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2016-2017学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元检测试题



【红对勾】2016-2017 学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的 位置关系单元检测试题 新人教 A 版必修 2
时间:90 分钟 分值:120 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列推理不正确的是( )

A.A∈b,A∈β ,B∈b,B∈β ?b?

β B.M∈α ,M∈β ,N∈α ,N∈β ?α ∩β =直线 MN C.直线 m 不在 α 内,A∈m?A ? α D.A,B,C∈α ,A,B,C∈β ,且 A,B,C 不共线?α 与 β 重合 解析:由空间中点线面的位置关系知选 C. 答案:C 2.下列说法中正确的是( A.经过三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.不共面的四点可以确定 4 个平面 解析:考查确定平面的公理二及其推论,易知选 D. 答案:D )

3.如图,α ∩β =l,A∈α ,B∈α ,AB∩l=D,C∈β ,C ? l,则平面 ABC 与平面 β 的交线是( ) B.直线 AB D.直线 BC
1

A.直线 AC C.直线 CD

解析:D∈l,l?β ,∴D∈β , 又 C∈β ,∴CD?β ;同理,CD?平面 ABC, ∴平面 ABC∩平面 β =CD. 答案:C 4.设 a、b 为两条直线,α 、β 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( A.若 a、b 与 α 所成的角相等,则 a∥b B.若 a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则 a∥b C.若 a?α ,b?β ,a∥b,则 a∥β D.若 a⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,则 a⊥b 解析:A 中 a、b 可以平行、相交或异面;B 中 a、b 可以平行或异面;C 中 α 、β 可以 平行或相交. 答案:D 5.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β 解析:A 项,当 m∥α ,n∥α 时,m,n 可能平行,可能相交,也可能异面,故错误;B 项,当 m∥α ,m∥β 时,α ,β 可能平行也可能相交,故错误;C 项,当 m∥n,m⊥α 时, n⊥α ,故正确;D 项,当 m∥α ,α ⊥β 时,m 可能与 β 平行,可能在 β 内,也可能与 β 相交,故错误.故选 C. 答案:C 6.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形, E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 解析:由已知 AC=AB,E 为 BC 中点,故 AE⊥BC, 又∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,C 正确.
2

)

)

)

答案:C

6题图

7题图

7.如上图,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,AA1=a,∠BAB1=∠B1A1C1=30°,则异面直线 AB 与 A1C1 所成的角、AA1 与 B1C 所成的角分别为( A.30°,30° C.45°,45° ) B.30°,45° D.60°,45°

解 析 : ∵AB∥A1B1 , ∴∠B1A1C1 是 AB 与 A1C1 所 成 的 角 , ∴AB 与 A1C1 所 成 的 角 为 30°.∵AA1∥BB1, ∴∠BB1C 是 AA1 与 B1C 所成的角, 又 BB1=a, AB1=A1C1=2a, AB= 3a, ∴B1C1 =BC=a,则 BB1C1C 是正方形,∴∠BB1C=45°. 答案:B 8.在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠PCA=90°,△ABC 是边长为 4 的正三 角形,PC=4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为( A.2 3 C.4 3 B.2 7 D.4 7 )

解析:连接 CM,则由题意知 PC⊥平面 ABC,可得 PC⊥CM,所以 PM= PC +CM ,要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可, 在△ABC 中, 当 CM⊥AB 时 CM 有最小值, 此时有 CM=4× =2 3,所以 PM 的最小值为 2 7. 答案:B 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点.当 A1M +MC 取得最小值时,B1M 的长为( ) 3 2

2

2

3

A. 3 C.2 3

B. 6 D.2 6

题图

答图

解析:将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90°展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图),连接 A1C′, 当 A1,M,C′共线时,A1M+MC 取得最小值.由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 的中点.在 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, B1A1⊥平面 A1D1DA, 则 B1A1⊥A1M, 又 A1M= 2, 故 B1M= B1A1+A1M = 1 +? 2? = 3.故选 A. 答案:A 10.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,正方体的六 个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n 等于( )
2 2 2 2

A.8 C.10

B.9 D.11

解析:取 CD 的中点 H,连接 EH,HF.在四面体 CDEF 中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以 CD⊥平 面 EFH,所以 AB⊥平面 EFH,所以正方体的左、右两个侧面与 EF 平行,其余 4 个平面与 EF 相交, 即 n=4.又因为 CE 与 AB 在同一平面内, 所以 CE 与正方体下底面共面, 与上底面平行, 与其余四个面相交,即 m=4,所以 m+n=4+4=8. 答案:A 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.以下结论中,错 误的是( )
4

A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH⊥平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成的角为 45° 解析:因为 AH⊥平面 A1BD,BD?平面 A1BD, 所以 BD⊥AH.又 BD⊥AA1,且 AH∩AA1=A, 所以 BD⊥平面 AA1H.又 A1H?平面 AA1H.

所以 A1H⊥BD,同理可证 BH⊥A1D, 所以点 H 是△A1BD 的垂心,A 正确. 因为平面 A1BD∥平面 CB1D1, 所以 AH⊥平面 CB1D1,B 正确. 易证 AC1⊥平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,所以 AC1 和 AH 重 合.故 C 正确. 因为 AA1∥BB1,所以∠A1AH 为直线 AH 和 BB1 所成的角. 因为∠AA1H≠45°,所以∠A1AH≠45°,故 D 错误. 答案:D 9 12. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 体积为 , 底面是边长为 3的正三角形. 若 4 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A. C. 5π 12 π 4 B. D. π 3 π 6 )

5

解析:如图所示,P 为正三角形 A1B1C1 的中心,设 O 为△ABC 的中心,由题意知:PO⊥平 面 ABC,连接 OA,则∠PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角. 在正三角形 ABC 中,AB=BC=AC= 3, 则 S= 3 3 3 2 ×( 3) = , 4 4

9 VABC-A1B1C1=S×PO= ,∴PO= 3. 4 又 AO= 3 × 3=1, 3

PO π ∴tan∠PAO= = 3,∴∠PAO= . AO 3 答案:B

第Ⅱ卷(非选择题,共 60 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面, 若 PC⊥BD, 平行四边形 ABCD 一定是________. 解析:

如图,∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD. ∵PC⊥BD,∴BD⊥平面 PAC. ∴AC⊥BD. 答案:菱形

6

14.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN 等于________. 解析:∵B1C1⊥平面 A1ABB1,MN?平面 A1ABB1,∴B1C1⊥MN, 又∠B1MN 为直角, ∴B1M⊥MN 而 B1M∩B1C1=B1. ∴MN⊥平面 MB1C1,又 MC1?平面 MB1C1, ∴MN⊥MC1,∴∠C1MN=90°. 答案:90° 15.如图,圆锥 SO 中,AB,CD 为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且 AB⊥CD,SO=OB =2,P 为 SB 的中点.则异面直线 SA 与 PD 所成角的正切值为________.

?题图? SA 解析:连接 PO,则 PO∥SA,PO= = 2, 2 ∴∠OPD 即为异面直线 SA 与 PD 所成的角, 且△OPD 为直角三角形,∠POD 为直角, OD 2 ∴tan∠OPD= = = 2. OP 2 答案: 2

?答图?

7

16.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1,给出下列四个结论: ①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A-D1PC 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P-AD1-C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点运动的路线是过 D1 点的直线. 其中正确结论的编号是________(写出所有真命题的编号). 解析:因为 BC1∥AD1,所以 BC1∥平面 ACD1,BC1 上任意一点到平面 ACD1 的距离为定值, 所以 VA-D1PC=VP-ACD1 为定值,①正确;因为 P 到平面 ACD1 的距离不变,但 AP 的长度在 变化,所以 AP 与平面 ACD1 所成角的大小是变量,②错误;平面 PAD1 即平面 ABC1D1,又平面 ABC1D1 与平面 ACD1 所成二面角的大小不变,故③正确;M 点运动的路线为 A1D1,④正确. 答案:①③④ 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 40 分)

17.(10 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC, BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形. 证明:(1)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,所以 DE∥PC. 又 DE?平面 BCP,所以 DE∥平面 BCP.

8

(2)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点,所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF, 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又 PC⊥AB,所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形.

18.(10 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的中点为 D, B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面 AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 证明:(1)由题意知,E 为 B1C 的中点, 又 D 为 AB1 的中点,因此 DE∥AC. 因为 DE?平面 AA1C1C,AC?平面 AA1C1C, 所以 DE∥平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC. 因为 AC?平面 ABC,所以 AC⊥CC1. 因为 AC⊥BC,CC1?平面 BCC1B1,BC?平面 BCC1B1,BC∩CC1=C,所以 AC⊥平面 BCC1B1. 因为 BC1?平面 BCC1B1,所以 BC1⊥AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1 是正方形, 因此 BC1⊥B1C. 因为 AC,B1C?平面 B1AC,AC∩B1C=C, 所以 BC1⊥平面 B1AC. 因为 AB1?平面 B1AC,所以 BC1⊥AB1.

9

19. (10 分)如图, 在三棱锥 V-ABC 中, 平面 VAB⊥平面 ABC, △VAB 为等边三角形, AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积.

证明:(1)如图,因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM∥VB. 因为 VB?平面 MOC, 所以 VB∥平面 MOC. (2)因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC⊥AB. 因为平面 VAB⊥平面 ABC,且 OC?平面 ABC, 所以 OC⊥平面 VAB. 所以平面 MOC⊥平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= 2, 所以 AB=2,OC=1,所以 S△VAB= 3, 又因为 OC⊥平面 VAB,所以 1 3 VC-VAB= OC·S△VAB= . 3 3 因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等,所以三棱锥 V-ABC 的体积为

10

3 . 3

20.(10 分)如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 5,AA1= 7,BB1 =2 7,点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (1)求证:EF∥平面 A1B1BA; (2)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (3)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

解:(1)证明:如图,连接 A1B.在△A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,所以 EF∥BA1.又 EF?平面 A1B1BA,所以 EF∥平面 A1B1BA. (2)证明:因为 AB=AC,E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 因为 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1, 所以 BB1⊥平面 ABC,从而 BB1⊥AE. 又 BC∩BB1=B,所以 AE⊥平面 BCB1, 又 AE?平面 AEA1,所以平面 AEA1⊥平面 BCB1. (3)取 BB1 的中点 M 和 B1C 的中点 N,连接 A1M,A1N,NE.

11

1 因为 N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,所以 NE∥B1B,NE= B1B,故 NE∥A1A 且 NE=A1A, 2 所以 A1N∥AE,且 A1N=AE.因为 AE⊥平面 BCB1,所以 A1N⊥平面 BCB1,从而∠A1B1N 为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角. 在△ABC 中,可得 AE=2,所以 A1N=AE=2. 因为 BM∥AA1,BM=AA1,所以 A1M∥AB,A1M=AB, 由 AB⊥BB1,有 A1M⊥BB1. 在 Rt△A1MB1 中,可得 A1B1= B1M +A1M =4. A1N 1 在 Rt△A1NB1 中,sin∠A1B1N= = , A1B1 2 因此∠A1B1N=30°. 所以直线 A1B1 与平面 BCB1 所成的角为 30°.
2 2

12



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