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婆罗摩笈多定理和一道IMO题新证



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中学数学教学

2004 年第 2 期

数学竞赛专栏
主持人 郭要红

有 奖 解 题 擂 台 ( 66)
广州大学理学院 数学系 吴伟朝 ( 邮编: 510405) 1 设单射函数 f : R R 对于任何的 x , y R, 都有 f ( f ( x ) + f (

y ) ) = f ( x + y ) - 2。 求证: 对于任何 x R, 都有 f ( f ( x ) - 2003) = f ( x ) - 2004。 2 试求出所有的函数 f : R R, 使得对于任何的 x , y
2

R, 都有
2

f ( x + y + f ( y ) + y f ( x ) ) = 2y + x f ( y ) + ( f ( x ) ) 。 (注 供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 60 元, 每小题各 30 元) 。

婆罗摩笈多定理和一道 IM O 题新证
贵州省安顺市职业中学
第 39 届 I M O 第一题, 是一个很有趣的几何题, 题 目如下: 题 在凸 四边 形 A BCD 中, 两对 角 线 A C 与 BD 互相 垂 直, 两 对 边 A B 与 CD 不平 行。 点 P 为 线 段 A B、 垂 直平 分 线的 交 点, 且 CD P 点在 四边 形 A BCD 内 部。证 明: A BCD 为圆内接四边 形的充 分 而 必 要 条 件 是: A BP 与 CDP 的面积相等 。 关于 这个 题 目的 解 法已 经 有好几种, ( 见文[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] ) 图1

刘燕玲
么,

( 邮编: 561000)
CD Q 的高;

A BQ 的中线 Q M 的反向延长线是

A BQ 的高 QH 的反向延长线, 是 CDQ 的中线。 它的逆定 理也 是成 立的。 即四 边 形 A BCD 两 对 角线 A C、 互相 垂直, 交 点为 Q , 如果 BD 线 QM 的 反 向 延 长 线 是 CDQ 的 高; QH 的反向延长线, 是 内接于圆。 A BQ 的 中 A BQ 的 高

CDQ 的中线, 那么, 该四 边形

婆氏定理逆定理的证明很 少见, 其实很简单。 事实上, 如图 2, 已 知 A BQ 的 中线 QM 的反 向 延 长线 Q H 是 CDQ 的高。 因 为 A BQ 和 CDQ 都 是 直 角 三角 形, QM 是 斜边 上的 中线, Q M = BM , 因 此 A BD = A BQ = DCQ = BQ M = D QE = DCA 。 从而 A 、 B、 图2

但是, 一般都 要做 几条 辅 助线, 或 者用 解 析法 进 行计 算, 过程都比较复杂。 而该题的基本图形 圆内接四边形的两条对角 线互相垂直, 与著名 的婆罗 摩笈多 定理 一样。能 否用 这一定理来证明它呢? 经 过认真 思考, 终于 用这 个定 理给出了该题的一种简洁、 漂亮的新证法。 婆罗摩 笈多 ( Brahmegpta, 约 598- 660) 是古 代印 度著名数学家, 他特别注意对圆内接四边形的研究, 提 [ 出过三个定理, 都称作 婆罗摩笈多定理 。5] 以下是其 中之一: 婆罗摩笈多定理 圆内接 四边形 A BCD 中, 如果 两条对角线 A C 与 BD 互相垂直 , Q 是 它们的交点, 那

C、D 四 点 共 圆, 即 四 边 形 A BCD 内接于圆。

现在来证明上述第 39 届 IM O 的几何题。 本文题的证明: 如图 1, 在凸四边形 A BCD 中, 设两对角 线 A C 与 BD 相交于 Q 点, M 、 分 别为 线 段 A B 、 的 中点。 N CD 连接 PM 、 , 则 PM PN A B , PN CD 。 ( 下转第 13 页)

2004 年第 2 期
A 1 B 1 C 1 D 1 是以 A 1 B 1 为底、 高为 h 的矩形。

中学数学教学

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同理可证 A 2 B 2 C 2 D 2 是以 A 2 B 2 为底、 高为 h 的 矩形。根据假说中的已 知条 件 A 1 B 1 = A 2 B 2, 可 知矩 形 A 1 B 1 C 1 D 1 与矩形 A 2 B 2 C 2 D 2 面积相等。 由上可知, 位于 和 之间的两柱体 V 1 和 V 2 被 任一平行于 ( 或 ) 的平面 所 截, 得到的 任意 等高 处的截面 A 1 B 1 C 1 D 1 和 A 2 B 2 C 2 D 2 的面积两两相等, 由祖 原理, V 1 和 V 2 的体积必相等, 即 V 1= V 2 。 再由 V 1= S 1 h 和 V 2= S 2 h, 可知 S 1 = S 2 。 3 对结论的类推和应用 探索性学习既是探索 的过程, 也 是一种 特定 的学 习过程, 是通过自主 探索获 取新知 识的 过程。需 要指 出的是, 探索性学习 的意义不 仅在于 获得特 定的 专门 知识, 还在于对自主 探索的 实践能 力的 培养。在 上述 探索性学习的实践中, 我们不 仅获得 了有关 祖 原理 的推论的新知识, 而 且对探索 性学习 过程本 身也 有了 更加具体的认识。前面说明了探索性学习的两个基本 环节, 即 提 出猜想或假说 和 求证结论 , 作为一个完 整的探索性学习过程, 不应止 于得到 某个特 定的 结论 上, 还应进一步考虑 对结论的类推和应用 , 从而以已 知领域为基 础, 不断 向未知 领域延 伸、 拓展, 把探 索活 动不断进行下去。 对于前面得到的祖 原理的推论, 我们可 以把它

类推到更一般的情况, 得到上述推论的 推广形式 : 位于两 平行 直 线 l 和 n 之间 的 两区 域 S 1 和 S 2 ( S 1 和 S 2 也代表面积) 被平行于 l( 或 n) 的直线 m 所 截, 若 对于任意 m 所 截得 的两线 段 A 1 B 1 和 A 2 B 2 均 有 A 1 B 1 = A 2 B 2, 则两区域的面积必满足: S 1 = S 2 。 考虑对上述 推广形 式 的应用, 我 们可以 用它 来 推导椭圆的面积公式。 如图 4 所示, Q 为 x Oy 平 面内 的椭 圆 x 2 + y 2 = a b 1, 为 求 其面 积公 式, 以 O 为 圆 心作圆 R : x 2 + y 2 = a 2, 作任 意 平行于 y 轴并 与椭 圆相 交的 直 线 , 交 椭圆 Q 于 点 E、 交 F, 圆 R 于点 G 、 。用解析几何方 H 法不难计算出, 对于任意的 截线 b GH , 于 是根 据 , 总 有 EF = a 图4 我们前面得到 的 推 广形式 , 椭 圆 Q 和圆 R 的面积必满足: S Q = b S R , 而 S R = a 2, 所 a x2 y2 以有: S Q = ab, 这正是椭圆 2 + 2 = 1 的面积公式。 a b ( 收稿日期 2004- 01- 20)
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( 上接第 28 页) 又连接 QM 、 。因为 A BQ 和 CD Q 都是直 QN 角三角形, M Q 和 N Q 分别是它们斜边上的中线, 所以 M Q = MB , N Q = N C 。 因为 A B 与 CD 不平行, 可设 A B、 交 于 S 。又 CD 令 A SC = , AQM = BA Q = SA C = , CDQ = 。 于是, A CS= 90 + , 从而有 A S C+ SA C+ A CS= 180 , 即 + + ( 90 + ) = 180 , 由此得 + = 90 - , 故 M QN = M Q A + 90 + N QD = + + 90 = ( 90 - ) + 90 = 180 - = MPN 。 于是, 有以下一连串的等价命题: A BP 与 CDP 的面积相等 等价于 PM A B= PN CD ( 由三角形面积公式) , 等价于 PM BM = PN CN ( 因为 A B = 2BM , CD = 2CN ) , 等价于 PM QM = PN QN ( 已证 M Q = MB , N Q = N C) , PM QN 等价于 = , PN Q M

等 价于 MPN NQM ( 已 证 MPN = M QN ) , 等价于 PMN = QN M , PN M = QMN , 等价于 QN PM , QM PN , 等价于 QM CD , QN A B( 因为 PM A B , PN CD ) , 等价于 A BCD 内接于圆( 由婆氏定理和逆定理) 。 参考文献 1 刘若川。第 39 届 IM O 试题解答。 中学数学, 1998( 5) 。 2 张国 清。第 39 届 IM O 试题 第一 题充 分性 的 证明。中等数学, 1999( 2) 。 3 林 常。第 39 届 IM O 试 题解 答。福 建中 学 数学, 1998( 5) 。 4 肖 石。第 39 届 I M O 两道几何题 另解, 福建 中学数学, 1998( 5) 。 5 胡炳生。婆罗摩笈多与婆氏定理, 中学数 学教 学, 1994( 4) 。 ( 收稿日期 2003- 12- 10)



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