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广东省2012届高三全真模拟卷数学理科22



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 22
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知 a, b ∈ R ,若 a + bi = (1 + i ) ? i (其中为虚数单位) ,则(
3

) D、 a = 1, b = 1

A、 a = ?1, b = 1 2、 已知 p : a = “

B、 a = ?1, b = ?1

C、 a = 1, b = ?1

2” q: , “直线 x + y = 0 与圆 x 2 + ( y ? a ) 2 = 1 相切” 则 p 是 q 的( ,
B、必要非充分条件 D、既非充分也非必要条件

)

A、充分非必要条件 C、充要条件

3、已知 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 = 1 ,

S4 S = 4 ,则 6 的值为( S2 S4
5 4
D、4



A、

9 4

B、

3 2

C、

4、如图,圆 O : x 2 + y 2 = π 2 内的正弦曲线 y = sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴 影部分) ,随机往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的概率是( )

4
A、

4
B、

π π

2

π3
2

2
C、
2

D、

π3

5、在一条公路上每隔 10 公里有一个仓库,共有 5 个仓库。一号仓库 存有则 10 吨货物,二号仓库存有 20 吨货物,五号仓库存有 40 吨 货物,其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中 存放一个仓库里,若每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运 输费,则最少需要的运费是( ) A、450 元 B、500 元 C、550 元 D、600 元 6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A、2 B、1 C、

2 3

D、

1 3

第 1 页 共 14 页

7、设平面区域 D 是由双曲线 x ?
2

y2 = 1 的两条渐近线和直线 6 x ? y ? 8 = 0 所围成三角形 4
) D、7

的边界及内部。当 ( x, y ) ∈ D 时, x 2 + y 2 + 2 x 的最大值为( A、24 B、25 C、4

, 8、已知函数 f ( x ) 的定义域为 [ ?1 5] ,部分对应值如下表。
f ( x ) 的导函数 y = f ′( x ) 的图象如图所示。
下列关于函数 f ( x ) 的命题: ① 函数 y = f ( x ) 是周期函数;

2 ② 函数 f ( x ) 在 [ 0,] 是减函数;
③ 如果当 x ∈ [ ?1, t ] 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么的最大值为 4; ④ 当 1 < a < 2 时,函数 y = f ( x ) ? a 有 4 个零点。 其中真命题的个数是 ( ) A、4 个 B、3 个

C、2 个

D、1 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 9 、 已 知 全 集 U = R , 集 合 A 为 函 数 f ( x ) = ln( x ? 1) 的 定 义 域 , 则

C

U

A=



10、在 ?ABC 中,已知 a , b, c 分别 ∠A, ∠B , ∠C 所对的边, S 为 ?ABC 的面积,若向量

u r r u r p = (4, a 2 + b 2 ? c 2 ) , q = (1, S ) 满足 p / / q ,则 ∠C =



11 、 在 极 坐 标 系 中 , 设 P 是 直 线 l : ρ (cos θ + sin θ ) = 4 上 任 一 点 , Q 是 圆

C:ρ 2 = 4 ρ cos θ ? 3 上任一点,则 | PQ | 的最小值是
12、如图,割线 PBC 经过圆心 O, PB = PB = 1 , PB 绕点 O 逆时针旋 120°到 OD ,连 PD 交圆 O 于点 E , 则 PE = .



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13、已知 a 为如图所示的程序框图输出的结果,

1 ? ? 2 则二项式 ? a x ? ? 的展开式中含 x 项 x? ?
的系数是 。

6

14.已知等差数列 {an } 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 {bn } 首项 为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都是大于 1 的正整数,且 a1 < b1 , b2 < a3 , 对于任意的 n ∈ N ,总存在 m ∈ N ,使得 am + 3 = bn 成立,则 an =
* *

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. 15、 本小题满分 13 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin ?

?x π? ?x π? + ? cos ? + ? ? sin( x + π ) 。 ?2 4? ?2 4?

(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若将 f ( x ) 的图象向右平移

π
6

个单位,得到函数 g ( x ) 的图象,求函数 g ( x ) 在区间

[0,π ]

上的最大值和最小值。

16、 (本小题满分 第 16、 本小题满分 13 分) 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日到 23 日在深 ( 圳举行 , 为了搞好接待工作, 组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位:cm) : 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” , 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” 。 (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望。

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17、 (本小题满分 17、 本小题满分 13 分) ( 点 ∠ BM ⊥ AC 交 AC 于点 M , 如图,AC 是圆 O 的直径, B 在圆 O 上, BAC = 30° , 平面 ABC , FC // EA , AC = 4, EA = 3, FC = 1 . EA ⊥ (1)证明: EM ⊥ BF ; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. . E

F O
?

M

A

C

B

18. 18.(本小题满分 13 分) 已知点 F 是椭圆

x2 + y 2 = 1(a > 0) 的右焦点,点 M ( m, 0) 、 N (0, n) 分别是 x 轴、 1 + a2

y 轴上的动点,且满足 MN ? NF = 0 .若点 P 满足 OM = 2ON + PO .
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A 、B 两点, 直线 OA 、OB 与直线 x = ?a 分别交于点 S 、 T ( O 为坐标原点) ,试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这 个定值;若不是,请说明理由.

uuu uuu r r

第 4 页 共 14 页

19. 19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和,且满足
2 an = S 2 n ?1 , n ∈ N* .数列 {bn } 满足 bn =

1 , Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和. an ? an +1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ∈ N* ,不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 < m < n ) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有

m, n 的值;若不存在,请说明理由.

20. ( 20. 本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ln x + (1)当 a =

a (a ∈ R ) . x +1

9 时,如果函数 g ( x ) = f ( x ) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a = 2 时,试比较 f (x ) 与的大小; (3)求证: ln(n + 1) >
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1 1 1 1 ( n ∈ N* ) . + + +L+ 3 5 7 2n + 1

参考答案 一、选择题 CAAB BCAD 二、填空题 9、 { x | x ≤ 1} 三、解答题 15、解: (1) f ( x ) = 11、 2 ? 1

10、8

12、

3 7 7

13、-192

3 sin( x +

π
2

) + sin x
…………………………………………………2 分

= 3 cos x + sin x 1 3 = 2( sin x + cos x) 2 2
= 2 sin( x +

π ). 3

…………………………………………………4 分

所以 f (x ) 的最小正周期为 2π . 分 (2)Q 将 f (x ) 的图象向右平移

………………………………………6

π 个单位,得到函数 g (x ) 的图象, 6
?

π π π ∴ g ( x) = f ( x ? ) = 2 sin ?( x ? ) + ? ? ?
6 6 3?

π …………………………………………………8 分 ). 6 π π 7π Q x ∈ [0, π ] 时, x + ∈ [ , ] , …………………………………………………10 6 6 6
= 2 sin( x +


∴当 x +

π π π π = ,即 x = 时, sin( x + ) = 1 , g (x ) 取得最大值 2. …………11 分 6 2 3 6

第 6 页 共 14 页

当x+

π
6

=

7π π 1 ,即 x = π 时, sin( x + ) = ? , g (x ) 取得最小值 ?1 .………13 分 6 6 2

16、解: (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人,………………………… 1分 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以选中的“高个子”有 12 ×

5 1 = , 30 6

…………………………2 分

1 1 “非高个子”有 18 × = 3 人.…………………3 分 = 2 人, 6 6

,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个 用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” 子”被选中” , 则 P ( A) = 1 ?
2 C3 3 7 = 1? = . 2 C5 10 10

………………………………5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 (2)依题意, ξ 的取值为 0, 1, 2, 3 .

7 . 10

……………………………6 分

……………………………7 分
2 C1 C8 28 4 = , 3 C12 55

P ( ξ = 0) =

3 C8 14 = , 3 C12 55

P(ξ = 1) =

P(ξ = 2) =

C 2 C1 12 4 8 = , 3 C12 55

P(ξ = 3) =

C3 1 4 = . 3 C12 55

…………………………9 分

因此, ξ 的分布列如下:

ξ
p

0
14 55 28 55

2

3
1 55
………………11 分

12 55

∴ Eξ = 0 ×

14 28 12 1 + 1× + 2 × + 3× =1. 55 55 55 55

…………………………13 分

17、解: (法一) (1)Q EA ⊥ 平面 ABC, BM ? 平面 ABC , ∴ EA ⊥ BM .…………… E 1分 又Q BM ⊥ AC, EA ∩ AC = A , ∴ BM ⊥ 平面 ACFE, 而 EM ? 平面 ACFE, ∴ BM ⊥ EM . ………………………………………3 分 Q AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC = 90o . M O 又Q ∠BAC = 30°, AC = 4 , ? A
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F

C

B

∴ AB = 2 3,BC = 2, AM = 3, CM = 1 . Q EA ⊥ 平面 ABC, FC // EA , FC = 1 , ∴ FC ⊥ 平面 ABCD . ∴ ?EAM 与 ?FCM 都是等腰直角三角形. ∴ ∠EMA = ∠FMC = 45° . ∴ ∠EMF = 90° ,即 EM ⊥ MF (也可由勾股定理证得) .………………………………5 分 Q MF ∩ BM = M , ∴ EM ⊥ 平面 MBF . 而 BF ? 平面 MBF , ∴ EM ⊥ BF . ………………………………………………………………………………6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G ,连 BG ,过 C 作 CH ⊥ BG ,连结 FH . 由(1)知 FC ⊥ 平面 ABC , BG ? 平面 ABC , ∴ FC ⊥ BG . E 而 FC ∩ CH = C ,∴ BG ⊥ 平面 FCH . Q FH ? 平面 FCH , ∴ FH ⊥ BG , ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的
F 二面角的平面角. ……………………8 分 在 Rt?ABC 中,Q ∠BAC = 30° , AC = 4 , O A
?

M

C H

G

∴ BM = AB ? sin 30 = 3 .
o

FC GC 1 由 = = ,得 GC = 2 . EA GA 3

B

Q BG = BM 2 + MG 2 = 2 3 .
又Q ?GCH ~

?GBM ,
………………………………12 分



GC ? BM 2 × 3 GC CH ,则 CH = = =1. = BG BM BG 2 3

∴?FCH 是等腰直角三角形, ∠FHC = 45 o .
∴ 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为
(法二) (1)同法一,得 AM = 3, BM =

2 . 2

………………………13 分

3.

………………………3 分

如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 、 AC 、 AE 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系. 由已知条件得 A(0, 0, 0), M (0, 3, 0), E (0, 0, 3), B ( 3, 3, z F (0, 4, 1) , 0), E

uuur uuu r ∴ ME = (0, ? 3, 3), BF = ( ? 3, 1, 1) . ………4 分
由 ME ? BF = (0, ? 3, 3) ? ( ? 3, 1, 1) = 0 ,

uuur uuu r

F
第 8 页 共 14 页

O A x
?

M

C y

B

得 MF ⊥ BF , ∴ EM ⊥ BF .

……………6 分

(2)由(1)知 BE = ( ? 3, ? 3, 3), BF = ( ? 3, 1, 1) . 设平面 BEF 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 由 n ? BE = 0, n ? BF = 0, 得 ?

uuu r

uuu r

r uuu r

r uuu r

?? 3x ? 3 y + 3z = 0 ?


?? 3x + y + z = 0 ? r 令 x = 3 得 y = 1, z = 2 ,∴ n = 3, 1, 2 ,

(

)

…………………………9 分

由已知 EA ⊥ 平面 ABC ,所以取面 ABC 的法向量为 AE = (0, 0, 3) , 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ , 则 cos θ = cos < n, AE > =

uuu r

r



3 × 0 + 1× 0 + 2 × 3 2 = , …………………………12 分 2 3× 2 2
2 . ……………………13 分 2

∴ 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

18、解: (1)Q 椭圆

x2 + y 2 = 1(a > 0) 右焦点 F 的坐标为 ( a, 0) ,………………1 分 2 1+ a

uuur ∴ NF = ( a, ? n) . uuuu r Q MN = ( ? m, n) ,
∴ 由 MN ? NF = 0 ,得 n 2 + am = 0 .
…………………………3 分

设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 OM = 2ON + PO ,有 ( m, 0) = 2(0, n) + ( ? x, ? y ) ,

?m = ? x, ? 2 2 ? y 代入 n + am = 0 ,得 y = 4ax . n= . ? 2 ?
(2)(法一)设直线 AB 的方程为 x = ty + a , A(

…………………………5 分

y12 y2 , y1 ) 、 B ( 2 , y2 ) , 4a 4a
………………………………6 分

则 lOA : y =

4a 4a x , lOB : y = x. y1 y2

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4a ? x, 4a 2 4a 2 ?y = y1 ,得 S (? a, ? 由? ) , 同理得 T (? a, ? ) .…………………………8 分 y1 y2 ? x = ?a ?
uuu r uuu r uuu uuu r r 4a 2 4a 2 16a 4 2 ∴ FS = (?2a, ? ) , FT = (?2a, ? ) ,则 FS ? FT = 4a + . ………9 分 y1 y2 y1 y2
由?

? x = ty + a, ? y = 4ax
2

,得 y 2 ? 4aty ? 4a 2 = 0 ,∴ y1 y2 = ?4a 2 .

……………………11 分

则 FS ? FT = 4a +
2

16a 4 = 4a 2 ? 4a 2 = 0 . 2 (?4a )

…………………………13 分

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 . …………………………………14 分 (法二)①当 AB ⊥ x 时, A( a , 2a ) 、 B ( a , ? 2 a ) ,则 lOA : y = 2 x , lOB : y = ?2 x .

uuu uuu r r

uuu r ? y = 2 x, 得点 S 的坐标为 S ( ? a, ? 2 a ) ,则 FS = ( ?2a, ? 2a ) . ? x = ?a uuu r ? y = ?2 x , 由? 得点 T 的坐标为 T ( ? a , 2a ) ,则 FT = ( ?2 a , 2 a ) . ? x = ?a uuu uuu r r ∴ FS ? FT = ( ?2a ) × ( ?2a ) + ( ?2a ) × 2a = 0 . ………………………………………7 分
由?

y ② 当 AB 不 垂 直 x 轴 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y = k ( x ? a )( k ≠ 0) , A( 1 , y1 ) 、 4a B(
2 uuu uuu r r 16a 4 y2 . , y2 ) ,同解法一,得 FS ? FT = 4a 2 + 4a y1 y2

2

…………………………………10 分

由?

? y = k ( x ? a), ? y = 4ax
2 2

,得 ky 2 ? 4ay ? 4ka 2 = 0 ,∴ y1 y2 = ?4a 2 .……………………11 分

16a 4 = 4a 2 ? 4a 2 = 0 . 则 FS ? FT = 4a + 2 (?4a ) uuu uuu r r 因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0 .

…………………………13 分

…………………………………14 分

2 19、解: (法一)在 an = S 2 n ?1 中,令 n = 1 , n = 2 , (1)

?a1 2 = S1 , ? 得? 2 ?a 2 = S 3 , ?

? 2 ?a1 = a1 , 即? ?(a1 + d ) 2 = 3a1 + 3d , ?

……………………………………2 分

解得 a1 = 1 , d = 2 ,

………………………………………3 分

∴ an = 2 n ? 1 .

第 10 页 共 14 页

Q bn =
∴Tn =

1 1 1 1 1 = = ( ? ), an an +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1
……………………5 分

1 1 1 1 1 1 n . (1 ? + ? + L + )= ? 2 3 3 5 2 n ? 1 2n + 1 2n + 1

(法二)Q {an } 是等差数列, ∴

a1 + a 2 n ?1 = an 2

∴ S 2 n ?1 =

a1 + a 2 n?1 (2n ? 1) = (2n ? 1)a n . 2
2

…………………………2 分

2 由 an = S 2 n ?1 ,得 a n = (2n ? 1)a n ,

又Q an ≠ 0 ,∴ an = 2n ? 1 ,则 a1 = 1, d = 2 . ( Tn 求法同法一)

………………………3 分

(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,即需不等式

(n + 8)(2n + 1) 8 = 2n + + 17 恒成立. n n 8 Q 2n + ≥ 8 ,等号在 n = 2 时取得. n

λ<

…………………………………6 分

∴ 此时 λ 需满足 λ < 25 .

…………………………………………7 分

②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn < n + 8 ? ( ?1) n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n + 1) 8 …………………………………8 分 = 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 Q 2n ? 是随 n 的增大而增大, ∴ n = 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n

λ<

∴ 此时 λ 需满足 λ < ?21 .
综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ < ?21 . (3) T1 =

…………………………………………9 分 …………………………………………10 分

1 m n , , Tm = , Tn = 3 2m + 1 2n + 1 m2 n m 2 1 n = .…11 分 ) = ( ) ,即 2 2m + 1 3 2n + 1 4 m + 4 m + 1 6n + 3 3 ?2m 2 + 4m + 1 可得 = > 0, n m2
…………………………………12 分

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 (

m2 n (法一)由 = , 2 4 m + 4 m + 1 6n + 3
即 ?2 m 2 + 4 m + 1 > 0 ,

第 11 页 共 14 页

∴ 1?

6 6 . < m < 1+ 2 2

……………………………………13 分

又 m ∈ N ,且 m > 1 ,所以 m = 2 ,此时 n = 12 .

T 因此,当且仅当 m = 2 , n = 12 时,数列 { n }中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.…………14 分
m2 1 n 1 1 < ,即 2m 2 ? 4m ? 1 < 0 , = < ,故 2 4m + 4m + 1 6 6n + 3 6 + 3 6 n

(法二)因为

∴ 1?

6 6 , (以下同上) . < m < 1+ 2 2

…………………………………………13 分

20、解: (1)当 a =

9 9 时, f ( x ) = ln x + ,定义域是 (0,+∞ ) , 2 2( x + 1)

f ′( x ) =

1 1 9 ( 2 x ? 1)( x ? 2) , 令 f ′( x) = 0 ,得 x = 或 x = 2 . …2 分 ? = 2 2 2 x 2( x + 1) 2 x ( x + 1)

1 1 或 x > 2 时, f ′( x ) > 0 ,当 < x < 2 时, f ′( x ) < 0 , 2 2 1 1 ∴ 函数 f (x ) 在 (0, ) 、 ( 2,+∞ ) 上单调递增,在 ( , 2) 上单调递减. ……………4 分 2 2 1 3 ∴ f (x ) 的极大值是 f ( ) = 3 ? ln 2 ,极小值是 f ( 2) = + ln 2 . 2 2
Q当0 < x < Q 当 x → +0 时, f (x ) → ?∞ ; 当 x → +∞ 时, f (x ) → +∞ , ∴ 当 g (x ) 仅有一个零点时, k 的取值范围是 k > 3 ? ln 2 或 k <
(2)当 a = 2 时, f ( x) = ln x +

3 + ln 2 .……………5 分 2

2 ,定义域为 (0,+∞ ) . x +1 2 令 h( x ) = f ( x ) ? 1 = ln x + ?1, x +1

Q h′( x) =

1 2 x2 + 1 ? = >0, x ( x + 1) 2 x( x + 1) 2
…………………………………7 分

∴ h(x) 在 (0,+∞ ) 上是增函数.
①当 x > 1 时, h ( x ) > h(1) = 0 ,即 f ( x ) > 1 ;

②当 0 < x < 1 时, h( x) < h(1) = 0 ,即 f ( x ) < 1 ; ③当 x = 1 时, h( x) = h(1) = 0 ,即 f ( x ) = 1 . …………………………………9 分

第 12 页 共 14 页

(3) (法一)根据(2)的结论,当 x > 1 时, ln x + 令x=

2 x ?1 . > 1 ,即 ln x > x +1 x +1

k +1 k +1 1 ,则有 ln , > k k 2k + 1
n

∴ ∑ ln
k =1

n

k +1 n 1 . ……………12 分 >∑ k k =1 2k + 1

Q ln(n + 1) = ∑ ln
k =1

k +1 , k
……………………………………14 分

∴ ln(n + 1) >

1 1 1 . + +L+ 3 5 2n + 1

(法二)当 n = 1 时, ln( n + 1) = ln 2 .

1 Q 3ln 2 = ln 8 > 1 ,∴ ln 2 > ,即 n = 1 时命题成立. ………………………………10 分 3 1 1 1 . 设当 n = k 时,命题成立,即 ln( k + 1) > + + L + 3 5 2k + 1 k +2 1 1 1 k +2 ∴ n = k + 1 时,ln(n + 1) = ln(k + 2) = ln(k + 1) + ln . > + +L + + ln k +1 3 5 2k + 1 k +1 2 x ?1 根据(2)的结论,当 x > 1 时, ln x + . > 1 ,即 ln x > x +1 x +1 k+2 k+2 1 令x= ,则有 ln , > k +1 k + 1 2k + 3 1 1 1 1 则有 ln( k + 2) > + + L + ,即 n = k + 1 时命题也成立.……………13 分 + 3 5 2k + 1 2k + 3
因 此 , 由 数 学 归 纳 法 可 知 不 等 式 成 立. ………………………………14 分 (法三)如图,根据定积分的定义, 得
n 1 1 1 1 ×1 + ×1 + L + ×1 < ∫ dx .……11 分 1 2x + 1 5 7 2n + 1

1 1 n 1 dx = ∫ d ( 2 x + 1) 1 2x + 1 2 1 2x + 1 1 1 n = ln(2 x + 1) 1 = [ln(2n + 1) ? ln 3] , 2 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +L + = + ( +L + )< +∫ dx 1 2x + 1 3 5 7 2n + 1 3 5 2n + 1 3 1 1 = + [ln(2n + 1) ? ln 3] . ………………………………12 分 3 2 1 1 2 ? 3ln 3 1 Q + [ln(2n + 1) ? ln 3] ? ln( n + 1) = + [ln(2n + 1) ? ln(n 2 + 2n + 1)] , 3 2 6 2
Q∫
n

又Q 2 < 3 < 3 ln 3 , ln(2n + 1) < ln(n 2 + 2n + 1) ,

1 1 ∴ + [ln(2n + 1) ? ln 3] < ln(n + 1) . 3 2
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1 1 1 ∴ + +L+ < ln(n + 1) . 3 5 2n + 1

…………………………………14 分

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