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江西省2015届高三数学理一轮复习备考试题:三角函数



江西省 2015 届高三数学一轮复习备考试题 三角函数
一、选择、填空题 1 、 ( 2014 年 江 西 高 考 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c, , 若

c 2 ? (a ? b) 2 ? 6, C ?
A.3

?
3

,

则 ?ABC 的面积是
C.

B.

9 3 2

3 3 2

D. 3 3

2、(2013 年江西高考)函数 y ? sin 2x ? 2 3 sin 2 x 的最小正周期为 T 为 3、(2012 年江西高考)若 tan ? + A.

1 5

B.

1 4

1 =4,则 sin2 ? = tan ? 1 C. 3

D.

1 2

4、(红色六校 2015 届高三第一次联考)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A >0, ? < 的图象如图所示, 为了得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,只需将 f ( x) 的图象( )

π 2

π 个单位长度 4 π B.左平移 个单位长度 4 π C.右平移 个单位长度 12 π D.左平移 个单位长度 12
A.右平移 5 、 ( 井 冈 山 中 学 2015 届 高 三 第 一 次 月 考 ) 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足

f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数, ? , ? 是钝角三角形的两个锐角,

则 f (sin ? ) 与 f (cos ? ) 的大小关系是 21 世纪教育网版权所有 A. f (sin ? ) ? f (cos ? ) C. f (sin ? ) ? f (cos ? ) B. f (sin ? ) ? f (cos ? ) D. f (sin ? ) ? f (cos ? )

6、(南昌二中 2015 届高三上学期第一次考)已知 sin( x ? ( )

?
4

)??

5 , 则 sin 2 x 的值等于 13

A.

120 169

B.

119 169

C. ?

120 169

D. ?

119 169

7、 (南昌市八一中学 2015 届高三 8 月月考)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所 示,f( )=﹣ ,则 f(0)=( )21 教育网

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

8、(遂川中学 2015 届高三上学期第一次月考)已知 sin 2? ? ?

24 ? , ? ? ( ? , 0) ,则 25 4

7 5 9、(吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a、b 为
B. C.- D. 常数, a ? 0, x ? R )在 x ?

sin? ? cos? ? ( 1 A.- 5



1 5

7 5

?
4

处取得最小值,则函数 y ? f (

3? ? x ) 是( 4



A. 奇函数且它的图象关于点 (

3? , 0) 对称 2

B. 奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C. 偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 D. 偶函数且它的图象关于点 (

3? , 0) 对称 2

10、(南昌三中 2014 届高三第七次考试)已知函数 y ? tan ?x在(? ( ) A.0< ? ≤1 B.-1≤ ? <0 C. ? ≥1

? ?

, ) 内是减函数,则 2 2

D. ? ≤-1

二、解答题 1、 (2014 年江西高考) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) , 其中 a ? R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a , ? 的值.

?

2

2、(2013 年江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+ (conA-错误!未找到引用源。sinA)cosB=0.www.21-cn-jy.com (1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围 3 、 ( 2012 年 江 西 高 考 ) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 已 知 ,

A?

?

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 。 4 4 4

?

?

(1)求证: B ? C ?

?

2

(2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。

4、 (红色六校 2015 届高三第一次联考) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) , 设函数 f ( x) ? m ? n , (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的表达式及它的值域; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角 , 若 f ( A) ?

1 ? 3 ? sin(2 A ? ) ? , b ? c ? 7 , 2 6 2

?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.【来源:21·世纪·教育·网】
5、(井冈山中学 2015 届高三第一次月考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, cos B 2a b b,c,且满足 a=2sin A,cos C+ c +c =0.21·世纪*教育网 (1)求 c 的值; (2)求△ABC 面积的最大值. 6 、 ( 南 昌 二 中 2015 届 高 三 上 学 期 第 一 次 考 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin(

?

6

? x) cos(

?
3

? x) ? sin x cos x ?

1 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调减区间; (II) 若 2 f ( ) ? ?

x 2

15 3? 5 ? ,且 x ? (? ,? ? ) ,求 sin( x ? ) 值. 4 2 4 12

7、 (南昌市八一中学 2015 届高三 8 月月考)在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是三内角 A 、 B 、

C 的对边,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .2·1·c·n·j·y
(1)求角 A 的大小; (2)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状. 2 2

8、(遂川中学 2015 届高三上学期第一次月考)在锐角△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的 边依次为 a 、 b 、 c. 设向量 m ? (cos A,sin A) , n ? (cos A, ? sin A) , a ? 2 3 ,且

1 m n ? ? .www-2-1-cnjy-com 2 (1)若 b ? 2 ,求△ABC 的面积; (2)求 b ? c 的最大值.

9 、 ( 2014 届 江 西 省 高 三 4 月 模 拟 ) 已 知 △ ABC 三 内 角 为 A , B , C , 向 量

m ? (?1, 3), n ? (cos A,sin A), m ? n ? 1,且
(1)求角 A;

1 ? sin 2 B ? ?3 。 cos 2 B ? sin 2 B

(2)若 AC 边的长为 15 ,求△ABC 的面积 S。

10、(吉安一中 2014 届高三下学期第一次模拟) 已知 m ? (cos ? x ? sin ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) ,其中 ? ? 0 ,若函 数 f ( x) ? m ? n ,且 f ( x ) 的对称中心到 f ( x ) 对称轴的最近距离不小于 (Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a ? 1, b ? c ? 2 ,当 ? 取最 大值时, f ( A) ? 1,求△ABC 的面积。

? 。 4

11、 (南昌三中 2014 届高三第七次考试) 已知△ABC 的面积 S 满足 3 ≤S≤3, 且 AB ·BC = 6 , AB 与 BC 的夹角为 ? .2-1-c-n-j-y

1 ? 2 cos(2? ? ) 4 的最大值. (1) 求 ? 的范围;(2)求函数 f (? ) = sin ?

?

12、(江西省九所重点中学 2014 届高三 3 月联考)如图,△ABC 中.角 A、B、C 所对边 的长分别为 a、 b、 c 满足 c=l, a2 ? b2 ? ab ? 1, 以 AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD. (1)求∠ACB 的大小; (2)设∠ABC= ? ,| CD |2 ? f (? ) .试求函数 f (? ) 的最大值及 f (? ) 取得最大值时的 ? 的 值.

参考答案: 一、选择题 1、C 2、 ? 二、解答题

3、D

4、C 5、B 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B

1、【解析】(1)

a ? 2, ? ?

?
4

,

? f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ? sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 4 2

?

?

2 2 sin x ? cos x ? 2 sin x 2 2 2 2 ……………………………………………………………3 分 ? cos x ? sin x 2 2 ?? ? ? cos ? x ? ? 4? ? ? ? 5? ? ? x? ? 又 0? x ?? , …………………………………………………………4 分 4 4 4 ?
??1 ? f ? x ? ? 2 2

? f min ? x ? ? ?1, f max ? x ? ?
(2)

2 ;……………………………………………………………6 分 2

f ( ) ? sin( ? ? ) ? a cos( ? 2? ) ? cos ? ? a sin 2? ? cos ? ? a 2sin ? cos ? ? 0 2 2 2

?

?

?

又 ? ? (?

? ?

, ) ,? cos ? ? 0,? 2a sin ? ? 1 …………………………………………7 分 2 2

f (? ) ? sin(? ? ? ) ? a cos(? ? 2? ) ? ? sin ? ? a cos 2? ? 1
?? sin ? ? a ?1 ? 2sin 2 ? ? ? 1

?? sin ? ? a ? 2a sin 2 ? ? 1 ,…………………………………………8 分

? a ? ?1 …………………………………………10 分 ? 1 ? ? ? sin ? ? ? ,又 ? ? (? , ) ,所以 ? ? ? ………………12 分 6 2 2 2
2、解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0

因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3
2


2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B 。

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? 。 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 。 2 4
因为 a ? c ? 1, cos B ? 3、解:(1)证明:由 b sin(

?
4

? C ) ? c sin(

?
4

? B ) ? a 及正弦定理得:

sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A , 4 4
即 sin B(

?

?

2 2 2 2 2 sin C ? sin C ) ? sin C ( sin B ? sin B) ? 2 2 2 2 2
3? 4

整理得: sin B cos C ? cos B sin C ? 1 ,所以 sin( B ? C ) ? 1 ,又 0 ? B, C ? 所以 B ? C ?

?
2

(2) 由(1)及 B ? C ?

? 3? 5? ? , C ? ,又 A ? , a ? 2 可得 B ? 4 4 8 8 a sin B 5? a sin C ? ? 2sin ,c ? ? 2sin , 所以 b ? sin A 8 sin A 8
1 5? ? ? ? 2 ? 1 bc sin A ? 2 sin sin ? 2 sin cos ? sin ? 2 8 8 8 8 2 4 2

所以三角形 ABC 的面积 ?

4、题(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)由题意得:

f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2


?

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6
……………………………5

? 1 3? f ( x)的值域 ?- , , ? 2 2? ?
(Ⅱ)由 f ( A) ?

1 ? 3 ? ? 3 ? sin(2 A ? ) ? 得:1 ? sin(2 A ? ) ? sin(2 A ? ) ? ,化简得: 6 6 2 2 6 2

1 ? ? cos 2 A ? ? , 又因为 0 ? A ? ,解得: A ? 2 2 3
由题意知: S ?ABC ?
2

…………………8 分

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 ,………………10 分 2
2 2 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 2bc (1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 故所求边 a 的长为 5。 2
cos B 2a b 5、解:(1)∵cos C+ c +c =0,

……12 分

∴ccos B+2acos C+bcos C=0, ∴sin Ccos B+sin Bcos C+2sin Acos C=0, ∴sin A+2sin Acos C=0.∵sin A≠0, 2π 1 a ∴cos C=-2,∴C= 3 ,∴c=sin A·sin C= 3. 2 2 1 a +b -3 (2)∵cos C=-2= 2ab ,∴a2+b2+ab=3, ∴3ab≤3,即 ab≤1,当且仅当 a=b=1 时,取等号, 1 3 3 ∴S△ABC=2absin C≤ 4 ,∴△ABC 面积的最大值为 4 . 6、(Ⅰ) 因为 f ( x) ? sin(

?
6

? x) cos(

?
3

? x) ? sin x cos x ?

1 4

1 3 1 3 1 1 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4
? ?


1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? 4 4 2 4 8 8 2 4

2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 4? ?

? 函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ?

f ( x) 的 减 区 间 满 足 2k? ? 2 x ?

?
4

? 2k? ? ?

, ?

减 区 间 为

x ? [k? ?

?
8

, k? ?

3? ],k ?Z 8

(II)由(1)知 f ( x) ? 因为 x ? (?

2 ? x 15 ? 15 得 cos( x ? ) ? ? cos(2 x ? ) , 2 f ( ) ? ? 2 4 2 4 4 4

3? 5? ? 5? ? 1 ,? ) ? ( x ? ) ? ( ? ,?? ) ? sin( x ? ) ? 2 4 4 4 4 4

? sin( x ?
?

?
12

) ? sin[( x ?

?
4

)?

?
6

] ? sin( x ?

?
4

) cos

?
6

? cos( x ?

?
4

) sin

?
6

1 3 15 1 ? ? ? ? 4 2 4 2

3 ? 15 8
1 ? ,A? . 2 3

7、解:(1) b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,∴ cos A ?

B C ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 2 2 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 , 3
(2)∵ 2sin 2 ∴ cos B ? cos ∴ sin( B ?

3 1 2? 2? sin B ? cos B ? 1 , cos B ? sin sin B ? 1 ,∴ 2 2 3 3

?
6

) ? 1 ,∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3

,C ?

?
3

, ∴ ?ABC 为等边三角形.

……………12 分 1 1 1 π 2 2 8、[解答] (1)由 m·n=- 得 cos A-sin A=- ,即 cos2A=- ,∵0<A< ,∴0<2A<π , 2 2 2 2 2π π 3 ∴2A= ,∴A= .设△ABC 的外接圆半径为 R,由 a=2RsinA 得 2 3=2R ,∴R 3 3 2 =2.由 b=2RsinB,得 sinB= 2 π ,又 b<a,∴B= ,21·cn·jy·com 2 4

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 3 2 1 2 6+ 2 = × + × = , 2 2 2 2 4 1 1 6+ 2 ∴△ABC 的面积为 S= absinC= ×2 3×2 2× =3+ 3. 2 2 4 (2)解法一:由 a =b +c -2bccosA 得 b +c -bc=12, ?b+c?2+12,∴(b+c)2≤48, 2 ∴(b+c) =3bc+12≤3? ? ? 2 ?
2 2 2 2 2

b+c≤4 3,当且仅当 b=c 时取等号,∴b+c 的最大值为 4 3. b c a 2 3 解法二:由正弦定理得: = = = =4, sinB sinC sinA π
sin 3 2π ?2π -B? = 4 3 , ∴ b + c = 4sinB + 4sinC = 4sinB + 4sin ? ? 3 ? 3 ? π π π ? π? sin?B+ ?,当 B+ = ,即 B= 时,b+c 取最大值 4 3.21cnjy.com 6? 6 2 3 ? 又 B+C=π -A= 9、解:(1)

m ? n ? 1,?(?1, 3) ? (cos A,sin A) ? 1,即 3 sin A ? cos A ? 1。 2 分

? 3 1? ?? 1 ? 2? sin A ? ? cos A ? ? 1,sin A ? ? ? ?? 。 ? 2 2? 6? 2 ? ? ?
0 ? A ? ?,?

4分

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,? A ? ? ,? A ? 。 6 6 6 3

6分

(2)由(1)知,得 sin A ?

1 ? 2sin B cos B 3 ? ?3 , ,又由题知 cos 2 B ? sin 2 B 2

整理得 sin 2 B ? sin B cos B ? 2cos2 B ? 0,?cos B ? 0,? tan 2 B ? tan B ? 2 ? 0 。

? tan B ? 2 或 tan B ? ?1 。而 tan B ? ?1 使 cos2 B ? sin 2 B ? 0 ,舍去。 ? tan B ? 2 。故 sin B ?

2 5 5 , cos B ? , 5 5
8分

AC BC sin A 15 ? ,? BC ? AC ? ? 。 sin B sin A sin B 4

? sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ?

3 5 1 2 5 15 ? 2 5 。 10 分 ? ? ? ? 2 5 2 5 10
12 分

S?

1 15(3 ? 2 3) 。 AC ? BC sin C ? 2 16

10、解:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x

?? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
? ? 0,? 函数 f ( x) 的周期 T ?

(2 分)

T ? 1 2? ? ? ,由题意知 ? ,即 ? 1 , 4 4 ? 2? ?
(6 分)

又 ? ? 0,? 0 ? ? ? 1 。故 ? 的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? 的最大值为 1,? f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)。

f ( A) ? 1 ,

? 1 ? ? 13 ? 5 ? ? sin(2 A ? ) ? 。而 ? 2 A ? ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? 。(9 分) 6 2 6 6 6 6 6 3
由余弦定理可知: cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,? b2 ? c 2 ? bc ? 1 ,又 b ? c ? 2 。 2bc 2

联立解得: ?

?b ? 1 ?b ? 1 。 或? ?c ? 1 ?c ? 1
(12 分)

1 3 。 ? S?ABC ? bc ? sin A ? 2 4

AB ? BC ? AB ? BC ? cos ? ? 6
11、解:(1)∵

S?

1 AB ? BC ? sin(? ? ? ) 2
3 ? tan ? ? 1 . 3
∴? ? [

∴S=3 tan ? 又

3 ? S ? 3?

? ?

, ]。 6 4

(2) f (? ) ? 2 2 sin(? ?

?

)在[ , ] 上递增,∴ f (? ) max ? f ( ) ? 0 . 4 6 4 4

? ?

?

12、解:⑴在 ?ABC 中, cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? 1 1 ? ? 2ab 2ab 2
………4 分

\ ∠ ACB ?

?
3

? 2? ? c ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? ⑵由正弦定理知 a ? ? ? ? 3 ? 3 ? sin 3

………6 分

\ f ?? ? ? a 2 ? 1 ? 2a ? cos ?

?? ? ?? ? ?3 ?

4 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ?

2? ? 2? ?? 2 ? 2? ? ? ?1 ? cos ? ? 2? ?? ? sin ? ? 2? ? ? 1 3? 3 ? 3 ? 3 ?? ? 5 2? ? 2? ? ? 2? ?? 5 4 ? 5? ? ? ? ? 3 sin ? ? 2? ? ? cos ? ? 2? ?? ? ? sin ? ? 2? ? ……10 分 3 3? ? ? 3 ? ? 3 ?? 3 3 ? 6
由于 ? ? ? 0,

? ?

2? 3

? ? ? ,故仅当 ? ? 3 时, f ?? ? 取得最大值 3. ?

………12 分



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