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2013



2013 上海市普通高中学业水平考试数学试卷
一、填空题: (本答题满分 36 分) 1.函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的定义域是__________. ? ? 2.方程 2 ? 8 的解是__________.
x

3. 抛物线 y ? 8 x 的准线方程是__________. ?
2

4

. 函数 y ? 2 sin x 的最小正周期是__________. ? 5. 已知向量 a ? (1, k ) , b ? (9, k ? 6) . 若 a // b ,则实数 k ? __________. ? 6. 函数 y ? 4 sin x ? 3 cos x 的最大值是__________. ? ? 7. 复数 2 ? 3i ( i 是虚数单位)的模是__________.? 8. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对边的长为 a 、 b 、 c . 若 a ? 5 , c ? 8 ,

B ? 60? ,则 b ? __________. 9. 在如图所示的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 A1 B 与 B1C 所成角
的大小为__________. 10. 从4 名男同学和6 名女同学中随机选取3 人参加某社团活动,选出的3 人中男女同学都有的概率为 __________(结果用数值表示). 11. 若等差数列的前6 项和为23,前9 项和为57,则该数列的前 n 项和 S n =__________. ? 12. 36 的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为 36 ? 2 ? 3 ,所有36的所有正约数之和为
2 2

(1 ? 3 ? 32 ) ? (2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ) ? (2 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ? 32 ) ? (1 ? 2 ? 2 2 )(1 ? 3 ? 32 ) ? 91 . 参照上述方
法,可求得2000 的所有正约数之和为__________. 二、选择题(本大题满分 36 分) 13. 展开式为 ad ? bc 的行列式是( A. ). C.

a  b d  c
?1 ?1

B.

a  c b  d
?1

a  d b  c
?1

D.

b  a d  c
).
?1

14. 设 f A. f

( x) 为函数 f ( x) ? (2) ? 2
B. f

x 的反函数,下列结论正确的是(

(2) ? 4

C. f

(4) ? 2

D. f

(4) ? 4

15. 直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的一个方向向量是( A. (2,?3) 16. 函数 f ( x) ? x
1 ? 2

). C. (?3,2) D. (3,2)

B. (2,3) 的大致图像是(

). ?

17. 如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( A.

).

1 1 1 1 2 2 B. ab ? b C. ? ab ? ?a D. ? ? ? ? a b a b 18. 若复数 z1 、 z 2 满足 z1 ? z 2 ,则 z1 、 z 2 在复平面上对应的点 Z 1 、 Z 2 ( ).
A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y ? x 对称

19. (1 ? x) 的二项展开式中的一项是(
10

). C. 120 x 3 ). D. y ? cos 2 x ). D.1:16 D. CU {0} ) . D.既非充分又非必要条件
2

A. 45 x A. y ? sin x A.1: 2

B. 90 x 2 B. y ? cos x B.1: 4

D. 252 x 4

20. 既是偶函数又在区间(0,π )上单调递减的函数是(

C. y ? sin 2 x C.1:8 ). C. CU (CU ? )
2

21. 若两个球的表面积之比为1: 4 ,则这两个球的体积之比为( 22. 设全集 U ? R ,下列集合运算结果为 R 的是( A. Z ? CU N B. N ? CU N
2

23. a 、 则“ b ? 4ac ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像恒在 x 轴上方”的 ( b、 c ?R, A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

24. 若 A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线, 垂足为 N .若 MN ? ? AN ? NB , 其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 ). D.双曲线

三、解答题: (本大题满分 48 分) 25.(本题满分7 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 6 , 异面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为

? ,求该三棱柱的体积. 6

26.(本题满分7 分)如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地,其中 ?B 为直角, AB 长40米, BC 长50米. 现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形 状为矩形,且 B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积. ?

27.(本题满分8 分)
2 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? ?n ? n ,数列 {bn } 满足 bn ? 2 n ,求 lim (b1 ? b2 ? ? bn ) . a
n ??

28. (本题满分13 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分9 分. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,短轴的两个端点分别为 B1 、 B2 . (1)若△ F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点,且 F1 P ? F1Q , 求直线 l 的 方程. ?

29.(本题满分13 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分9 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 x n ,且 { x n } 是首项为1、 公比为2 的等比数列. 记 ?Pn APn ?1 ? ? n , n ? N * . (1)若 ? 3 ? arctan ,求点 A 的坐标; ? (2)若点 A 的坐标为 (0,8 2 ) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值.

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