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1等比数列基础习题选(附详细解答)



等比数列基础习题选(附详细解答) 一.选择题(共 27 小题) 1. (2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( A. 解答: B.﹣2 解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5= , 设出等比数列的公比是 q, 3 ∴a5=a2?q , ∴ ∴q= , 故选 D 2. (2006?湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a

4a5a6a7a8a9=( A.81 B. C. 27 ) D.243 = = , C.2 ) D.

解答: 解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3, 4 4 所以 a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9) (a3a8) (a4a7) (a5a6)=(a1a10) =3 =81, 故选 A 3. (2006?北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9 成等比数列,那么( ) A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 解答: 解:由等比数列的性质可得 ac=(﹣1)×(﹣9)=9, b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同, ∴b=﹣3, 故选 B 4.已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 A. B. ﹣ C. 或﹣

D.b=﹣3,ac=﹣9

的值是( D.



解答: 解:∵1,a1,a2,4 成等差数列, ∴3d=4﹣1=3,即 d=1, ∴a2﹣a1=d=1, 又 1,b1,b2,b3,4 成等比数列, 2 ∴b2 =b1b3=1×4=4,解得 b2=±2, 2 又 b1 =b2>0,∴b2=2, 则 故选 A 6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么 a4 等于( ) A.8 B.16 C.±8 = .

D.±16

解答: 解:设此等比数列的首项为 a,公比为 q, 由 a6+a2=34,a6﹣a2=30 两个等式相加得到 2a6=64,解得 a6=32;两个等式相减得到 2a2=4,解得 a2=2. 5 4 根据等比数列的通项公式可得 a6=aq =32①,a2=aq=2②,把②代入①得 q =16,所以 q=2,代入②解得 a=1, n﹣1 3 所以等比数列的通项公式 an=2 ,则 a4=2 =8. 故选 A

8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意 n∈N ,点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上,则数列{an}( A.是等差数列不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列 C. 是常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解答: 解:由题意,∵点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上 ∴Sn=3n+2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3 当 n=1 时,a1=5 ∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 故选 D 9. (2012?北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( A.a1+a3≥2a2 B. C. 若 a1=a3,则 a1=a2 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 a1+a3= )

*



D.若 a3>a1,则 a4>a2

,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立,故 A 不正确;

,∴
2 2

,故 B 正确;

若 a1=a3,则 a1=a1q ,∴q =1,∴q=±1,∴a1=a2 或 a1=﹣a2,故 C 不正确; 2 2 若 a3>a1,则 a1q >a1,∴a4﹣a2=a1q(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故 D 不正确 故选 B. 10. (2011?辽宁)若等比数列 an 满足 anan+1=16 ,则公比为( A.2 B.4 C.8 解答: 解:当 n=1 时,a1a2=16①;当 n=2 时,a2a3=256②, ②÷①得: =16,即 q =16,解得 q=4 或 q=﹣4,
2 2 2 n

) D.16

当 q=﹣4 时,由①得:a1 ×(﹣4)=16,即 a1 =﹣4,无解,所以 q=﹣4 舍去, 则公比 q=4. 故选 B 11. (2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=( ﹣ ﹣ n A.(﹣2)n 1 B.﹣(﹣2n 1) C.(﹣2) ) D.﹣(﹣2)
n

解答: 解:由 a5=﹣8a2,得到 =q =﹣8,解得 q=﹣2,
3

又 a5>a2,得到 16a1>﹣2a1,解得 a1>0,所以|a1|=a1=1 n﹣1 n﹣1 则 an=a1q =(﹣2) 故选 A 12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的公比是( A.﹣1 B.2 C.3 解答: 解:由 a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1 得: , 由①得:q(a1q ﹣2a1q)=2③, 把②代入③得:q=2. 故选 B 13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则 lga3+lga4=( A.﹣1 B.1 ) C.2
4

) D.4

D.0

解答: 解:∵正项等比数列{an}中,a2a5=10,∴a3a4=10,∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1, 故选 B. 14.在等比数列{bn}中,b3?b9=9,则 b6 的值为( ) A.3 B.±3 C.﹣3 D.9 解答: 解:∵在等比数列{bn}中, 2 b3?b9=b6 =9, ∴b6=±3. 故选 B. 15. (文)在等比数列{an}中, A. B. ,则 tan(a1a4a9)=( C. ) D.

解答:

解:∵ ∴a1a4a9= ,



∴tan(a1a4a9)= 故选 B.



16.若等比数列{an}满足 a4+a8=﹣3,则 a6(a2+2a6+a10)=( A.9 B.6 C.3

) D.﹣3

解答: 解:由题意可得:在等比数列{an}中,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 aman=apaq. 因为 a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6a6+a10a6, 2 所以 a6a2+2a6a6+a10a6=(a4+a8) =9.

故选 A. 18.在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则 a4+a5=( A.16 B.27 C.36 解答: 解:∵a2=1﹣a1,a4=9﹣a3∴a1q+a1=1 ①a1q3+a1q2=9 两式相除得,q=±3 ∵an>0 ∴q=3 a1=
3 4

) D.81



∴a4+a5=a1q +a1q =27 故选 B. 19.在等比数列{an}中 a2=3,则 a1a2a3=( ) A.81 B.27 解答: 解:由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,
3

C.22

D.9

因为 a2=3,所以 a1a2a3=a2 =27. 故选 B. 20.等比数列{an}各项均为正数且 a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+…+log2a10=( A.15 B.10 C.12 解答: 解:∵等比数列{an}各项均为正数 ∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0 ∵a4a7+a5a6=16 ∴a5a6=a4a7=8 根据对数的运算性质,得
5 5

) D.4+log25

log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2a3…a9a10)=log2(a5a6) =log2(8) =15 5 3 5 15 ∵(8) =(2 ) =2 5 15 ∴log2(8) =log22 =15 故选 A 21.等比数列{an}中 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,则 a5a6a7=( A.8 B.±2 C.﹣2 2 解答: 解:根据等比数列的性质得:a6 =a4a8, 2 又 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,得到 a4a8=2, 2 则 a6 =2,解得 a6=± , 3 则 a5a6a7=(a5a7)a6=a6 =±2 . 故选 B 22.在等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243,则 的值为( C.3 ) D.2
2

) D.2

A.9 B.6 解答: 解:∵等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243, ∴ ∴a5=3 设等比数列的公比为 q ∵ = =



=3

故选 C. 23.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的和是( A. B. C. D. )

解答: 解:设中间两数为 x,y, 则 ,

解得



所以 故选 C.

=11 .

24.已知等比数列 1,a ,9,…,则该等比数列的公比为( ) A.3 或﹣3 B. C.3 3或 解答: 解:由题意可得 9=1×a ,∴a =3,故公比为 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,求出 a2 的值,是解题的关键.
4 2

2

D.

=3,

25. (2011?江西)已知数列{an}的前 n 项和 sn 满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 解答: 解:根据题意,在 sn+sm=sn+m 中, 令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1, 故选 A. 27.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,若 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 S4=( A.7 B.8 C.16 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 ∵a1=1,4a1,2a2,a3 成等差数列, 2 ∴4q=4+q , ∴q=2 ∴S4=1+2+4+8=15 故选 D. 二.填空题(共 3 小题) 28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式是 2
n+1

) D.15

﹣3



解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3, ∴an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) , ∴{an+3}是公比为 2,首项为 4 的等比数列, n﹣1 ∴an+3=4?2 , n+1 ∴an=2 ﹣3. n+1 故答案为:2 ﹣3.



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