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高中数学人教B版必修2配套课件:1.1.4投影与直观图



成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2

第一章
立体几何初步

第一章

立体几何初步

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第一章
1.1 空间几何体

第一章

立体几何初步

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第一章
1.1.4 投影与直观图

第一章

立体几何初步

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课前自主预习

课堂典例讲练

方法警示探究 思想方法技巧

易错疑难辨析

课后强化作业

第一章

1.1 1.1.4

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课前自主预习

第一章

1.1 1.1.4

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皮影戏,又称影子戏或灯影戏,是一种用灯光照射兽皮

或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏曲.表演时,艺
人们在白色幕布后面,一边操纵戏曲人物,一边用当地流行 的曲调唱述故事,同时配以打击乐器和弦乐,有浓厚的乡土 气息.在河南、山西等地的农村,这种拙朴的民间艺术形式 很受人们的欢迎.皮影戏和太阳光照射成像都具备光线、不

透明物体和投影面这些相同的条件.皮影戏中的成像与太阳
光成像原理一样吗?

第一章

1.1 1.1.4

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1.投影与直观图

第一章

1.1 1.1.4

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(1) 已 知 图 形 F , 直 线 l 与 平 面 α 相 交 ( 如 图 所 示 ) , 过F上任一点M作直线MM′平行于l,交平面α于点M′ , 则 ________________________________________________ 点M′叫做点M的在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果 图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 平行投影 F′,则F′叫做图形F在α内关于直线l的__________ .平面α叫做 投射面 ________ ,l叫做________投射线 .

第一章

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当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都
具有下述性质: 直线或线段 ; ①直线或线段的平行投影是______________ 平行或重合的直线 ②平行直线的平行投影是________________________ ; ③ 平 行 于 投 射 面 的 线 段 , 它 的 投 影 与这条线段平行且等长 ___________________________ ; ④ 与 投 射 面 平 行 的 平 面 图 形 , 它 的 投 影 ________________________ ; 与这个图形全等 ⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等 这两条线段的比 于_____________________ .
第一章 1.1 1.1.4

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(2) 一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形 中心投影 . 的影子就是它在这个平面上的____________ (3) 用 来 表 示 空 间 图 形 的 平 面 图 形 叫 做 空 间 图 形 的

直观图 _______________ .

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2.斜二测画法规则:
(1) 在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的 90° , 且 ∠ yOz = 轴 Ox 、 Oy , 再 作 Oz 轴 , 使 ∠ xOz = ________ 90° ________. (2)画直观图时,把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、 45 °(或135 °) O′z′ ,使∠ x′O′y′ =_____________ ,∠x′O′z′ = ________ ,其中 90° x′O′y′所确定的平面表示水平平面.

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(3)已知图形中,平行于x轴、y轴、z轴的线段,在直观图
平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段 中,分别画成 _________________________________ ,并使它 们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标 相同 . 轴的位置关系________ (4) 已知图形中,平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长 不变 ,平行于y轴的线段长度为_____________ 原来的一半 . 度保持________ (5) 画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间 图形的直观图.

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1.有下列说法:

①用斜二测画法画的直观图是在中心投影下画出来的图
形. ②平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交 于一点; ③空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线

可能变成了相交的直线;

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④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形
式. 其中正确命题有( A.1个 [答案] C ) C.3个 D.4个 B.2个

[解析]
理.故选C.

利用平行投影与中心投影的概念作判断.可知②

③④都正确,但①错.因为斜二测画法应用的是平行投影原

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2.下列光线所形成的投影,不是中心投影的是( A.太阳光线 B.台灯的光线

)

C.手电筒的光线
D.路灯的光线 [答案] A [解析] 太阳光线形成的投影是平行投影.

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3.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可
能是下图中的( )

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[答案] A [ 解析 ] 由直观图可知,原四边形一组对边平行且不相

等,为梯形,且梯形两腰不能与底垂直.

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4.(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图是△AOB
用斜二测画法画出的直观图,则△AOB的面积为________.

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[答案] 32

[ 解析]

由△AOB 的直观图可知,△AOB 的底边长为 4,

1 高为 16,故 S△AOB=2×4×16=32.

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5.下列说法正确的是________.
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段; ②与投射面平行的平面图形,它的平行投影与这个图形 一定全等; ③平行四边形的平行投影可能为矩形;

④两平行直线的平行投影一定平行;
⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5,则长为20的线 段的平行投影为10. [答案] ②③

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[解析]

根据平行投影的性质可知,直线或线段与投影线

平行时,其平行投影为点,故①错误;②正确;当投影线和 投射面成适当的角度,或改变图形相对于投射面的位置时, 平行四边形的平行投影可能为矩形,故③正确;两平行直线

的平行投影除平行外,还可能为两点或重合,故④错误;当
两直线平行时,两线段与其投影对应成比例,而题中两线段 不一定平行,故⑤错误.

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6.用斜二测画法画一个正三角形的直观图.
[解析] (1)取BC中点O为原点,直线BC为x轴,直线OA为 y轴,任取O′点,画对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.

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(2)在 x′轴上以 O′为中点, 取 B′C′=BC(或在 Ox′正 半轴上截取 O′C′=OC.负半轴上截取 O′B′=OB),再在 1 y′轴的正半轴上截取 O′A′=2OA.

(3)连接 A′B′,A′C′即得△ABC 的直观图(如上图).
第一章 1.1 1.1.4

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课堂典例讲练

第一章

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水平放置平面图形直观图画法
用斜二测画法画正五边形的直观图.

[解析]

(1)建立如图①所示的直角坐标系xOy,再建立如

图②所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°;

第一章

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(2)在图①中作 BG⊥x 轴于 G,EH⊥x 轴于 H,在坐标系 1 x′O′y′中截取 O′H′=OH,O′G′=OG, O′A′=2 1 OA, O′F′=2OF, 过 F′作 C′D′∥x′轴且 C′F′=CF, F′D′=FD.

第一章

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(3)在平面 x′O′y′中,过 G′作 G′B′∥y′轴,且 1 1 G′B′=2BG,过 H′作 H′E′∥y′轴,且 H′E′=2HE, 连接 A′B′,B′C′、C′D′、D′E′、E′A′,得五边 形 A′B′C′D′E′为正五边形 ABCDE 的平面直观图.

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用斜二测画法画出下图中的四边形OABC水平放置的直观 图.

第一章

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[ 解析]

如图所示,(1)画 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′

=45° , (2)在 O′x′轴上取 D′、 B′, 使 O′D′=OD, O′B′ 1 =OB,在 O′y′轴上取点 C′,使 O′C′=2OC,在 O′x′

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1 轴下方过 D′作 D′A′∥O′y′, 使 D′A′=2DA, (3)连接: 连接 O′A′、A′B′、B′C′,所得四边形 O′A′B′C′ 就是四边形 OABC 的直观图.

第一章

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与直观图有关的计算问题
如图,正方形 OABC 的边长为 1,它是水平放 置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积是( A.2 2 B.1 C. 2 D.2(1+ 2) )

第一章

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[ 解析 ]

根据原图形中平行于 x

轴或x轴上的线段长度不变,原图形 中平行于 y 轴或 y 轴上的线段长度减 半,由直观图可知,原图形为如图 所示的平行四边形O′A′B′C′,
且 O′A′=1,O′B′=2 2, 1 1 1 ∴ SO′A′B′C′ = 2 O′A′· O′B′ + 2 B′C′· O′B′ = 2 1 ×1×2 2+2×1×2 2=2 2,故选 A. [答案] A
第一章 1.1 1.1.4

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一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45° ,腰 和上底长均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是( 1 2 A.2+ 2 C.5 B.1+ 2 D.2+ 2 )

[ 答案]

D

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[ 解析]

根据平面图形的直观图的斜二测画法,所求平面

图形为四边形.由“横不变”知,四边形为梯形,且上底边长 为 1,容易求得下底边长为 1+ 2,由直观图的底角为 45° 知, 这个梯形为直角梯形;再由“竖取半”知,直腰长为 2,故这 1 个平面图形的面积为 S=2×[1+(1+ 2)]×2=2+ 2,故选 D.

第一章

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空间几何体的直观图画法
用斜二测画法画长、宽、高分别是4、3、2的

长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
[ 解析] (1)画 x 轴、y 轴、z 轴,三

轴相交于点 O ,使∠ xOy = 45° ,∠ xOz =90° .

第一章

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(2)以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4;在 y 3 轴上取线段 PQ,使 PQ=2.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线, 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A、B、C、 D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. (3)过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平 行线上分别截取长度为 2 的线段 AA′、BB′、CC′、DD′.

第一章

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(4) 顺次连接 A′ 、 B′ 、 C′ 、 D′ 各点,并加以整理 ( 去掉辅助
线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.

第一章

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用斜二测画法画出六棱锥 P-ABCDEF的直观图,其中底

面ABCDEF是正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心
O(尺寸自定).

第一章

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[ 解析 ]
图.

画法: (1) 画六棱锥 P - ABCDEF 的底面的直观

第一章

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①在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴 MN所在直线为y轴,两轴相交于O(如图1所示),画相应的x′轴 和 y′ 轴 、 z′ 轴 , 三 轴 交 于 O′ , 使 ∠ x′O′y′ = 45° , ∠ x′O′z′ =

90°(如图2所示).

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②在图 2 中, 在 x′轴上, 取 O′A′=OA, O′D′=OD, 1 1 在 y′轴上取 O′N′=2ON,O′M′=2OM,分别过 M′、 N′ 作 x′ 轴的平行线 B′C′ 、 F′E′ ,并截取 N′C′ = B′N′=M′E′=M′F′=ME. ③连接 A′B′、C′D′、D′E′、F′A′得到水平放置 的正六边形 ABCDEF 直观图 A′B′C′D′E′F′. (2)画六棱锥 P-ABCDEF 的顶点, 在 O′z′轴上取点 P′, 使 P′O′等于 PO 的长度.

第一章

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(3)成图.连接PA′、PB′、PC′、PD′、PE′、PF′,并擦去x′
轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 , 便 得 到 六 棱 锥 P - ABCDEF 的 直 观 图 P′ - A′B′C′D′E′F′(图3).

第一章

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易错疑难辨析

第一章

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(2014· 山东潍坊高一检测 ) 如图,△ A′B′C′ 是
△ABC的直观图,那么△ABC中最长的边为________.

第一章

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[错解] AB [辨析] 忽视了图形中的平行关系,从而得不到原图中边 与坐标轴的平行关系,判断不出直角三角形而导致错误.

[ 正解 ]

AC

由图知 B′C′∥y′ 轴, A′B′∥x′ 轴,则原图中

BC∥y 轴,则∠ ABC = 90°, AC 为 Rt△ABC 的斜边,故 AC 是 △ABC中最长的边.

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思想方法技巧

第一章

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数形结合思想
如 图 , △ A′B′C′ 是 △ ABC 的 直 观 图 , B′O′ = O′C′=C′A′,则原△ABC是( A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 )

C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形

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[解析]

建立平面直角坐标系,

在x轴上截取BO=CO=B′O′,过C作 y轴平行线并在上面截取 AC=2OC, 连接AB,则得△A′B′C′的原△ABC, 如 图 所 示 , 由 于 AC⊥BC , 且 AC =

BC , 所 以 △ ABC 是 等 腰 直 角 三 角
形. [答案] D

第一章

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课后强化作业
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