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1986年第二十七届IMO试题(不含答案)



第二十七届(1986 年) 波兰 华沙(Warsaw,Poland)
1. 设 d 是不等于 2,5,13 的任意整数。说明在集合{2,5,13,d}可以找到两个不同的 数 a、b,使得 ab-1 不是完全平方数。 (联邦德国) 2. 平面上有一个三角形 A1A2A3 和一点 P0。 我们定义对于所有的 s≥4 都有 As=As-3。 我们构造一组点 P1,P2,P3,…,使得 Pk+1 是 Pk 绕点 Ak+1 顺时针旋转 120° 得到 的(k=0,1,2,…) 。证明如果 P1986=P0,那么三角形 A1A2A3 是等边三角形。 (中国) 3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数,使五个整数的和为正。如果三个连续 的顶点分别被赋值为 x、y、z 且 y<0,那么执行下面的操作:数字 x、y、z 分别 被 x+y、-y、z+y 代替。只要五个数中有一个数是负的,就重复执行操作。判断 是否可以在有限步后结束操作。 (民主德国) 4. 设 A、B 是平面上一个中心为 O 的正 n 边形(n≥5)的相邻顶点。一个三角形 XYZ,开始与三角形 OAB 重合,现用如下的方式移动三角形 XYZ:保持 Y、Z 始 终在多边形的边界上、X 在多边形的内部。试求出当 Y、Z 都走遍多边形的边界 时 X 点所形成的轨迹。 (以色列) 5. 找到所有满足条件的函数 f,它定义在非负实数上,取值也为非负实数,且满 足: i) 对于所有的 x,y≥0,都有 f(xf(y))=f(x+y); ii) f(2)=0; iii) 对于 0≤x<2 有 f(x)≠0。 (英国) 6. 给定平面上一个有限的点集,每个点的坐标值都为整数。试问有没有可能用 红色给点集中的一些点上色, 并用白色给其它点上色,使得任何一条与坐标轴平 行的直线 L 上,白点个数和红点个数的差不大于 1?(民主德国)



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