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广东省2012届高三全真模拟卷数学理科20


广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 20
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A = {?1, 0, a} , B = x 0 < x < 1 ,若 A I B ≠ ? ,则实数 a 的取值范围是

{

}

A. ( ?∞, 0)

B. (0,1)

C. {1}

D. (1, +∞ )

2.已知向量 a = (1,1), 2a + b = (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角的余弦值为

3 2 2 10 C. D. ? 10 2 2 3.在等差数列 {an } 中,首项 a1 = 0, 公差 d ≠ 0 ,若 ak = a1 + a2 + a3 + L + a7 ,则 k =
A.

3 10 10

B. ?

A. 22 C. 24
6 A.6

B. 23 D. 25 B. 6π D. 6 5π

4.若一个圆台的的正视图如图所示,则其侧面积等于 ...

C. 3 5π

5.已知为虚数单位, a 为实数,复数 z = ( a ? 2i)(1+i) 在复平面内对应的点为 M ,则“ a = 1 ”是“点 M 在第四象限”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件
2 6.函数 y = cos ( x +

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π ) ? sin 2 ( x + ) 的最小正周期为 4 4 π π A. B. C. π D. 2π 4 2 ? x 2 + 2 x ? 1, x ≥ 0 ,则对任意 x1 , x2 ∈ R ,若 0 < x1 < x2 ,下列不等 7.已知函数 f ( x) = ? 2 ? x ? 2 x ? 1, x < 0
式成立的是

π

A. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0
8.已知双曲线

B.

f ( x1 ) + f ( x2 ) > 0

D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0

x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 = 8 x 有一个公共的焦点 F ,且两曲线 2 a b

的一个交点为 P ,若 PF = 5 ,则双曲线的渐近线方程为

A. x ± 3 y = 0

B. 3 x ± y = 0

C. x ± 2 y = 0

D. 2 x ± y = 0

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程,甲、乙两班各 随机抽取了 5 名学生的学分,用茎叶图表示(如右图).
第 1 页 共 10 页

s1 , s2 分别表示甲、乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差, 则 s1 s2 .(填“ > ”“ < ”或“=” 、 ). 1 n 10. 10 如果 ( x + ) 展开式中,第四项与第六项的系数相等, x 则n= ,展开式中的常数项的值等于 . 11. 11 已知直线 x + 2 y = 2 与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点,
若动点 P (a , b) 在线段 AB 上,则 ab 的最大值为__________. 12. 12 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 13. 13.若点 P 在直线 l1 : x + y + 3 = 0 上,过点 P 的直线 l 2 与曲线 C : ( x ? 5) 2 + y 2 = 16 只有一个公共点 M , 则 PM 的最小值为__________. .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 14.

(1, ? 3) .若以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以
是 .

15. (几何证明选讲)如图,在 ?ABC 中, DE // BC , 15.

EF // CD ,若 BC = 3, DE = 2, DF = 1 ,
则 AB 的长为___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 16. 本题满分 12 分) ( 在 ?ABC 中,已知 A = 45o , cos B =

4 . 5

(Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC = 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

17. (本题满分 17. 本题满分 14 分) ( 某班同学利用国庆节进行社会实践,对 [25, 55] 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活 习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

第 2 页 共 10 页

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体 验活动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X ,求 X 的分布列和期望 EX .

18. (本题满分 18. 本题满分 12 分) ( 设 数 列 {an } 是 首 项 为 a1 (a1 > 0) , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且

S1 , S 2 , S3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 bn =

an 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 2n

19. (本题满分 19. 本题满分 14 分) ( 如图,已知 E , F 分别是正方形 ABCD 边 BC 、 CD 的中点, EF 与 AC 交于点 O , PA 、 NC 都垂直于平面 ABCD ,且 PA = AB = 4 , NC = 2 , M 是线段 PA 上一动点. (Ⅰ)求证:平面 PAC ⊥ 平面 NEF ; (Ⅱ)若 PC // 平面 MEF ,试求 PM : MA 的值; (Ⅲ)当 M 是 PA 中点时, 求二面角 M ? EF ? N 的余弦值.

20. (本题满分 20. 本题满分 14 分) (

x2 y 2 3 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 e = ,以原点为圆心,椭圆短半轴 2 a b 3 长为半径的圆与直线 x ? y + 2 = 0 相切, A, B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上
已知椭圆 C : 的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A, B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1 , k 2 ,证明: k1 k 2 为定 值; (Ⅲ) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若 说明轨迹是什么曲线.

OP OM

= λ ,求点 M 的轨迹方程,并

21. (本题满分 21. 本题满分 14 分) ( 已知三次函数 f ( x ) = ax + bx + cx ( a, b, c ∈ R ) .
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 过点 ( ?1, 2) 且在点 1, f (1) 处的切线方程为 y + 2 = 0 ,求函数

(

)

第 3 页 共 10 页

f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间 [ ?3, 2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ t ,求实数的最小值;
(Ⅲ)当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, f ′( x) ≤ 1 ,试求 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ( x ) 的表 达式.

参考答案
(每题 一、选择题: 每题 5 分,共 40 分) 选择题: ( 题 1 2 3 号 选 B C A 项 填空题( 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.< 10. 10.8,70 11. 11. 4 5 6 7 8

C

A

C

D

B

1 2

12. 12.?

1 2

13.4

π 14. 14.(2, 2kπ ? ) 3

15. 15.

9 2

小题, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本题满分 16. 本题满分 12 分) ( 解 : ( Ⅰ )

4 Q cos B = , 5



B ∈ (0o ,180o )



∴ sin B = 1 ? cos 2 B =

3 . -----------------------2 分 5 cos C = cos(180o ? A ? B ) = cos(135o ? B )

--------------------- 3 分

= cos135o cos B + sin135o sin B = ?
---------6 分 ( Ⅱ

2 4 2 3 2 . ? + ? =? 2 5 2 5 10
( Ⅰ )

--------------









sin C = 1 ? cos 2 B = 1 ? (?
由 正 弦 定 理

AB = 14 .

2 2 7 --------------------8 分 ) = 2. 10 10 10 AB BC AB 得 , 即 = , 解 = 7 sin A sin C 2 2 10 2 4 = 37 , 5



--------------------10 分

在 ?BCD 中, BD = 7 , CD 2 = 7 2 + 10 2 ? 2 × 7 ×10 × 所

以 ------------------12

CD = 37 .

第 4 页 共 10 页

17. (本题满分 17. 本题满分 14 分) ( ( 解 : Ⅰ ) 第 二 组 的 频 率 为 1 ? (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3 , 所 以 高 为

0.3 = 0.06 .频率直方图如下: 5

-----------------2 分 第一组的人数为

120 200 = 200 ,频率为 0.04 × 5 = 0.2 ,所以 n = = 1000 . 0.6 0.2

195 = 0.65 . 300 第 四 组 的 频 率 为 0.03 × 5 = 0.15 , 所 以 第 四 组 的 人 数 为 1000 × 0.15 = 150 , 所 以 a = 150 × 0.4 = 60 . -------------------------------5 分 (Ⅱ)因为 [40,45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为
由题可知, 第二组的频率为 0. 所以第二组的人数为 1000 × 0.3 = 300 , 3, 所以 p =

60 : 30 = 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40,45) 岁中有 12 人, [45,50) 岁中有 6
人. -------------------6 分 随机变量 X 服从超几何分布.
0 3 1 C12C6 C12C62 15 5 , P ( X = 1) = , P( X = 0) = = = 3 3 C18 204 C18 68 2 1 C12C6 33 = 3 C18 68 3 C12C60 55 = . 3 C18 204

P( X = 2) =



P( X = 3) =

----------------10 分

所以随机变量 X 的分布列为 X 0

1
15 68


2
33 68

3
55 204 -----------12 分 期 望

P

5 204




第 5 页 共 10 页

EX = 0 ×

5 15 33 55 + 1× + 2 × + 3 × = 2. 204 68 68 204

------------------14 分

18. (本题满分 18. 本题满分 12 分) ( 解 : ( Ⅰ ) ∵ S1 = a1 , S 2 = a1 + a2 = 2a1 + 2 , S3 = a1 + a2 + a3 = 3a1 + 6 , ------------------2 分 由 S1 , S 2 , S3 成等差数列得, 2 S 2 = 解 得

S1 + S3 ,即 2 2a1 + 2 = a1 + 3a1 + 6 ,


a1 = 1



an = 2 n ? 1



--------------------4 分 ( Ⅱ )

bn =

an 2 n ? 1 1 = n = (2n ? 1)( )n n 2 2 2



---------------------5 分

1 1 1 ① 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ① × 得 , Tn = 1× ( ) 2 + 3 × ( )3 + 5 × ( ) 4 + L + (2n ? 3) × ( ) n + (2n ? 1) × ( ) n +1 , 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 n 法 1: Tn = 1× ( ) + 3 × ( ) + 5 × ( ) + L + (2n ? 1) × ( ) ,

1 2

② ① ? ②得, Tn =

1 1 1 1 1 1 + 2 × ( )2 + 2 × ( )3 + L + 2 × ( ) n ? (2n ? 1) × ( ) n +1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? (2n ? 1) × ( 1 ) n +1 = 3 ? 1 ? 2n ? 1 , = 2× 2 ----------------10 分 1 2 2 2 2n ?1 2 n +1 1? 2 4 2n ? 1 2n + 3 ∴ Tn = 3 ? n ? -------------------= 3? n . n 2 2 2
-----12 分 法 2: bn =

an 2 n ? 1 1 1 = n = n ? n ?1 ? n , n 2 2 2 2
k
k ?1

设 Fn =

∑2
k =1

n

,记 f ( x ) =

∑ (kx
k =1

n

k ?1

),

则 f ( x) =

? ∑ ( x )′ = ? ∑ x
n n k k =1

k

? k =1

?′ ? x ? x n +1 ?′ 1 ? (n + 1 ? nx) x n , ? = ? =? (1 ? x)n ? ? 1? x ?
?1? Fn = 4 ? (n + 2) ? ? ?2?
n ?1





---------------------10 分 故

第 6 页 共 10 页

1 1 (1 ? n ) 2 = 4 ? (n + 2) ? 1 ? 1 + 1 = 3 ? 2n + 3 . Tn = Fn ? 2 1 2 n ?1 2n 2n 1? 2
-----12 分 19. (本题满分 19. 本题满分 14 分) ( (Ⅰ)连结 BD , 解 : 法 1: ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,∴ PA ⊥ BD , 又∵ BD ⊥ AC , AC I PA = A , ∴ BD ⊥ 平面 PAC , 又∵ E , F 分别是 BC 、 CD 的中点,∴ EF // BD , ∴ EF ⊥ 平面 PAC ,又 EF ? 平面 NEF ,

--------------------

∴平面 PAC ⊥ 平面 NEF ;---------------------------------------4 分 (Ⅱ)连结 OM , ∵ PC // 平面 MEF ,平面 PAC I 平面 MEF = OM , ∴ PC // OM , ∴

PM OC 1 = = PA AC 4





PM : MA = 1: 3

-------------------------------8 分 (Ⅲ)∵ EF ⊥ 平面 PAC , OM ? 平面 PAC ,∴ EF ⊥ OM , 在等腰三角形 NEF 中,点 O 为 EF 的中点,∴ NO ⊥ EF , ∴ ∠MON 为 所 求 二 面 角 M ? EF ? N ------------------------10 分 ∵点 M 是 PA 的中点,∴ AM = NC = 2 ,











所 以 在 矩 形 MNCA 中 , 可 求 得 MN = AC = 4 2 , NO = ------------12 分 在 ?MON 中,由余弦定理可求得 cos ∠MON = ∴ 二 面 角

6 , MO = 22 ,

MO 2 + ON 2 ? MN 2 33 , =? 2 ? MO ? ON 33
的 余 弦 值 为

M ? EF ? N

?

33 . 33

----------------------14 分

(Ⅰ)同法 1; 法 2: (Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,则 P (0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , E (4, 2, 0) , F (2, 4, 0) , ∴ PC = (4, 4, ?4) , EF = ( ?2, 2, 0) ,
第 7 页 共 10 页

uuu r

uuu r

设点 M 的坐标为 (0, 0, m ) ,平面 MEF 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,则 ME = (4, 2, ? m) ,

r

uuur

r uuur ?n ? ME = 0 ?4 x + 2 y ? mz = 0 6 ? 所以 ? r uuu ,即 ? ,令 x = 1 ,则 y = 1 , z = , r m ? ?2 x + 2 y = 0 ?n ? EF = 0 ? 6 r 故 n = (1,1, ) , m uuu r r 24 ∵ PC // 平面 MEF ,∴ PC ? n = 0 ,即 4 + 4 ? = 0 ,解得 m = 3 , m 故 AM = 3 , 即 点 M 为 线 段 PA 上 靠 近 P 的 四 等 分 点 ; 故 PM : MA = 1: 3
----------------8 分 (Ⅲ) N (4, 4, 2) ,则 EN = (0, 2, 2) ,设平面 NEF 的法向量为 m = ( x, y , z ) ,

uuur

ur

ur uuur ? m ? EN = 0 ?2 y + 2 z = 0 ? 则 ? ur uuu ,即 ? ,令 x = 1 , r ? ?2 x + 2 y = 0 ? m ? EF = 0 ?
则 y = 1 , z = ?1 ,即 m = (1,1, ?1) , 当 M 是 PA 中点时, m = 2 ,则 n = (1,1,3) , ∴ cos < m, n >=

ur

r

ur r

1+1? 3 3 × 11

=?

33 , 33

∴二面角 M ? EF ? N 的余弦值为 ?

33 .-------14 分 33

20. (本题满分 20. 本题满分 14 分) ( (Ⅰ)由题意可得圆的方程为 x 2 + y 2 = b 2 , 解: ∵ 直 线

x? y+2=0 与 圆 相 切 , ∴ d =

2 2

=b , 即 b= 2



-----------------------1 分 又e = 所
2 2

c 3 ,即 a = 3c , a 2 = b 2 + c 2 ,解得 a = 3 , c = 1 , = a 3
以 椭 圆 方 程 为

x y + = 1. 3 2

-------------------------3 分
2 2 x0 y0 2 2 2 + = 1 ,即 y0 = 2 ? x0 , 3 2 3 y0 k2 = , x0 ? 3

(Ⅱ)设 P ( x0 , y0 ) ( y0 ≠ 0) , A( ? 3, 0) , B ( 3, 0) ,则 则

k1 =

y0 x0 + 3



----------------------4 分

2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 2 = 23 = 3 2 =? , 即 k1 ? k 2 = 2 3 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3
第 8 页 共 10 页



k1 k2
2 . 3



定 ------------------------6 分



?

(Ⅲ)设 M ( x, y ) ,其中 x ∈ [ ? 3, 3] .

OP
由已知

2 2

OM


2 x2 + 2 ? x2 2 2 3 = x + 6 = λ2 , = λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 x2 + y2 3( x 2 + y 2 )




(3λ 2 ? 1) x 2 + 3λ 2 y 2 = 6
------------------8 分







x ∈ [ ? 3, 3] .
①当 λ =

3 时,化简得 y 2 = 6 , 3 所 以 点 M 的 轨 迹 方 程 为 y = ± 6( ? 3 ≤ x ≤ 3) , 轨 迹 是 两 条 平 行 于 x 轴 的 线 段 ;
-----------9 分 ② 当 λ≠

3 时 , 方 程 变 形 为 3

x2 y2 + = 1 , 其 中 x ∈ [ ? 3, 3] , 6 6 3λ 2 ? 1 3λ 2

-----------------------11 分 当0 < λ < 的部分; 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ≤ x ≤ 3 3

3 < λ < 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ≤ x ≤ 3 的 3

部分; 当 λ ≥1 时 , 点 M 的 轨 迹 为 中 心 在 原 点 、 长 轴 在 x 轴 上 的 椭 圆. ----------------------14 分 21. (本题满分 21. 本题满分 14 分) ( (Ⅰ)∵函数 f ( x ) 过点 ( ?1, 2) ,∴ f ( ?1) = ? a + b ? c = 2 , 解: ①

又 f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c ,函数 f ( x ) 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y + 2 = 0 , ∴?

? f (1) = ?2 ? a + b + c = ?2 ,∴ ? , ? f ′(1) = 0 ?3a + 2b + c = 0



由①和②解得 a = 1 , = 0 , = ?3 , f ( x) = x3 ? 3 x ; b c 故 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ′( x) = 3 x 2 ? 3 ,令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = ±1 , ∵ f ( ?3) = ?18 , f ( ?1) = 2 , f (1) = ?2 , f (2) = 2 , ∴在区间 [ ?3, 2] 上 f max ( x ) = 2 , f min ( x) = ?18 ,

----------------------4

∴对于区间 [ ?3, 2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ 20 , ∴ t ≥ 20 , 从 ------------------------8 分 而 的 最 小 值 为 20 ;

第 9 页 共 10 页

(Ⅲ)∵ f ′( x) = 3ax + 2bx + c ,
2

? f ′(0) = c ? 则 ? f ′(?1) = 3a ? 2b + c ,可得 6a = f ′( ?1) + f ′(1) ? 2 f ′(0) . ? ? f ′(1) = 3a + 2b + c
∵当 ?1 ≤ x ≤ 1 时, f ′( x) ≤ 1 ,∴ f ′(?1) ≤ 1 , f ′(0) ≤ 1 , f ′(1) ≤ 1 , ∴ 6 | a |= f ′(?1) + f ′(1) ? 2 f ′(0) ≤ f ′(?1) + f ′(1) + 2 f ′(0) ≤ 4 ,

2 2 ,故 a 的最大值为 , 3 3 ? f ′(0) = c = 1 ? 2 当 a = 时, ? f ′( ?1) = 2 ? 2b + c = 1 ,解得 b = 0 , c = ?1 , 3 ? ′ ? f (1) = 2 + 2b + c = 1 a 取 得 最 大 值 ∴ 2 -----------------------14 分 f ( x ) = x3 ? x . 3
∴a ≤



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