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江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题:圆锥曲线



江西省 2015 届高三数学一轮复习备考试题 圆锥曲线
一、选择、填空题 1、 (2014 年江西高考) 过点 M (1,1) 作斜率为 ?

x2 y 2 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

相交于 A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 2、(2013 年

江西高考)抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 相交于 A, B 两点,若 ?ABF 为等边三角形,则 p=

x2 y 2 ? ?1 3 3

2· 1· c· n· j· y

3、(2012 年江西高考)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点 a 2 b2

分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为____________ 4、(红色六校 2015 届高三第一次联考)已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,直线 x-2y+4=0 与 C 交于 A、B 两点,则 sin∠AFB=( )【来源:21·世纪·教育·网】

A.

4 5

B.

3 5

C.

3 4

D.

5 5

5、 (2014 届江西省高三 4 月模拟)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 a 2 b2

F1 , F2 ,点 P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点,△ F1PF2 的重心为 G,内心为 I,且有

IG ? ? F1F2 ( ? 为实数),斜率为 1 的直线 l 经过点 F1 ,且与圆 x2 ? y 2 ? 1相切,则椭圆
的方程为 www-2-1-cnjy-com A.

x2 y 2 ? ?1 8 6

B.

x2 y 2 ? ?1 6 4

C.

x2 y 2 ? ?1 9 7

D.

x2 y 2 ? ?1 10 8

6、(吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的左焦点 a 2 b2

F (?c,0)(c ? 0) 作圆 x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P,
O 为坐标原点,若 OE ?

1 (OF ? OP ) ,则双曲线的离心率为( 2



A.

3? 3 2

B.

1? 3 2

C.

5 2

D.

1? 5 2

7、 (南昌三中 2014 届高三第七次考试) 设 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点,以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两 点,且满足: ?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心率为( A. )2-1-c-n-j-y D.

21 3

B.

19 3

C.

7 3

7 3 3

8、(南昌铁路一中 2014 届高三第二轮复习)双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 与抛物线 a 2 b2 y 2 ? 2 px( p>0) 相交于 A, B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F ,则双曲线 C
21*cnjy*com

的离心率为 A. 2

B. 1 ? 2

C. 2 2
2 2

D. 2 ? 2

9、(上饶市 2014 届高三第一次高考模拟)若 F1 , F2 分别为双曲线

y x ? 2 ? 1 的下,上焦 2 a b

点, O 为坐标原点,点 P 在双曲线的下支上,点 M 在上准线上,且满足

F2O ? MP, F1M ? ? (

F1 P F1 P

?

F1O F1O

)(? ? 0) ,则双曲线的离心率__________

10、(2011 江西高考)若椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的 2 2 a b
.

切线, 切点分别为 A, B, 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是

三、解答题

x2 2 1、(2014 年江西高考)如图,已知双曲线 C : 2 ? y ? 1(a ? 0) 的右焦点 F,点 A,B 分别 a
在 C 的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点),21 教育名师原创作品 (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0 ? 0 )的直线 l :

x0 x ? y 0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 a2

x?

| MF | 3 相交于点 N。证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为 2 | NF |

定值,并求此定值。21*cnjy*com

2、(2013 年江西高考)如图,椭圆 C: 2 +

x2 a

y2 3 1 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = , 2 2 2 b

直线 l 的方程为 x =4 . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M , 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3. ?若 存在求 ? 的值;若不存在,说明理由.

3、(2012 年江西高考)已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M (x,y)满足 MA ? MB ? OM ? (OA ? OB) ? 2 .21· cn· jy· com (1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t)(t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△ PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

4、 (红色六校 2015 届高三第一次联考)已知椭圆

x2 y2 2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

(2,2) 且过点 .
(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD (i) 求 OA ? OB 的最值. (ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;

b2 ?? 2 , a

x2 y2 5、(井冈山中学 2015 届高三第一次月考)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的离心率为 3 2 3 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 2 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

6、(南昌三中 2015 届高三上学期第一次月考)设点 P 在曲线 y ? x 2 上,从原点向 A(2,

4)移动,如果直线 OP、曲线 y ? x 2 及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1 、 S 2 . (Ⅰ)当 S1 ? S 2 时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)当 S1 ? S 2 有最小值时,求点 P 的坐标和此时的最小值
7、(2014 届江西省高三 4 月模拟)已知椭圆 C1 的焦点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 是双曲线 C2 的顶 点,且椭圆 C1 与双曲线 C2 的一个交点是 M ( (1)求椭圆 C1 及双曲线 C2 的方程; (2)若点 P 是双曲线右支上的动点,点 Q 是 y 轴上的动点,且满足 F1P ? FQ ,判断 1 直线 PQ 是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由。

2 3 3 , ) 。21cnjy.com 3 3

8、 (吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟)设椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右 a 2 b2

焦点分别为 F1 , F2 ,下顶点为 A,线段 OA 的中点为 B(O 为原点),如图,若抛物线

C2 : y ? x2 ?1 与 y 轴的交点为 B,且经过点 F1 , F2 。21·世纪*教育网

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 M (0, ? ) ,N 为抛物线 C2 上的一动点,过点 N 作抛物线的切线交椭圆与 P, Q 两点,求△MPQ 面积的最大值。【出处:21 教育名师】

4 5

9、 (南昌三中 2014 届高三第七次考试)已知抛物线 C1:y =4x 的焦点与椭圆 C2:

2

x2 y 2 ? ?1 9 b2

的右焦点 F2 重合,F1 是椭圆的左焦点. 2 (1)在 ? ABC 中,若 A(-4,0),B(0,-3),点 C 在抛物线 y =4x 上运动,求 ? ABC 重心 G 的轨迹方程; (2)若 P 是抛物线 C1 与椭圆 C2 的一个公共点,且∠PF1F2= ? ,∠PF2F1= ? ,求 cos ? ? cos ? 的值及 ? PF1F2 的面积. 10、(江西省九所重点中学 2014 届高三 3 月联考)在平面直角坐标系 xoy 中,以点 P 为圆 心的圆与圆 x2+y2-2y=0 外切且与 x 轴相切(两切点不重合). (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若直线 mx 一 y+2m+5=0(m∈R)与点 P 的轨迹交于 A、B 两点,问:当 m 变化时,以 线段 AB 为直径的圆是否会经过定点?若会,求出此定点;若不会,说明理由.

11、已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 2 2 a b

径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,直线 l : x ? my ? 4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程;(2)求 OA ? OB 的取值范围;

12、已知椭圆 C :

x2 y2 3 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点),椭 圆的右顶点为 D,且满足 DA ? DB ? 0 ,试判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐 标;若不过定点,请说明理由。【版权所有:21 教育】

参考答案: 一、选择、填空题 1、

2 2

2、6 3、

5 5

4、B 5、A 6、D 7、A 8、B 9、2

10、

x2 y2 ? ?1 5 4

二、解答题 1、【答案】(1) 【解析】(1)A( c ,

x2 ? y2 ? 1 3

(2)

2 3 3

c t ),B( t , ? ) a a c?t t c ?1 1 ? a ? ? ?1 且 ? a ,即 t ? , a ? 3 ??????????? 4 分 2 c?t a a c?t



x2 ? y 2 ? 1 ?????????????????????????? 6分 3

(2)A(2,

xx 2 3 ), l : 0 ? y0 y ? 1 ,F(2,0), 3 3

M(2,

3 x ?2 2 x0 ? 3 ),N( , 0 )??????????????????? 9 分 2 3 y0 2 y0

?

MF ? NF

1 ?x0 ? 2 ? ? 2 4 4 y0

| 2 x0 ? 3 | 3 y0

2

?

2 | 2 x0 ? 3 | 3 y ? ( x0 ? 2)
2 0 2

? 3

2 | 2 x0 ? 3 | x ? 1 ? ( x0 ? 2)2 3
2 0

?

2 | 2 x0 ? 3 | 2 3 ? ? 3 | 2 x0 ? 3 | 3 3

??????????????????????????? 13 分

2、解:(1)由 P (1, ) 在椭圆上得, 依题设知 a ? 2c ,则 b ? 3c
2 2

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b





②代入①解得 c2 ? 1, a2 ? 4, b2 ? 3 。

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

(2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 并整理,得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 3) , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) 。

3 3 3 y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1。 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y1 ?
注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有

y1 y ? 2 ?k。 x1 ? 1 x2 ? 1

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 y1 ?
x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1


8k 2 ?2 2 3 4 k ? 3 ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? ? 2k ? 1 , 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 。故存在常数 ? ? 2 符合题意。 2
方法二:设 B( x0 , y0 )( x0 ? 1) ,则直线 FB 的方程为: y ?

y0 ( x ? 1) , x0 ? 1

令 x ? 4 ,求得 M (4,

3 y0 ), x0 ? 1 2 y0 ? x0 ? 1 , 2( x0 ? 1)

从而直线 PM 的斜率为 k3 ?

y0 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 5 x ? 8 3 y0 ? 0 联立 ? ,得 A( 0 , ), 2 2 2 x ? 5 2 x ? 5 x y 0 0 ? ? ?1 ? ?4 3
则直线 PA 的斜率为: k1 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 ,直线 PB 的斜率为: k2 ? , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)

所以 k1 ? k2 ?

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 2k3 , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1) x0 ? 1

故存在常数 ? ? 2 符合题意。 3、解:(1)依题意可得 MA ? (?2 ? x,1 ? y), MB ? (2 ? x,1 ? y) ,

| MA ? MB |? (?2 x) 2 ? (2 ? 2 y ) 2 , OM ? (OA ? OB) ? ( x, y ) ? (0, 2) ? 2 y ,
2 2 由已知得 (?2 x) ? (2 ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ,化简得曲线 C 的方程: x2 ? 4 y

(2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件,则直线 PA 的方程是 y ? 的方程是 y ?

t ?1 x ? t ,直线 PB 2

x x2 1? t x ? t ,曲线 C 在点 Q 处的切线 l 的方程为 y ? 0 x ? 0 , 它与 y 轴的交 2 2 4

点为 F (0, ?

2 x0 x ) ,由于 ?2 ? x0 ? 2 ,因此 ?1 ? 0 ? 1 【来源:21cnj*y.co*m】 2 4

①当 ?1 ? t ? 0 时, ?1 ?

x t ?1 1 t ?1 ? ? ,存在 x0 ? (?2, 2) ,使得 0 ? ,即 l 与直线 PA 2 2 2 2

平行,故当 ?1 ? t ? 0 时不符合题意 ②当 t ? ?1 时,

x 1? t x t ?1 ? ?1 ? 0 , ? 1 ? 0 ,所以 l 与直线 PA,PB 一定相交,分别联立 2 2 2 2

t ?1 1? t ? ? y? x ?t ?y ? x?t ? ? ? 2 2 , 方程组 ? , 2 ? 2 x x x x 0 0 0 0 ?y ? x ? ?y ? x ? ? ? 2 4 ? ? 2 4

解得 D,E 的横坐标分别是 xD ?

2 2 x0 ? 4t x0 ? 4t , xE ? 2( x0 ? 1 ? t ) 2( x0 ? t ? 1)

则 xE ? xD ? (1 ? t )

2 2 x0 x0 ? 4t | FP | ? ? ?t, ,又 2 4 x0 ? (t ? 1)2 2 x2 4 ? x0 1 ? ? 4 ? (1 ? 0 ) ? 2 4 2

有S

PDE

2 ? 4t )2 1 1 ? t ( x0 ,又 S ? | FP | ? | xE ? xD |? ? 2 2 8 (t ? 1)2 ? x0

QAB

于是

S S

QAB PDE

?

2 2 4 2 ? 4)[ x0 ? (t ? 1)2 ] ? [4 ? (t ? 1)2 ]x0 ? 4(t ? 1) 2 4 ( x0 4 x0 ? ? ? 2 4 2 1? t ( x0 ? 4t )2 1? t x0 ? 8tx0 ? 16t 2

对 任 意 x0 ? (?2, 2) , 要 使 △ QAB 与 △ PDE 的 面 积 之 比 是 常 数 , 只 需 t 满 足
2 ? ??4 ? (t ? 1) ? 8t , ? 2 2 ? ?4(t ? 1) ? 16t

解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积 之比是常数 2。21 教育网

4、解:(1)由题意 e ? 分

c 2 4 2 , 2 ? 2 ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,????????? 2 ? a 2 a b

解得 a ? 8, b ? 4 ,椭圆的标准方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1 .?????????????4 分 8 4

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 联立 ?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 8
----------①

2 ?? (4km) ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 8) ? 8 ?8k 2 ? m 2 ? 4 ? ? 0

? 4km ? ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 ? 2 8 ? x1 x2 ? 2m ? 2 1 ? 2k ?


????????????????6

? kOA ? kOB ? ?

b2 1 ?? 2 a 2

?

y1 y2 1 ?? x1 x2 2

1 1 2m 2 ? 8 m2 ? 4 ? y1 y2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???????????????7 分

y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
=k 分
2

2m 2 ? 8 ? 4km m 2 ? 8k 2 2 ? km ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???????????? 8

??

m 2 ? 4 m 2 ? 8k 2 ? ? ?(m 2 ? 4) ? m 2 ? 8k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??????????????9 分

? 4k 2 ? 2 ? m 2
(i) OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2

?

2m 2 ? 8 m 2 ? 4 m 2 ? 4 4k 2 ? 2 ? 4 4 ? ? ? ? 2? 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??2 ? 2 ? 4 ? OA ? OB ? 2
当 k=0(此时 m 2 ? 2 满足①式),即直线 AB 平行于 x 轴时, OA ? OB 的最小值为-2. 又直线 AB 的斜率不存在时 OA ? OB ? 2 ,所以 OA ? OB 的最大值为 2. ???????11 分 (ii)设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S ?AOB ?

1 1 |m| | AB | ?d ? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 2 2 1? k 2
2

|m| | m | ? ? 4km ? 2m 2 ? 8 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? ?4 2 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 | m | 64k 2 16(m 2 ? 4) ? ? ? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 m m

? S四边形ABCD ? 4 S ?AOB ? 8 2 .
即,四边形 ABCD 的面积为定值??????????????????????13 分 2 2 3 5、解:(1)设 F(c,0),由条件知,c = 3 ,得 c= 3. c 3 2 2 2 又a= 2 ,所以 a=2,b =a -c =1. x2 2 E 故 的方程为 4 +y =1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故可设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).

x2 2 2 2 将 y=kx-2 代入 4 +y =1 得(1+4k )x -16kx+12=0, 3 2 2 当 Δ=16(4k -3)>0,即 k >4时, 8k±2 4k2-3 x1,2= , 4k2+1
2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|

4 k2+1· 4k2-3 . = 4k2+1 2 又点 O 到直线 l 的距离 d= k2+1. 所以△OPQ 的面积 4 4k2-3 1 S△OPQ=2d·|PQ|= 4k2+1 . 4t 4 2 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ=t2+4= 4. t+ t 4 7 因为 t+ t ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 2 时等号成立,满足 Δ>0, 7 7 7 所以,当△OPQ 的面积最大时,k=± 2 ,l 的方程为 y= 2 x-2 或 y=- 2 x-2.

6、解析(1)设点 P 的横坐标为 t(O<t<2),则 P(t , t 2 ) ,直线 OP 的方程为:y=tx.
2 8 1 1 3 t , S 2 ? ? ( x 2 ? tx)dx ? ? 2t ? t 3 。 t 3 6 6 4 16 1 8 1 4 ∵ S1 ? S 2 ,所以 t 3 ? ? 2t ? t 3 , 得 t ? ,∴点 P 的坐标为 ( , ) 。 3 9 6 3 6 3 1 8 (2)设 S ? S1 ? S 2 ? t 3 ? 2t ? (0 ? t ? 2) , S ' ? t 2 ? 2 ,令 S′=0 得 t 2 ? 2 3 3

∴ S1 ?

? (tx ? x
0

t

2

)dx ?

t ? 2 , ∵0<t<2,∴ 0 ? t ? 2 时,S′<0, 2 ? t ? 2 时,S′>0,所以,当 t ? 2
时, S min ?

8?4 2 8?4 2 ,因此,当点 P 坐标为( 2 ,2)时, S1 ? S 2 有最小值 3 3

7、解:(1)设椭圆 C1 的方程是

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 ,双曲线 的方程是 C x ? ? 1 ,1 分 2 a 2 b2 b12

则 2a ?| MF1 | ? | MF2 |?

8? 4 3 8?4 3 ? ? 2 2,? a ? 2, b ? 1, 3 3
4分

x2 ? y 2 ? 1。 椭圆 C1 的方程是 2

由点 M 在双曲线上得:

4 1 ? 2 ? 1 ? b12 ? 1 , 3 3b1
5分

所以双曲线 C2 的方程是 x 2 ? y 2 ? 1。

(2)设点 P 的坐标是 ( x0 , y0 ) ,则 x02 ? y02 ? 1 ,

kF1P ?

y0 x ?1 x ?1 ,得直线 FQ 的方程是 y ? ? 0 ,? kF1Q ? ? 0 ( x ? 1) ,7 分 1 x0 ? 1 y0 y0

令 x ? 0 ,得 y ? ?

x0 ? 1 x ?1 ,即点 Q 的坐标是 (0, ? 0 ), y0 y0
y ? y0 x ? x0 ,即 x0 y0 y ? ( x0 ? 1 ? y02 ) x ? ( x02 ? x0 ) , ? x0 ? 1 ? x0 ? ? y0 y0
11 分

所以直线 PQ 的方程是

将 y02 ? x02 ?1 代入,得到直线 PQ 的方程为 x0 y0 y ? ( x02 ? x0 )( x ?1) , 过定点 F2 (1, 0) 。 (2)另解: 设点 P( xP , yP ) ,点 Q(0, yQ ) ,点 P 在双曲线上,满足 xP 2 ? yP 2 ? 1, 则 F1P ? FQ ? ( xP ? 1, yP ) ? (1, yQ ) ? xP ? 1 ? yP yQ ? 0 1 整理得: yQ ? ? 13 分

xP ? 1 yP

(*),

直线 PQ 方程为 y ? yQ ?

yP ? yQ xP

x ,把(*)代入得:

yP ? y?
?

xP ? 1 yP x ? 1 yP 2 ? xP ? 1 x ? 1 xP 2 ? 1 ? xP ? 1 x ?1 x? P ? x? P ? x? P xP yP xP yP yP xP yP yP

xP ? 1 ( x ? 1) yP

所以直线 PQ 过定点(1,0)。 8、(Ⅰ)解:由题意可知 B(0,-1),则 A(0,-2),故 b ? 2 。
2 c ?1。 令 y ? 0 得 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 ,则 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,故

2 2 2 所以 a ? b ? c ? 5 ,于是椭圆 C1 的方程为:

x2 y 2 ? ?1 5 4
2

(Ⅱ)设 N (t , t ? 1) ,由 y ? ? 2 x 知直线 PQ 的方程为: y ? (t ?1) ? 2t (x ? t )。即
2

y ? 2tx ? t 2 ? 1。
代入椭圆方程整理得: 4(1 ? 5t 2 ) x2 ? 20t (t 2 ? 1) x ? 5(t 2 ? 1)2 ? 20 ? 0 ,

? ? 400t 2 (t 2 ? 1)2 ? 80(1 ? 5t 2 )[(t 2 ?1)2 ? 4] ? 80(?t 4 ?18t 2 ? 3) ,

x1 ? x2 ?

5t (t 2 ? 1) 5(t 2 ? 1)2 ? 20 , , x x ? 1 2 1 ? 5t 2 4(1 ? 5t 2 )
2 2 2

故 | PQ |? 1 ? 4t | x1 ? x2 |? 1 ? 4t ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 =

5 ? 1 ? 4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 1 ? 5t 2

设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 d ?

4 ? ? t 2 ?1 5 1 ? 4t 2

t2 ? ?

1 5

1 ? 4t 2

1 t2 ? 1 1 5 ? 1+4t 2 ? ?t 4 ? 18t 2 ? 3 5 ? 所以,△MPQ 的面积 S ? | PQ | ?d ? 2 2 1 ? 5t 2 1 ? 4t 2
? 5 5 5 105 ?t 4 ? 18t 2 ? 3 ? ?(t 2 ? 9)2 ? 84 ? 84 ? 10 10 10 5

当 t ? ?3 时取到“=”,经检验此时 ? ? 0 ,满足题意。 综上所知,△MPQ 的面积的最大值为

105 。 5

x? ? 4 ? 0 ? x? ? ? 3 ? 9、解:(1)设重心 G(x,y),则 ? y? ? 0 ? 3 y? ? 3 ?
4 4

? x ? ? 3x ? 4 整理得 ? y ? ? 3 y ? 3(*)将(*)式代入 ?

2 2 y =4x 中,得(y+1) = 3 ( x ? 3 )



4 4 ?ABC 重心 G 的轨迹方程为(y+1)2= ( x ? ) .?6 分 3 3
2

(2) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点,由 y =4x 得 F2(1,0),

x2 y2 ∴b =8,椭圆方程为 9 ? 8 ? 1 .设 P(x1,y1)
2

? x12 y12 ?1 3 ? ? 2 2 8 由? 9 得 2x1 ? 9x1 ? 18 ? 0 ,∴x1= 2 ,x1=-6(舍).∵x=-1 是 y =4x 的准线,即 2 ? y ? 4x 1 ? 1

抛物线的准线过椭圆的另一个焦点 F1. 2 设点 P 到抛物线 y =4x 的准线的距离为 PN,则︱PF2︱=︱PN︱.
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又︱PN︱=x1+1= 2 ? 1 ? 2 , ∴ PF2 ? 2 , PF1 ? 2a ? PF2 ? 2 .

3

5

5

7

5
β = ? 5 ,∴cosα cosβ = ? 7 。www.21-cn-jy.com ∵x1= 2 ,∴∣PP1∣= 6 ,
1 P2 ? ∴ S ?PF1F2 ? 2 F1 F2 ? P

1

过点 P 作 PP1⊥x 轴, 垂足为 P1, 在 Rt△PP1F1 中, cosα = 7 在 Rt△PP1F2 中, cos(л -β )= 5 ,cos

1

1

3

1

6 .?13 分
2

10、解:⑴设 P ( x, y ) ,由题意知 y > 0 且 x ? ? y ? 1? ? y ? 1 ,得 x2 ? 4 y
2

故所求点 P 的轨迹方程为 x2 ? 4 y ( y > 0 )

???5 分

2 ⑵设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,将 y ? mx ? 2m ? 5 代入 x2 ? 4 y 得 x ? 4mx ? 8m ? 20 ? 0

∴ x1 ? x2 ? 4m, x1 x2 ? ?8m ? 20
2 2

???7 分

而以线段 AB 为直径的圆的方程为 x ? y ? ? x1 ? x2 ? x ? x1x2 ? ? y1 ? y2 ? y ? y1 y2 ? 0 , 即

x2 x2 1 2 x 2 ? y 2 ? ? x1 ? x2 ? x ? x1 x2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? y ? 1 2 ? 0 , ? 4? 16
x 2 ? y 2 ? 4mx ? ? 4m 2 ? 4m ? 10 ? y ? 4m 2 ? 12m ? 5 ? 0 ,
???10 分



整理成关于 m 的方程

4m2 ?1 ? y ? ? 4m ?3 ? x ? y ? ? x2 ? y2 ?10 y ? 5 ? 0
2 2

由于以上关于 m 的方程有无数解,故 1 ? y ? 0且3 ? x ? y ? 0且x ? y ?10 y ? 5 ? 0 , 由以上方程构成的方程组有唯一解 x ? 2, y ? 1 . 由此可知,以线段 AB 为直径的圆必经过定点 ? 2,1? . 11、(Ⅰ)由题意知 e ? ???13 分

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 a 2 3 4 a a 2 2 y 6 x ? ? 1 ?????4 分 ? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3 故椭圆的方程为 又b ? 4 3 1?1

?l : x ? my ? 4 ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 y 2 得: (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ??????????6 分 ? ? 1 ? 3 ?4 由? ? 0 ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 0 ? m2 ? 4 24m 36 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 y1 ? y2 ? ? 2 ??????8 分 , y1 y2 ? 3m ? 4 3m2 ? 4
∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 ? ∵ m2 ? 4 ∴ 3m2 ? 4 ? 16 ,
?12m2 ? 100 116 ??10 分 ? ?4 ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

13 ∴ OA ? OB ? (?4, ) 4 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 (?4, ) .??????????????????? 13 分 4

12、(Ⅰ)由题意椭圆的离心率 e ?

1 。 2

?

c 1 ? a 2

? a ? 2c

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

x2 y2 ∴椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ??2 分 4c 3c
又点 (1, ) 在椭圆上

3 2

3 ( )2 1 ? 2 ? 2 2 ?1 4c 3c
?c2 ? 1

x2 y2 ? ? 1 ??4 分 ∴椭圆的方程为 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

DA ? DB ? 0

所以 k AD ? kBD ? ?1 ,又椭圆的右顶点 D(2,0),

?

y1 y ? 2 ? ?1 , y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?



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