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2012届高三数学第一轮复习 第2编 13定积分与微积分基本定理课件 新人教B版1


学案13 定积分与微积分基本定理

考纲解读 考向预测

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1

考点2
考点3

填填知学情
课内考点突破 规律探究

考点4

考点5

定积分与
微积分基本定 考 纲 解 读 理

(1)了解定积分的实际背景,了解定积分的 基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义.

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考 向 预 测
在高考中出现的题目应属于容易题,考查定积分的简单 应用(如求曲线围成的面积、力做的功等)的可能性较大.

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1、定积分的定义 设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上.用分点a=x0<x1 <x2<…<xn-1<xn=b.把区间[a,b]分为n个小区间, 其长度依次为Δxi=xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1.记λ为这 些小区间长度的最大者,当λ趋近于0时,所有的小区

间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi,作和
式In=? . f(ξ i ) Δxi ∑
i =0 n-1

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当λ→0时,如果和式的极限存在,我们把和式In的极限

叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
b
n-1

即 ?a f(x)dx =lim ? f(ξ i ) Δxi .其中f(x)叫作 被积函数 ,a ∑ 叫 积分下限 ,b叫 积分上限 ,f(x)dx叫作 被积式 .
λ→0
i =0

?

b

a

, f(x)dx

2、定积分的几何意义

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,定积分

?

b

a

f(x)dx 在


几何上表示界于x轴、曲线y=f(x)及直线x=a、x=b之间 各部分面积的代数和,在x轴上方的面积取 正号 在x轴下方的面积取

负号

. 返回目录

3、定积分的性质 1.定积分的线性性质 b b k f(x ? ∫ = )dxka f(x)dx
a

? ? ?f(x)? g(x)dx
b

a

(k为常数),
b

=

?

b

a

f(x)dx ± g (x )dx ∫ .
a

2.定积分对区间的可加性 c b c dx f(x = f(x + ∫ ∫ ∫ )dx )dx b f ( x ) +(a<b<c).
a a

4、微积分基本定理 设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的任意一个原函数, b F(b)-F(a) 即F′(x)=f(x),那么 = . ? f(x)dx
a

这个公式也叫牛顿—莱布尼兹(Newton?Leibniz)公式. 这个公式把积分和微分这两个不同的概念联系起来,从而

把求定积分 ?a f(x)dx 的问题转化为求f(x)的原函数的问题.
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b

考点1

利用微积分定理求定积分

?

2

4

1 x

计算下列定积分: (1)[2010年高考湖南卷] (2) (3)

dx;

? x(x+1)dx; 1 ? (e + x )dx.
2 0 2 1
2x

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【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理 进行求解,计算 向使用得到.

?

b

f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)

a

的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆

【解析】 (1)∵

x ln2=2ln2-ln2=ln2.
4

?

21

dx=lnx

4 =ln4-ln2=ln222

1 2+x且( (2)∵x(x+1)=x x 3 )′=x2,( 2 2 3 ∴ x(x+1)dx= (x2+x)dx 0 0 2 2 1 3 2 1 2 2 2dx+ = x xdx= x 0+ x 0 2 3 0 0 1 1 3-0)+( ×22-0)= 14 . =( ×2 2 3 3

? ?

?

1 x 2 )′=x, 2

?

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(3)∵(lnx)′=

1 ,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x, x

得e2x=( 1 e2x)′,
2 2 1 1 2xdx+ ∴ dx x dx)= 1e x 1 2 2 1 2x = 2 e 1 +lnx 1 1 1 1 2 42+ln2-ln1= 1 e4= 2 e 2e e +ln2. 2 2

?

(e2x+ 1

2

2

|

|

?

?

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计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被

积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与
常数的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被 积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到 一个相应的原函数;(4)利用微积分基本定理求出各个 定积分的值;(5)计算原始定积分的值.

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求下列定积分: (1) (2)

?

3

? (3) ?

?

0

(2x-3x2)dx; sin2

2 0 2

1

1 (x+ x )dx.

x dx; 2

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(1)

?
?

3

(2x-3x2)dx=

0

?
?

3

2xdx-

0

?

3

0

3 3 3x2dx=x2 |0 -x3 |0 =-18.

x 2 sin2 (2) ? dx= 0 2
=

?

?

2 ( 0

1 - cosx ) 2

dx

?

2 0

1 1 dx2 2
? 2
0

?

?

2 0

cosxdx
? 2
0

1 = x 2

1 2

sinx

= ? ?1 . 4 2

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1 (3) ( x+ ?1 x )dx=
2

?

2

xdx+

1

?

2

1

1 dx x

1 2 2 = x2 |1 +lnx |1 2

3 = +ln2. 2

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考点2

分段函数的定积分

计算下列定积分: (1)

?

2?

|sinx|dx;

(2)

0

?

2

|x2-1|dx.

0

【分析】对于第(1)小题,应对在区间[0,2π]上 的正、负进行分情况计算;而对于第(2)小题,在 0≤x≤2的条件下,对x2-1的正、负情况进行讨论.

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【解析】 (1)∵(-cosx)′=sinx,


=

? |sinx|dx= ? |sinx|dx+ ?? ? ? ? sinxdx- ?? sinxdx
0

2?

?

2?

0

|sinx|dx

2

0

2 =-cosx |? +cosx |?? 0

=-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ) =4.

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(2)∵0≤x≤2, ∴|x2-1|= ∴

?
x2-1 (1≤x≤2) 1-x2 (0≤x≤1),

?

2

|x2-1|dx=

0

?

1

0

(1-x2)dx+

?

2

1

(x2-1)dx

1 3 1 1 2 x ) |0 + ( x3-x) |1 3 3 1 1 3 -2)-( 1 -1)=2. =(1- 3 )+( 3×2 3

=(x-

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(1)含绝对值的函数实际上就是分段函数.

(2)分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成几段
定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.

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?
x3 x∈[0,1] (1)求函数f(x)= x2 x∈(1,2] (2)计算:

?

?

2x x∈(2,3]在区间[0,3]上的积分;
1 - sin2xdx.

2 0

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(1)由积分性质知

?

3

f(x)dx=
1

0

?

1

f(x)dx+

0

?

2

f(x)dx+
3 x 2 dx

1

?

3

f(x)dx

2

=

?

x3dx+
2 1+ 0

0

?

2 2 x dx+

1
1 0

?

2
3 2

= x

4

1 3 x 3

2x + l n2

1 8 1 8 4 = ? ? ? ? 4 3 3 ln 2 ln 2
=

31 4 ? 12 ln 2

. 返回目录

? (2)当x∈[0, ]时, 2 1 ? sin 2 x ? (sin x ? cos x ) 2 ? -sinx+cosx 0≤x≤ 4 = ? ? sinx-cosx ≤x≤ , 4 2

=|sinx-cosx|

?
? ?

∴ = =
? 4 0 ? 4 0

?

?

2 0

1 ? sin 2 x dx =

?

? 2 0

|sinx-cosx|dx |sinx-cosx|dx (sinx-cosx)dx

|sinx-cosx|dx+ (-sinx+cosx)dx+

?

?

? 2 ? 4 ? 2 ? 4

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?

=(cosx+sinx) =cos

4

? 4
0

+(-sinx-cosx)

? 2 ? 4

? ? ? +sin -(cos0+sin0)+(-sin -cos )- ( 4 2 2

? ? sin -cos ) 4 4 2 2 2 = + -1+(-1)-(2 2 2

2 )=2 2 -2. 2

考点3 利用定积分几何意义求定积分

[2010年高考课标全国卷]设y=f(x)为区间[0,1]上 的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近

似计算积分

f(x)dx,先产生两组(每组N个)区间[0,1] ?
1 0

上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N 个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可 得积分

? f(x)dx的近似值为.
1 0

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【分析】利用定积分的几何意义解题. 【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知 f(x)dx是由 ?
1 0

直线x=0,x=1及曲线y=f(x)与x轴围成的面积.又产生的 随机数对在如图所示的正方形内,正方形的面积为1, 且共有N个数对,即N个点.而满足yi≤f(xi) 的有N1个点,即在函数f(x)的图象上及图

象下方有N1个点,所以用几何概型的概
率公式得:f(x)在x=0到x=1上与x轴围成 N 1 ,即 1 f(x)dx= N 1 . N1 的面积为 ×1= ?0 N N N 返回目录

本题考查了几何概型、定积分等知识,难度不 大,但综合性较强,很好地考查了学生对积分等知 识的理解和应用,题目比较新颖.

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求定积分 ??2

2

16 ? 6 x ? x 2 dx .

令y= 16 ? 6 x ? x 2 ,则(x-3)2+y2=25(y≥0), ∵?
2 ?2

16 ? 6 x ? x 2 dx 表示由曲线y= 16 ? 6 x ? x 2

在[-2,3]上的一段与x轴和直线x=3所围成的面积, ∴ = ·π·52= π.

?

2

?2

16 ? 6 x ? x dx
2

1 4

25 4

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考点4
1 12

定积分的应用

【分析】先求出y=x2与y=x3的交点,再由定积分的几何 意义求面积. y=x2 【解析】由 得交点坐标为(0,0),(1,1), 3 y=x 1 1 1 因此所求图形面积为S= ? (x2-x3)dx=( x3- x4) 1 0
1 = 12
0

[2010年高考山东卷]由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图 形面积为 (A ) 1 1 7 A. B. 4 C. 3 D.
12

3

4

. 返回目录

故应选A.

求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积. y2=2x

?

【解析】由方程组

y=4-x

解出抛物线和直线的交点为(2,2) 及(8,-4).

解法一:选x作为积分变量,
由图可看出S=A1+A2,

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在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y= 下半支方程为y=- 2 x,所以

2x
1 2

,

S A1 = S A2 =

?[
0

2

2 x ? ( ? 2 x )]dx ? 2 2 ? x dx
3 2 0 2

2

0

2 = 2 2 x 3
8 2

16 ? 3

,

3 ? 1 2 2 2 2 ? 0 38 x ?2? = ?4x ? x ? ? ? 2 3 3 ? ? 16 18 ? 于是:S= 3 3 =18.

? [4 ? x ? (?

2 x )]dx

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解法二:选y作积分变量,

y2 将曲线方程写为x= 及x=4-y. 2 2 2 ? y y2 y2 ? 2 ? ?4 S= ? [4 ? y ? ]dy ? ? 4 y ? ? ? ?4 2 2 6 ? ? ? =30-12=18.

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考点5

定积分在物理中的应用

一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,求此汽车在这

1 min内所行驶的路程.
【分析】由题意知,在t∈[0,10) 和t∈[40,60)物体做匀变速直线 运动,t∈[10,40)做匀速运动,∴v(t) 应为分段函数,应三段求积分.

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【解析】由速度—时间曲线易知, v(t)=

?

3t, t∈[0,10) 30, t∈[10,40) -1.5t+90, t∈[40,60],
40

由变速直线运动的路程公式可得
S?

?

10

0

3tdt ? ? ? 30t

10

30dt ? ? ( ?1.5t ? 90)dt
40

60

3 2 ? t 2

10 1

40 10

? 3 2 ? ? ? ? t ? 90t ? ? 4 ?

60 40

? 1350

答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.

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用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物

理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函
数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其 分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函 数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运 算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误.

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A,B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车
开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到 C点速度达24m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶, 从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.3t)m/s.在B点 恰好停车,试求: (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.

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(1)设A到C经过t1s,由1.2t1=24得t1=20(s),所以
AC=

?

20

0

1.2tdt ? 0.6t 2

20 0

=240(m).

(2)设从D→B经过t2s,由24-1.2t2=0得t2=20(s),
所以DB=

?

20

0

( 24 ? 1.2t )dt =240(m).

(3)CD=7 200-2×240=6 720(m).
6720 从C到D的时间为t3= =280(s). 24

于是所求时间为20+280+20=320(s).
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1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积

分.
2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁 是被积变量. 3.求曲边多边形的面积,其步骤为: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图象. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分 的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分. 返回目录

4.用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物
理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函 数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其

分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函
数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运 算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误. 5.若曲边梯形的面积易求,可以利用曲边梯形的面积 来求得定积分.

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