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四川省德阳五中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析



四川省德阳五中 2014-2015 学年高二上学期第二次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合 A={1,2},B={﹣2,1,2},则 A∪(?UB) 等于() A.? B.{1} C.{1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2.

(5 分)设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ) (x∈R)为偶函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)若 a∈{﹣2,0,1, },则方程 x +y +ax+2ay+2a +a﹣1=0 表示的圆的个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.3
2 2 2

4. (5 分) 如图所示, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是()

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

5. (5 分)已知函数 f(x)= 的取值范围是() A.(0,3)

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a

B.(0,3]

C.(0,2)

D.(0,2]

6. (5 分) 已知在 m、 n、 l1、 l2 表示直线, α、 β 表示平面, 若 m?α, n?α, l1?β, l2?β, l1∩l2=M, 则 α∥β 的一个充分条件是() A.m∥β 且 l1∥α B.m∥β 且 n∥β C.m∥β 且 n∥l2 D.m∥l1 且 n∥l2 7. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.32

C.

D. +

8. (5 分)已知 A,B,P 是双曲线

上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,

若直线 PA,PB 的斜率乘积 A. B.

,则该双曲线的离心率为() C. D.

9. (5 分)已知直线 L: 值范围是() A. B.

与曲线

仅有三个交点,则实数 m 的取

C.
2 2

D.

10. (5 分)在平面直角坐标系中,A={(x,y)|x +y ≤1},B={(x,y)|x≤4,y≥0,3x﹣4y≥0} 则 P={(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2, (x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}所表示的区域的面积为() A.6 B.6+π C.12+π D.18+π

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分) 2 11. (5 分)抛物线 y=4x 的焦点坐标是. 12. (5 分)设等差数列{an}的前 9 项和 S9=18,则 a1+a3+a11=. 13. (5 分)已知点 A(2,﹣3) ,B(﹣3,﹣2) ,直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交 点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围为. 14. (5 分)正四棱锥 S﹣ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表 面上运动,并且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为. 15. (5 分)下列命题中,正确的是. ①平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| + |=

②已知 =(sinθ, ⊥

) , =(1,

) ,其中 θ∈

,则

③O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: 则直线 AP 一定通过△ ABC 的内心 ④双曲线 ﹣

=

+λ(

+

) ,λ∈(0,+∞) ,

=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,则分别以线

段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为内切或外切; 2 2 ⑤命题“?x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定是“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”.

三、解答题(本大题共 75 分,其中 16、17、18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. (12 分)已知 a>0,命题 p:函数 y=a 为减函数.命题 q:当 x∈时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围.
x

17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos2A﹣3cos(B+C) =1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBs in C 的值. 18. (12 分)根据下列条件,分别求出 相应椭圆的标准方程: (1)焦点在 y 轴上,长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0) ; (2)已知一个焦点是 F(1,0) ,且短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三角形. 19. (12 分)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14, a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn(n=1,2,3…) ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求 Tn. 20. (13 分)如图所示,圆柱的高为 2,底面半径为 ,AE、DF 是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC. (1)求证:BC∥EF; (2)若四边形 ABCD 是正方形,求证 B C⊥BE; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A﹣BCE 的体积.

21. (14 分)设椭圆 C:

的右、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,过 A 与 AF2 + =0.

垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 x﹣ y﹣3=0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 的直线交椭圆于 M、N 两点,点 P(4,0) ,求△ PM N 面积的最大值.

四川省德阳五中 2014-2015 学年高二上学期第二次月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. (5 分)设全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合 A={1,2},B={﹣2,1,2},则 A∪(?UB) 等于() A.? B.{1} C.{1,2} D.{﹣1 ,0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 B 的补集,再根据两个集合的并集的意义求解即可. 解答: 解:∵全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合 A={1,2},B={﹣2,1,2}, ∴CUB={﹣1,0}, A∪(CU B)={﹣1,0,1,2}, 故选:D. 点评: 本题主要考查了交、并、补集的混合运算,是集合并集的基础题,也是 2015 届高 考常会考的题型. 2. (5 分)设 φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ) (x∈R)为偶函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接把 φ=0 代入看能否推出是偶函数,再反过来推导结论即可. 解答: 解:因为 φ=0 时,f(x)=cos(x+φ)=cosx 是偶函数,成立; 但 f(x)=cos(x+φ) (x∈R)为偶函数时,φ=kπ,k∈Z,推不出 φ=0. 故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ) (x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件. 故选:A. 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系. 3. (5 分)若 a∈{﹣2,0,1, },则方程 x +y +ax+2ay+2a +a﹣1=0 表示的圆的个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.3
2 2 2

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 方程即(x﹣ ) +(y+a) =1﹣a﹣ a ,把 a 的值逐一代入检验,可得结论. 解答: 解:方程 x +y +ax+2ay+2a +a﹣1=0 即方程(x﹣ ) +(y+a) =1﹣a﹣ a ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

可以表示以( ,﹣a)为圆心、半径为 当 a=﹣2 时,圆心(1,2) 、半径为 0,不表示圆. 当 a=0 时,圆心(0,0) 、半径为 1,表示一个圆.

的圆.

当 a=1 时,圆心( ,﹣1) 、1﹣a﹣ a <0,不表示圆. 当 a= 时,圆心( ,﹣ ) 、1﹣a﹣ a <0,不表示圆. 综上可得,所给的方程表示的圆的个数为 1, 故选:B. 点评: 本题主要考查圆的标准方程的特征,属于基础题. 4. (5 分) 如图所示, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90°, 点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是()
2

2

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先将 EF 平移到 AB1,再利用中位线进行平移,使两条异面直线移到同一点,得到 所成角,求之即可. 解答: 解:连接 AB1,易知 AB1∥EF,连接 B1C 交 BC1 于点 G,取 AC 的中点 H,连接 GH,则 GH∥AB1∥EF.设 AB=BC=AA1=a,连接 HB,在三角形 GHB 中,易 知 GH=HB=GB= 故选B a,故两直线所成的角即为∠HGB=60°.

点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角, 平移法是研究异面直线所成的角的最常用 的方法,属于基础题.

5. (5 分)已知函数 f(x)= 的取值范围是() A.(0,3)

是(﹣∞,+∞)上的减函数,那么 a

B.(0,3]

C.(0,2)

D.(0,2]

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由条件可得,a﹣3<0①,2a>0②, (a﹣3)×1+5≥2a③,求出它们的交集即可. 解答: 解:由于函数 f(x)= 则 x≤1 时,是减函数,则 a﹣3<0① x>1 时,是减函数,则 2a>0② 由单调递减的定义可得, (a﹣3)×1+5≥2a③ 是(﹣∞,+∞)上的减函数,

由①②③解得,0<a≤2. 故选 D. 点评: 本题考查分段函数的性质和运用,考查函数的单调性和运用,注意各段的单调性, 以及分界点的情况,属于中档题和易错题. 6. (5 分) 已知在 m、 n、 l1、 l2 表示直线, α、 β 表示平面, 若 m?α, n?α, l1?β, l2?β, l1∩l2=M, 则 α∥β 的一个充分条件是() A.m∥β 且 l1∥α B.m∥β 且 n∥β C.m∥β 且 n∥l2 D.m∥l1 且 n∥l2

考点: 平面与平面平行的判定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,要使 α∥β,只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可. 解答: 解:由题意得,m、n 是平面 α 内的两条直线,l1、l2 是平面 β 内的两条相交直线, 要使 α∥β,只要一个平面 内有两条相交直线和另一个平面平行即可, 故选 D. 点评: 本题考查两个平面平行的判定定理的应用,明确已知条件的含义是解题的关键. 7. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.32

C.

D. +

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由几何体的三视图知,分析可得该几何体的形状,进而分为两个棱锥,分别求出其 体积并相加就能求出该几何体的体积. 解答: 解:由几何体的三视图知,该几何体是如图所示的几何体, 其体积 V=VF﹣ABC+VA﹣CDEF, 三棱锥 F﹣ABC 中底面是等腰直角三角形, FC⊥面 ABCD,FC=4, ∴该几何体的体积 V= = ,

同理四棱锥 A﹣CDEF 的体积 VA﹣CDEF= ×( ×6×4)×4=16,几何体的体积为 故选 C.

点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式 求表面积与体积,本题求的是三棱锥的体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正; 主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是 2015 届高考的新增考点,不时出现在 2015 届高考试题中,应予以重视.

8. (5 分)已知 A,B,P 是双曲线

上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,

若直线 PA,PB 的斜率乘积 A. B.

,则该双曲线的离心率为() C. D.

考点: 双曲线的简单性质;直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的对称性可知 A,B 关于原点对称,设出 A,B 和 P 的 坐标,把 A,B 点坐标代入双曲线方程可求得直线 PA 和直线 PB 的斜率之积,进而求得 a 和 b 的关系,进 而根据 a,b 和 c 的关系求得 a 和 c 的关系即双曲线的离心率. 解答: 解:根据双曲线的对称性可知 A,B 关于原点对称, 设 A(x1,y1) ,B(﹣x1,﹣y1) ,P(x,y) , 则 , , .

故选 D 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质. 涉及了双曲线的对称性质, 考查了学生对双曲 线基础知识的全面掌握.

9. (5 分)已知直线 L: 值范围是() A. B.

与曲线

仅有三个交点,则实数 m 的取

C.

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 数形结合. 分析: 分析曲线 C 的方程 可得是椭圆的上半部分与双曲线的上半部分,
2 2

由图形可得找出两个临界值即直线平移到(0,1)与直线和椭圆相切(△ =16m ﹣8(4m ﹣4)=0)的时候,得到答案. 解答: 解:由题意得曲线 ∴ 即 4y =|4﹣x |(y≥0) 当 4﹣x ≥0 时得到 4y =4﹣x 即 当 4﹣x <0 时得到
2 2 2 2 2 2

由以上可得曲线 C 的图形为 ∵直线 L: ∴把直线 与双曲线 的渐近线平行

向上平移平移到(0,1)点时有两个交点,此时 m=1.继续向上平移则有 3

个交点. 当直线与椭圆的上半部分相切时此时有两个交点.
2 2

联立直线与椭圆的方程
2 2

代入整理得 2x +4mx+4m ﹣4=0

△ =16m ﹣8(4m ﹣4)=0 即 (舍去) 由图示可得 由以上可得 1<m< 故答案为 C. 点评: 解决此类问题的根据是灵活运用平面几何的相关知识与结论,结合图形解决问题, 即数形结合的是想是高中数学的一个重点也是 2015 届高考必考的知识点. 10. (5 分)在平面直角坐标系中,A={(x,y)|x +y ≤1},B={(x,y)|x≤4,y≥0,3x﹣4y≥0} 则 P={(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2, (x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}所表示的区域的面积为() A.6 B.6+π C.12+π D.18+π 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.
2 2

分析: 把 x=x1+x2,y=y1+y2,中的 x1,y1 代入 x +y ≤1,可得点集 Q 的轨迹方程,然后求 出点 Q 所表示的区域的面积. 解答: 解:由 x=x1+x2,y=y1+y2,得 x1=x﹣x2,y1=y﹣y2, ∵(x1,y1)∈A, 2 2 ∴把 x1=x﹣x2,y1=y﹣y2,代入 x +y ≤1, 2 2 ∴(x﹣x2) +(y﹣y2) ≤1 点集 Q 所表示的区域是以集合 B={(x,y)|x≤4, y≥0,3x﹣4y≥0},的区域的边界为圆心轨 迹半径为 1 的圆内部分, 如图,其面积为:5+6+4+3+π=18+π 故选:D.

2

2

点评: 本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题, 考查转化数学思想, 作图能力, 难度较大. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分) 11. (5 分)抛物线 y=4x 的焦点坐标是
2



考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先化简为标准方程,进而可得到 p 的值,即可确定答案. 解答: 解:由题意可知 ∴焦点坐标为 故答案为 点评: 本题主要考查抛物线的性质.属基础题. 12. (5 分)设等差数列{an}的前 9 项和 S9=18,则 a1+a3+a11=6. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. ∴p=

分析: 由 S9=18 和求和公式以及性质可得 a5=2,再由性质可得 a1+a3+a11=3a5,代值计算 可得. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 9 项和 S9=18, ∴S9=9? =9? =9a5=18,∴a5=2,

∴a1+a3+a11=a3+(a1+a11)=a3+(a5+a7) =a 5+(a3+a7)=a5+2a5=3a5=3×2=6 故答案为:6 点评: 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,转化为 a5 是解决问题的关键, 属中档题. 13. (5 分)已知点 A(2,﹣3) ,B(﹣3,﹣2) ,直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交 点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪∪∪ ①平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| + |= ②已知 =(sinθ, ⊥ ③O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: 则直线 AP 一定通过△ ABC 的内心 ④双曲线 ﹣ =1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,则分别以线 = +λ( + ) ,λ∈(0,+∞) , ) , =(1, ) ,其中 θ∈ ,则

段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为内切或外切; 2 2 ⑤命题“?x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定是“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①由模的计算公式| + |= 出; ②由 =sinθ+ =sinθ﹣sinθ=0,可得 ⊥ ; = +λ( + ) ,λ∈(0,+∞) , ,可得 与∠BAC 的 = ,即可得

③O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: 由正弦定理可得: 平分线共线; ,

④双曲线



=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,假设点 P 在

双曲线上的左支,F2 为双曲线的右焦点,线段 PF1 的中点为 O1,连接 OO1,可得 |OO1|= = =a+ ,此时⊙O 与⊙O1 外切;同理当点 P 在双

曲线的右支上,两圆内切时,即可判断出; ⑤利用命题的否定定义即可判断出. 解答: 解:①平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则 | + |= ②∵ = , =sinθ+ = = ,正确;

=sinθ﹣sinθ=0,∴ ⊥ ,正确; +λ( + ) ,λ∈(0,+∞) ,

③O 是△ ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: ∴ =λ( + ) ,

由正弦定理可得:

,∴

,∴

与∠BAC 的

平分线共线,则直线 AP 一定通过△ ABC 的内心,正确; ④双曲线 ﹣ =1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,假设点 P 在

双曲线上的左支,F2 为双曲线的右焦点,线段 PF1 的中点为 O1,连接 OO1,则 |OO1|= = =a+ ,此时⊙O 与⊙O1 外切;同理当点 P 在双

曲线的右支上,两圆内切时,因此分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为内切 或外切,正确; ⑤命题“?x∈R,x ﹣2x+4>0”的否定是“?x∈R,x ﹣2x+4≤0”,正确. 综上可得:①②③④⑤都正确. 故答案为:①②③④⑤.
2 2

点评: 本题考查了简易逻辑的判定、向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系、三 角形的内心的向量表示、双曲线的性质、两圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属 于难题. 三、解答题(本大题共 75 分,其中 16、17、18、19 题各 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. (12 分)已知 a>0,命题 p:函数 y=a 为减函数.命题 q:当 x∈时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围.
x

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 由 a>0,命题 p:函数 y=a 为减函数.可得 0<a<1.命题 q:当 x∈时,函数 f(x) =x+ > 恒成立,可得 ,利用基本不等式即可得出 .
x

由 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,可得 p,q 中必然一个真命题一个为假命题.解出即 可. 解答: 解:由 a>0,命题 p:函数 y=a 为减函数.∴0<a<1. 命题 q:当 x∈时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,∴ ∵x∈时,函数 f(x)=x+ ∴ ,又 a>0,∴ . =2,当且仅当 x=1 时取等号. ,
x

∵p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,∴p,q 中必然一个真命题一个为假命题. ①当 p 真 q 假时, ,解得 ,a 的取值范围是 .

②当 q 真 p 假时,

,解得 a≥1,a 的取值范围是

点评: 本题考查的知识点:椭圆的方程,椭圆中 a、b、c 的关系运算. 19. (12 分)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn=2﹣2Sn;数列{an}为等差数列,且 a5=14, a7=20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 cn=an?bn(n=1,2,3…) ,Tn 为数列{cn}的前 n 项和.求 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题.

分析: (1)由已知条件 bn=2﹣2Sn;当 n=1 时先求出

,再利用 bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn

﹣Sn﹣1)=﹣2bn 的通项公式求出通项. (2)求出

得到{bn}是以

为首项, 为公比的等比数列,利用等比数列

,是一个等差数列与一个等比数列的乘积,所以

利用错位相减的方法求出和. 解答: 解: (1)由 bn=2﹣2Sn,令 n=1,则 b1=2﹣2S1,又 S1=b1 所以 …(2 分)

当 n≥2 时,由 bn=2﹣2Sn,可得 bn﹣bn﹣1=﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=﹣2bn 即 …(4 分)

所以{bn}是以 于是

为首项, 为公比的等比数列, …(6 分) ,可得 an=3n﹣1…(7 分)

(2)数列{an}为等差数列,公差 从而 ∴ ,

∴ …(11 分)

.…(12 分) 点评: 求一个数列的前 n 项和, 应该先求出数列的通项, 根据通项的特点选择合适的求和 方法. 20. (13 分)如图所示,圆柱的高为 2,底面半径为 ,AE、DF 是圆柱的两条母线,过 AD 作圆柱的截面交下底面于 BC. (1)求证:BC∥EF; (2)若四边形 ABCD 是正方形,求证 BC⊥BE; (3)在(2)的条件下,求四棱锥 A﹣BCE 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置 关系. 专题: 计算题. 分析: (1)在圆柱中:由上底面∥下底面,知 BC∥AD,由 AE、DF 是圆柱的两条母线, 知 ADFE 是平行四边形,由此能够证明 BC∥EF. (2)由 AE 是圆柱的母线,知 AE⊥下底面,由 BC?下底面,知 AE⊥BC.由此入手能够 证明 BC⊥BE. (3) 因为母线 AE 垂直于底面, 所以 AE 是三棱锥 A﹣BCE 的高, EO 就是四棱锥 E﹣ABCD 的高.设正方形 ABCD 的边长为 x,则 AB=EF=x, 题设条件,能够求出四棱锥 A﹣BCE 的体积. 解答: (本题满分 14 分) (1)证明:在圆柱中:∵上底面∥下底面, 且上底面∩截面 ABCD=AD,下底面∩截面 ABCD=BC, ∴BC∥AD…. (2 分) 又∵AE、DF 是圆柱的两条母线, ∴ ,∴ADFE 是平行四边形, 所以 AD∥EF,又 BC∥AD ∴BC∥EF…. (5 分) (2)∵AE 是圆柱的母线, ∴AE⊥下底面,又 BC?下底面,∴AE⊥BC…. (7 分) 又∵截面 ABCD 是正方形,所以 BC⊥AB, 又 AB∩AE=A,∴BC⊥面 ABE, 又 BE?面 ABE, ∴BC⊥BE…(9 分) (3)因为母线 AE 垂直于底面, 所以 AE 是三棱锥 A﹣BCE 的高…(10 分) , EO 就是四棱锥 E﹣ABCD 的高…(10 分) 设正方形 ABCD 的边长为 x,则 AB=EF=x, ,由此利用

又∵BC∥EF,且 BC⊥BE,∴EF⊥BE, ∴BF 为直径,即 BF= 2 2 2 在 Rt△ BEF 中,BF =BE +EF 即 ,

∴SABCD=4×4=16,…(12 分) , ∴ ∴四棱锥 A﹣BCE 的体积= = . = .…(14 分)

点评: 本题考查直线平行和直线垂直的证明, 考查棱锥的体积的求法. 解题时要认真审题, 仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.

21. (14 分)设椭圆 C:

的右、右焦点分别为 F1、F2,上顶点为 A,过 A 与 AF2 + =0.

垂直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2 (1)求椭圆 C 的离心率;

(2)若过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 x﹣ y﹣3=0 相切,求椭圆 C 的 方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 的直线交椭圆于 M、N 两点,点 P(4,0) ,求△ PMN 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)欲求椭圆 C 的离心率,只需得到关于 a,c 的齐次式,由 2 +
2 2 2



=0,以及 b =a ﹣c ,就可得到 a,c 的齐次式,求出椭圆 C 的离心率. y

(2) 带着参数求出过 A、 Q、 F2 三点的圆的圆心坐标以及半径, 再根据圆恰好与直线 x﹣ ﹣3=0 相切,求出参数的值, 就可得到椭圆 C 的方程. 到|y1﹣y2|,而△ PMN 的面积可用= |PF2|?|y1﹣y2|表示,再利用均值不等式求出最大值. 解答: 解: (1)设 Q(x0,0) .∵F2(c,0) ,A(0,b) ,∴ ﹣b) ∵ 又∵2 + ,∴﹣cx0﹣b =0,故 x0=﹣
2

(3)设直线 MN 的方程,欲(2)中求出的椭圆方程联立,求出 y1+y2,y1y2 的值,就可得

=(﹣c,b) ,

=(x0,

, +c,即,b =3c =a ﹣c ,∴e= = c)
2 2 2 2

=0,∴F1 为 F2Q 的中点,故﹣2c=﹣

(2)∵e= = ,∴a=2c,b=

c,则 F2(c,0) ,Q(﹣3c,0) ,A(0,

∴△AQF2 的外接圆圆心(﹣c,0) ,半径 r= |F2Q|=a=2c



=2c,解得 c=1,∴a=2,b=

椭圆 C 的方程为

(3)设直线 MN:x=my+1,代入 设 M(x1,y1) ,n(x2,y2) ,∴y1+y2=﹣

,得, (3m +4)y +6my﹣9=0 ,y1y2=﹣ ,

2

2

|y1﹣y2|=

=

∴S△ PMN= |PF2|?|y1﹣y2|= 令 ∴S△ PMN= =λ≥ , = ≤



=

∴△PMN 面积的最大值为 ,此时,m=0 点评: 本题考查了椭圆离心率,方程的求法,以及直线与椭圆位置关系的判断,注意设而 不求思想的应用.



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