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三角函数复习课件[免费课件]



三角函数
复 习 课

一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y

? 的终边
正角 x 零角

o

负角

? 的终边

与a终边相同的角的集合A={x|x=a+k ? 3600 Z ? k} 象限角与非象限角


? ? (??,??)

2、角度与弧度的互化:半径长的圆弧所对的圆心角为一 弧度角 2? ? 360 ? ? ? 180 ?

180 , 1弧度 ? ( )? ? 57.30? ? 57?18 1? ?

?
180

?

特殊角的角度数与弧度数的对应表 度

0? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ?120 ?
? 6 ? 4
? 3 ? 2
2? 3

135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ?
3? 4

弧度 0
计算公式

5? 6

?

3? 2

2?

|a|=l/r (a为弧度,l为弧长,r为半径) 扇形面积公式:S=1/2(a*r*r)

3、任意角的三角函数定义 定义: y x y sin ? ? , cos? ? , tan? ? r r x r r x csc? ? , sec? ? , cot? ? y x y 4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商数关系:

y

P(x,y) ?的终边


r
o x

r ? x2 ? y2

三角函数值的符号:“一全正,二正弦,三两切,四余弦”
平方关系:

tan? ? cot? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 cos? ? sec? ? 1

sin ? t an? ? cos? cos? cot? ? sin ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan2 ? ? sec2 ? 1 ? cot2 ? ? csc2 ?

3).三角函数线:(有向线段)

正弦线: MP
余弦线:OM 正切线: AT

y

T

P
o
余 弦 线

正切线

正弦线 M A

x

5、诱导公式:
k? 诱导公式是针对 ? ?的各三角函数值的化简 2 口诀为:"奇变偶不变, 符号看象限(即把 " ? 看作是锐角)

3? 例:sin( ?? ) ? 2

cos(

?

2

??) ?

cos? sin ?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

sin ? cos?

(四)三角函数的图象与性质







1.函数的图象与主要性质 2.周期函数 3.正弦型函数y=Asin(?x+?)的一些概念、性质 习 1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质
函数 一周期 图象 定义域 y=sinx
1 -1 y

y=cosx
1 -1 O

y=tanx
2? x
? -2

y=cotx
y x

O

? 2? x

?

y O

? 2

O

? 2

?

x

R
[-1,1]

R
[-1,1]

值域
单调性 奇偶性
周期

{x|x?R且x≠ {x|x?R且x≠ ? k?+ 2 ,(k?Z)} k?,(k?Z)}

? ? [2k?- 2 ,2k?+ 2 ]↑在[2k?+?,2k?]↑ 在(k?- ? ,k?+ ?) 在(k?,k?+?) 2 2

R

R

(k?Z) ? 3? 在[2k?,2k?+?]↓ (k?Z)上都是 [2k?+ 2 ,2k?+ 2 ]↓ 增函数 (k?Z)

(k?Z)

(k?Z)

(k?Z)上都 是减函数

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

2?

2?

?

?

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

? >0

)

y ? sin x

图象向左( ? 向右(?

?0

)或

?

0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
向右(? 纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

?

0 ) 平移 | ? | 个单位
?

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

横坐标不变

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足 | cos |? ? cos , 2 2 α 则 角属于( C )A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.

2、(02年)在 ? 0, 2? ?内使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围是( C ) ? ? 5? ? ( A)( 4 , 2 ) ? (? , 4 )( B)( 4 , ? )

(C )( 4 , )( D)( 4 , ? ) ? ( , ) 3、(00年)函数 y ? ? x cos x 的部分图 象是( D )
?
5? 4

?

5? 4

3? 2

y

y

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

( A)

( B)

(C )

( D)

4.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)

(C)y=sin(x/2+π/6)

(D)y=tan(x+π/6)

则同时具有以下两个性质的函数是( ①最小正周期是π 称.

A

)

②图象关于点(π/6,0)对

5.下列函数中,周期为 2 的偶函数是 (

?

B



A. y=sin4x B.y=cos4x C.y=tan2x

D.y=cos2x

5? 6 .函数 y=sin(2x+ 2 ( )

) 的图象的一条对称轴是直线
C. x= -? D.5?
4

B

A. x= -

?

4

B. x= ?

8

2

) 7、 (98年)关于函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? )( x ? R 有下 3 列命题:

?

① y ? f ( x) 的表达式可改写为 ③ y ? f ( x) 的图象关于点

② y ? f ( x)是以2? 为最小正周期的周期函数
? ? ? ? ? ,0? ? 6 ?

?? ? y ? 4cos ? 2 x ? ? 6? ?

对称
6

④ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称

?

①③ 其中正确的命题序号是。

8. 关于函数 f(x)= 2 sin(3x- 3 π/ 4 ) ,有下列 命题: ①其最小正周期是2π/3; ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到; ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4); ④在x∈[π/12,5π/12]上为增函数. ①④ 其中正确的命题的序号是_________

(三)单元测试 一、选择题 |tan x| cos x sin x 1)函数y= |cos x| ? |sin x| ? tan x 的值域是(A) (A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3| ? 2)把函数y=sin( 6 -3x)的周期扩大为原来的 ? 2倍,再将所得到函数的图像向右平移 3 , 则所得图像的函数解析式为(A) 2? 3 x 3x (A)y=sin( 3 - 2 ) (B)y=cos 2 ? - 3 x ) (D)y=sin( ? -6x) (C)y=sin(7 6 10 2 3)函数y=sin2x的单调递减区间是(B) 3? ? ? ? (A)[kπ- 4 ,kπ+ ],k ∈ Z (B)[k π+ ,kπ+ ],k ∈ Z 4 4 4 ?Z (C)[kπ,kπ+ ],k∈Z ? (D)[k π+ ,kπ+π ],k ∈ 2 2

4 函数y=cos(2x+ ? )图象的一条对称轴方 2 程为_____。 ? ? ? (A) x=- 2 (B) x=- 4 (C) x= 8 (D) x= ? ? 解:2x+ 2 =k ? ? 2x=k? - 2 k? ? ? x= 2 - 4 k=0 x=- 4 选B ? 5 函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象向 ? 左平移 个单位,再将图象上所有点的横 6 坐标扩大到原来2倍(纵坐标不变)得函 数y=sinx图象则ω=____ φ=____。 解:y=sin2x ? ? ? =sin2(x- 6 )=sin(2x- 3 ) ω=2 φ=- 3

四、主要题型
例1:已知 ? 是第三象限角,且cos ? ? ?

??为第三象限角 解:
2

1 ,求 tan ? 。 3

1 2 2 2 ?sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 3 3

sin ? ? tan ? ? ?2 2 cos ?
应用:三角函数值的符号;同角三角函数的关系;

例3 已知函数f(x)=Asin(ωx+) (A>0,ω>0 ? |a|< 2 )的图象一段如下图所示,则f(x)表 达式为_____。 ? T 解:f(x)=4sin( 8 x+a) 2 =8 T=16 y ? ? 0=4sin(- 4 +a) ∴a= 4 4 ? ? f(x)=4sin( 8 x+ 4 )
( 3 tan12 ?3) csc12 4 cos 12 ? 2
2 ? ? ?

? ___

-2

0

6

x

(

2 cos 24 ? 4 3( 1 sin 12 ? 2
sin 48

? ? sin 12 3 ? 3 ) csc 12 cos 12? ?

?

3 sin12? ?3cos12? 2 sin12? cos12? cos 24?

? 3 csc 12 2

?

?

? 4 3 sin 48? sin 48?

? ?4 3

例2、已知y=2sin ?? x+? ? 求函数的解析式。
y
2 1

?? ? ? ? ? ?函数的图像, 2? ?

11? 12

x

注:

先求?后求?

例1、已知tan? = 3,求式子
2 2

4cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 的值 . 2 2 2sin ? ? sin ? cos ? ? 4cos ?
关键:弦 切

3 sin ? ? cos ? tan ? ? 2 例2:已知 ,计算⑴ 2 sin ? ? cos ?

⑵ sin ? cos ?

3 sin ? ? cos? 3 tan ? ? 1 3 ? 2 ? 1 7 解:⑴ 3 sin ? ? cos? ? cos? ? ? ? 2 sin ? ? cos? 2 sin ? ? cos? 2 tan ? ? 1 2 ? 2 ? 1 3 cos?


tan ? sin ? cos ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? 2 2 2 tan ? ?1 sin ? ? cos ? 1

2 2 ? 2 ? 2 ?1 5
应用:关于 sin ?与cos? 的齐次式

例6 a? (0≤x≤ 2 )的最大值为1,试求a的值。
5 1 2 解:f(x)=-cos x+cosx+ 8 a- 2 1 2 5 =-(cosx- 2 ) + a- 1 8 4

5 2 已知函数f(x)=sin x+cosx+ 8

3 2

0≤cosx≤1 5 1 8 a- 4 =1 ∴a=2

?1? 例3、已知:? ? ? 1, 则 ? 2? ? 是第几象限角?

sin 2?

? 3、 求函数y=sin -3x 的单调递增区间。 4 2k? ? 2k? 7? ?k为整数? + , + 3 4 3 12

?

? ? ?



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