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(第4讲)求解函数解析式的几种常用方法(学生用)


4、求解函数解析式的几种常用方法 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法; 2 换元法或配凑法,已知复合函数 f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较简单时也 可用配凑法; 3 消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解 f(x); 另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 a 1 ( x ? ) (其中 a>0,a≠1,x>0),求 f(x)的表达式 例 1 (1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 x a ?1 2 (2)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求? f(x)?的表达式
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例 2 设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率 为 1 的射线,又在 y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试 写出函数 f(x)的表达式,并在图中作出其图象
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例 3 已知 f(2-cosx)=cos2x+cosx,求 f(x-1) 已知 f(x)+2f(

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1 )=3x,求 f(x)的解析式为_________ x

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例 4、设 f(x)是在(-∞,+∞)上以 4 为周期的函数,且 f(x)是偶函数,在区间[2,3]上时, f(x)=-2(x-3)2+4,求当 x∈[1,2]时 f(x)的解析式

巩固练习
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1 若函数 f(x)=
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A
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3

mx 3 (x≠ )在定义域内恒有 f[f(x)]=x,则 m 等于( 4 4x ? 3 3 3 B C - D -3 2 2
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)

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2 设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,在 x≤1 时,f(x)=(x+1)2-1,则 x>1 时 f(x)等于 A f(x)=(x+3)2-1 B f(x)=(x-3)2-1 C f(x)=(x-3)2+1 D f(x)=(x-1)2-1 4 已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)=_________ 5 设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2),且其图象在 y 轴上的截距为 1,在 x 轴上截得的
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线段长为 2 ,求 f(x)的解析式
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6 动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、 D 再回到 A,设 x 表示 P 点的行程,f(x)表示 PA 的长,g(x)表示△ABP 的 面积,求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图
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D

P

C

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P A B

7 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数, 周期 T=5, 函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, 又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取得最小 值,最小值为-5 (1)证明 f(1)+f(4)=0;(2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式
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高考题
2 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是 1.(安徽卷理 6 文 6)设

A、

B、

C、

D、

[来源:Zxxk.Com]

2.(广东卷文 2)函数, f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A.(2, ?? ) B.(1, ?? ) C.[1, ?? ) D.[2, ?? )

?log3 x, x ? 0 1 f ( x) ? ? x f ( f ( )) ? 9 ?2 , x ? 0 3.(湖北卷文 3)已知函 数 ,则
A.4 B.
1 4

C.-4

D-

1 4

y?
4.(湖北卷文 5)函数 A.(
3 4 3

1 log 0.5 (4 x ? 3)

的定义域为 D. (
3 4

,1 )

B( 4 ,∞)

C(1,+∞)

,1) ∪(1,+∞)

?3x ? 2, x ? 1, ? 2 5.(陕西卷理 5)已知函数 f(x)= ? x ? ax, x ? 1, 若 f(f(0) )=4a,则实数 a 等于【 】
A.
1 2

B.

4 5

C.2

D.9
x x g( f ( x) ? {g ( x)?x,?x4,g?x). x), g ( x )? ? (

2 6.(天津卷文 10)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,

则 f ( x) 的

值域是

[来源:学.科.网]

(A) ?

? 9 ? ? ? 4 , 0 ? ? (1, ??) ?

(B) [0, ??) (C)

[?

9 ? 9 ? , ??) ? ? , 0? ? (2, ??) 4 (D) ? 4 ?

7.(广东卷理 9)函数 f ( x ) =lg( x -2)的定义域是

.

, 1 , ?3x ?2 x ? ? 2 x ? ax, x ?1 若 f (0) =4a, , 8. (陕西卷文 13) 已知函数 f (x) ? = (f ) 则实数 a=
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