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2011年全国高中数学联赛全真模拟3-清北学堂内部资料



2011 年全国高中数学联赛全真模拟(第三套) 年全国高中数学联赛全真模拟(第三套) 北京清北学堂内部资料
(清北学堂教研部特邀湖北省竞赛相关老师命制,内部资料,禁止翻印。)

一:填空题(每题 8 分,共 8 题) 1、直线 l 在 x 轴与 y 轴上的截距相等,且到点 P(5,6)的距离为 6,则这样的直线共 2、 ? (n ) 表示 n 的个位

数, a n = ? n

条. .

( ) ? ? (n) ,则数列 {a }的前 2006 项之和 S
2

n

2006=

3、已知 cos α + cos β = 2m , sin α + sin β = 2n ,则 cot α cot β =



4、曲线 x 2 ? my 2 = 1 ,焦点 F1、F2 及准线 l 1 、 l 2 与 x 轴交点 K1、K2,这四个点在 x 轴上等距 排列,则 m 的值为 . 5、二次项三项式 f ( x ) 满足对任意 a、b ∈ R, f (a) + f (b) = f (a + b) ? ab ?1,则抛物线 y = f ( x) 的 顶点的轨迹方程为 . . . 6、方程 x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y 的整数解为

7、若数列 {a n } 满足 a n+ 2 ? 3a n+1 + 2a n = 2 n ,且 a1 = 0 , a 2 = 1 ,则 a 2006 =

8.若实数 a , b , x , y 满足 ax + by = 3, ax 2 + by 2 = 7 , ax 3 + by 3 = 16 , ax 4 + by 4 = 42 ,

则 ax 5 + by 5 = ______. 二:解答题:
9、 16 分)已知:定义在 ( ?∞, 4] 上的减函数 f ( x ) ,使得 f ( m ? sin x ) ≤ f (

( 1 + 2m ? 7 + cos x ) 4
2

对一切实数 x 均成立,求实数 m 的范围. ( 10、 20 分)数列 {an } 中, an = n3 ? ∏ ( n 2 ? i 2 ) ,求该数列前 n 项和 Sn .
99 2 i =1
2 y2 11、 20 分)椭圆 C1 : x 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为椭 ( a b

uuur uuuu r 圆 C1 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最大值的取值范围是 ?c 2 ,3c 2 ? ,其中 c = a 2 ? b 2 . ? ?
⑴求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围; ⑵设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C2 在第一象限上任意一点, 当 e 取得最小值时,试问是否存在常数 λ ( λ > 0 ) ,使得 ∠BAF1 = λ∠BF1 A 恒成立?若存在求出

λ 的值;若不存在,请说明理由.



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