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高二数学(文科)期末复习试卷


高二数学(文科)期末复习试卷
1. 函数 y ? A. ?

1 ? ln x 的导数是 ( C ) 1 ? ln x
B.

2 (1 ? ln x)2

2 x(1 ? ln x) 2

C. ?

2 x(1 ? ln x) 2

D .?

1 x(1 ? ln x) 2


2.已知曲线 y ? A. 3

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A 2 4
B. 2 C. 1 D.

1 2

3.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( D ) A. ?e B. e C. 1 D. ?1

4.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如图所示,则下列结论中 一定成立的是( B ) A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) ?2 O 1 y 2

x

C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) 5.已知函数 y ? x 3 ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c =( A ) A.-2 或 2 B.-9 或 3 C.-1 或 1 D.-3 或 1

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,设其导函数 f '( x) ,当 x ? ? ??,0? 时,恒有 xf '( x) ? f (? x) ,则满足

2x ? 1 f (2 x ? 1) 的实数 x 的取值范围是( A ) 3 1 1 A. (-1,2) B. ( ?1, ) C. ( , 2) D. (-2,1) 2 2 f (3) ?
7.已知函数 f ( x) ? x ? | 3x ? a | ?2 在 (0,2) 上恰有两个零点,则实数 a 的取值范围为( D )
3

A. (0,2)
3

B. (0,4)
2 2

C. (0,6)

D. (2,4)

8.设函数 f ( x) ? kx ? 3(k ? 1) x ? k ? 1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围( D) A. (??,

1 ) 3

B. ? 0, ?
3 2

? 1? ? 3?

C. ?0, ? 3

? 1? ? ?

D. ? ? ?, ? 3

? ?

1? ?

9.已知 f ( x) ? x ? ax ? 4 x 有两个极值点 x1 、 x2 ,且 f ( x ) 在区间(0,1)上有极大值,无极小值,则

a 的取值范围是(C



A. a ?

7 2

B. a ?

7 2
x

C. a ?

7 2

D. a ?

7 2

10.已知点 P 在曲线 y ? A. ? 0, ? ? 4? 11.已知函数 f ( x ) ? 12.若函数 y ? ?

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围( D ) e ?1
B. ? , ? ?4 2?

? ??

?? ? ?

C. ?

? ? 3? ? , ?2 2 ? ?

D. ? ,? ? ? 4 ?

? 3?

?

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图像在点 A( x0 , y0 ) 处的切线斜率为 1 , tan x0 = ? 3 ; 2 4 4

4 3 x ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 b>0 ; 3 1 2 x ?1 13.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f '(1)e ? f (0) x ? x ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 ?0,??) ; 2
14.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ?2 处取得极值,并且它的图象与直线 y ? ?3x ? 3 在点(1, 0)处相切,则函数 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6 ; 15.若函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 在 ? a,10 ? a 2 ? 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 -3<a<1 . 3
3 2

16.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 5, 若x ? 切线斜率为 3.

2 时, y ? f ( x) 有极值, 且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 处的 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 在 ? ?4,1? 上的最大值和最小值.

17.已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ? ?

1 2 3 1 x ? ( a 2 ? a) ln x ? 2ax , a ? R . 2 4 2

1 时,求函数 f ( x) 的极值点; 2

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在导函数 f ? ( x) 的单调区间上也是单调的,求 a 的取值范围; 解:(Ⅰ) 当 a ? ? 令 f ?? x? ? x ?

1 1 2 1 ln x ? x ( x ? 0 ), 时, f ? x ? ? x ? 2 2 16

1 16 x 2 ? 16 x ? 1 ?1 ? ? 0, 16 x 16 x
……1 分

解得 x1 ?

?2 ? 5 ?2 ? 5 (舍), x2 ? , 4 4

容易判断出函数在区间 (0, ……2 分

?2 ? 5 ?2 ? 5 ,+∞)上单调递增 ] 单调递减,在区间 ? 4 4

∴ f ? x? 在 x ?

?2 ? 5 时取极小值. 4

……4 分

3 1 x 2 ? 2ax ? a 2 ? a 4 2 ( x ? 0) (Ⅱ)解法一: f ? ? x ? ? x 3 2 1 2 令 g ? x ? ? x ? 2ax ? a ? a , 4 2
? ? 4a 2 ? 3a 2 ? 2a ? a 2 ? 2a ,设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
0 1 当 ? ? 0 即 0 ? a ? 2 , f ?( x ) ≥0,∴ f ( x ) 单调递增,满足题意. 0 2 当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 2 时,

……5 分

……6 分

(1)若 x1 ? 0 ? x2 ,则

3 2 1 2 a ? a ? 0 , 即 ? ? a ? 0 时, 4 2 3 3 2 1 a ? a 4 2 ? 2a , f ( x) 在 (0, x2 ) 上递减, ( x2 ,??) 上递增, f ? ? x ? ? x ? x 3 2 1 a ? a f ?? ? x ? ? 1 ? 4 2 2 ? 0 ∴ f ? ? x ? 在(0,+∞)单调增,不合题意. x

……7 分

?3 2 1 2 ? a ? a?0 (2)若 x1 ? x2 ? 0 则 ? 4 ,即 a ? ? 时 f ? x ? 在(0,+∞)上单调增,满足题意. 2 3 ? ?a ? 0
……8 分

?3 2 1 ? a ? a?0 (3) 若 0 ? x1 ? x2 则 ? 4 2 ? ?a ? 0

即 a>2 时

∴ f ( x ) 在(0, x1 )上单调递增,在( x1 , x2 )上单调递减,在( x2 ,+∞)上单调递增, 不合题意. 综上得 a ? ? ……9 分

2 或0 ? a ? 2. 3

……10 分

3 1 x 2 ? 2ax ? a 2 ? a 4 2 , 解法二: f ? ? x ? ? x 3 2 1 2 2 2 2 令 g ? x ? ? x ? 2ax ? a ? a , ? ? 4a ? 3a ? 2a ? a ? 2a , 4 2
设 g ? x ? ? 0 的两根 x1 , x2 ( x1 ? x2 )
0 1 当 ? ? 0 即 0 ? a ? 2 , f ?( x ) ≥0,∴ f ? x ? 单调递增,满足题意. 0 2 当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 2 时,

……5 分

……6 分

(1)当 a ? 0 若

3 2 1 2 a ? a ? 0 ,即 ? ? a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 , 4 2 3

3 2 1 a ? a 2 ? 2a , f ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 ,??) 上单调递增, f ? ? x ? ? x ? 4 x 3 2 1 a ? a 4 2 ? 0 ∴ f ? ? x ? 在(0,+∞)单调增不合题意. ……7 分 f ?? ? x ? ? 1 ? x2 3 2 1 2 a ? a ? 0 ,即 a ? ? 时, x1 ? x2 ? 0 f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意. 若 4 2 3
……8 分 (2)当 a ? 2 时,

3 2 1 a ? a ? 0 , 0 ? x1 ? x2 4 2
……9 分 ……10 分

∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意 综上得 a ? ?

2 或0 ? a ? 2. 3

18.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0, ??), f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)显然函数的定义域为 ? 0, ??? . 因为 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R) ,所以 f ?( x) ? a ?
1 ax ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递减, ∴ f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ……3 分

1 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? , a a

1 处有极小值. a ∴当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上没有极值点,当 a ? 0 时 f ( x) 在 (0,??) 上有一个极值点.……6 分

∴ f ( x) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ?? ) 上递增,即 f ( x) 在 x ?

1 a

1 a

(Ⅱ)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,由(Ⅰ)结论知 a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ?

1 ln x ? ?b, x x

……8 分

1 ? x ? ln x 1 ln x 1 x ln x ? 2 令 g ( x) ? 1 ? ? ,所以 g ?( x) ? ? 2 ? , ? 2 x x x x x2
令 g ?( x) ? 0 可得 g ( x) 在 0, e 2 上递减,令 g ?( x) ? 0 可得 g ( x) 在 e 2 ,?? 上递增,

?

?

?

?

……10 分

∴ g ( x) min ? g (e ) ? 1 ?

2

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . e2

……12 分

19. 已知函数 f ( x) ? mx ?

m , g ( x) ? 2 ln x . x

(Ⅰ) 当 m ? 2 时, 求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ) 当 m ? 1 时, 判断方程 f ( x) ? g ( x) 实根个数; (Ⅲ)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义得到导数的值,切点坐标得到结论。 (2) m ? 1 时,令 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?

1 ? 2 ln x , x

又 h?e ? ? h? ? ? ?( ? e ? 2) 2 ? 0 , e ?e? 求解导数,并判定

?1?

1

? y ? h?x ? 在 ?0,??? 内有且仅有一个零点进而得到结论。
(3) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立, x2 ?1 2 2 , f ' ? x ? ? 2 ? 2 , f ' ?1? ? 4 ,切点坐标为 ?1,0? , x x

?

?

分离参数法构造新函数利用求解的最小值得到参数 m 的范围。 (1) m ? 2 时, f ? x ? ? 2 x ?

? 切线方程为 y ? 4 x ? 4
(2) m ? 1 时,令 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ?
2

1 ? 2 ln x , x

1 2 ?x ? 1? h' ( x) ? 1 ? 2 ? ? ? 0 ,? h?x ? 在 ?0,??? 上为增函数 x x x2
又 h?e ? ? h? ? ? ?( ? e ? 2) 2 ? 0 ,

?1? ?e?

1 e

? y ? h?x ? 在 ?0,??? 内有且仅有一个零点 ? 在 ?0,??? 内 f ( x) ? g ( x) 有且仅有一个实数根
(或说明 h(1) ? 0 也可以) (3) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x

?

?

又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 令 G ?x ? ?

2 x ? 2 x ln x 恒成立, x2 ?1

2 x ? 2 x ln x ,只需 m 小于 G ?x ? 的最小值, x2 ?1

G' ?x ? ?

? 2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

?1

?

2



? 1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G' ?x? ? 0 ,

? G?x ? 在 ?1, e?上单调递减,? G?x ? 在 ?1, e? 的最小值为 G ?e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ? ?,

4e , e ?1
2

? ?

4e ? ? e ?1?
2

20.已知函数 f ( x) ?

ex ? a , g ( x) ? a ln x ? a . x

(Ⅰ) a ? 1 时,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 x ? 1 时,函数 y ? f ( x) 的图象总在函数

y ? g ( x) 的图象的上方,求实数 a 的取值范围.
.解: (1) F ( x ) 的单增区间为 ?1, ?? ? ;单减区间为 ? 0,1? . (2)实数 a 的取值范围 a ?

1 e 2

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(3)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明: f ? (x0)<0. 解: (1) f ( x)的定义域为(0, ??), …………………………………………1 分

f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . …………………………2 分 x x

(i)若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 单调增加.…………………3 分 (ii)若 a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ? 且当 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0, 当x ?

1 , a

1 a

1 时, f ?( x) ? 0. a

所以 f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. ……………………5 分 (2)设函数 g ( x) ? f (

1 a

1 a

1 1 ? x) ? f ( ? x), 则 a a

g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, a a 2a 3 x 2 g ?( x) ? ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2
…………………………………7 分

1 时, g ??x ? ? 0 ,所以 g ?x ? 单调递增, g ?x ? ? g ?0? ? 0 a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x). ……………………………9 分 a a a
当0 ? x ? (3)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a ? 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0. 不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? 由(II)得 f ( 从而 x2 ?

1 a

1 a

1 ? x2 . a

2 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0. a a a

x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a
…………………………………………………14 分

由(I)知, f ?( x0 ) ? 0.

22.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? , 问: m 在什么范围取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 值?

?m ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极 ?2 ?

p ? 2e (Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ? ? 3 ,若在区间 ?1, e? 上至少存在一个 x 0 , x
使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) . ( II ) 根 据 f ?( 2 ?) ?

a 2

?可 1 得 a ? ?2 , 从 而 可 求 出 f ? '

? 2? ?x

2 , 进 而 得 到 x

m ?m ? g(x ) ? x3 ? x 2 ? f x' ?( ? x ) ?3 ? ( x2 ? 2 x , ) 那么本小题就转化为 2 g ' ( x) ? 0 有两个不等实根且至少 ? 2 ?2 ?
有一个在区间 (t ,3) 内,然后结合二次函数的图像及性质求解即可. (III)当 a=2 时,令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ,则

F ( x) ? ( p ? 2) x ? p ? 2e ? 3 ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ? px ? p ? 2e ? 2 ln x .
x

x

x

然后对 p 分 p ? 0 和 p ? 0 两种情况利用导数进行求解即可. (Ⅰ)由 f ' ( x) ?

a(1 ? x) 知 x

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) . (Ⅱ)由 f ' ? 2 ? ? ? 故 g ( x) ? x 3 ? x 2 ?

a ? 1 ? a ? ?2 , 2

∴ f ? x ? ? ?2 ln x ? 2x ? 3 , f ' ? x ? ? 2 ?

2 . x

m ?m ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x , 2 ?2 ?

∴ g '( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 . ∵ 函数 g ( x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴ g ' ( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内 又∵函数 g ' ( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0) ? ?2 ? 0 ,



? g ' (t ) ? 0 2 由 g ' (t ) ? 0 ? m ? ? 3t ? 4 , ? t ? g ' (3) ? 0
∵ H (t ) ?

2 ? 3t ? 4 在 ?1,2? 上单调递减,所以 H (t ) min ? H (1) ? ?9 ; t
37 ; 3

∴ m ? ?9 ,由 g ' (3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 综上得: ?

37 ? m ? ?9. 3
37 ?m ? ,?9) 内取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总 3 ?2 ?

所以当 m 在 ( ? 存在极值.

(Ⅲ)? a ? 2,? f ( x) ? 2 ln x ? 2 x ? 3. 令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ,则

F ( x) ? ( p ? 2) x ? p ? 2e ? 3 ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ? px ? p ? 2e ? 2 ln x .
x

x

x

①当 p ? 0 时,由 x ? ?1, e? 得 px ? p ? 0,? 2e ? 2 ln x ? 0 ,从而 F ( x) ? 0 , x x 所以,在 ?1, e? 上不存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ;

②当 p ? 0 时, F '( x) ?

px 2 ? 2 x ? p ? 2e ,? x ??1, e? ,?2e ? 2x ? 0 , x2

px2 ? p ? 0, F '( x) ? 0 在 ?1, e? 上恒成立,
故 F ( x ) 在 ?1, e? 上单调递增.

? F ( x) max ? F (e) ? pe ?

p ? 4. e

故只要 pe ?

4e p . ? 4 ? 0, ,解得 p ? 2 e ?1 e
? 4e ? , ?? ? 2 ? e ?1 ?

综上所述, p 的取值范围是 ?


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