , 两式相减可得 an+1=3a( , n n≥2)

结合已知等比数列的条件可得 a2=3a1,可求 a1,从而可求通项 (II)等差数列的性质可知 【解答】解: (I)由 两式相减可得,an+1﹣an=2an 即 an+1=3an(n≥2) 又∵a2=2a1+2,且数列{an}为等比数列 ∴a2=3a1 则 2a1+2=3a1 ∴a1=2 ∴ (II)由(I)知, ∵an+1=an+(n+1)dn ∴ = , = ,利用错位相减可求数列的和 可得 an=2sn﹣1+2(n≥2)

= 两式相减可得, =

=

=

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用及由数列的递推公式求解通项,数列求 和的错位相减求和方法的应用是解答本题的关键



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