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第三章 直线与方程教师版



第三章 直线与方程
1.过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

【答案】D 【解析】 试题分析:设直线方程为 x-2y+c=0,又经过(1,0) ,∴1-0+

c=0 故 c=-1,∴所求方程 为 x-2y-1=0;故选 D. 考点:两条直线平行的判定;直线的一般式方程. . 2.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为( A、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 【答案】A 【解析】 试题分析:设点P(x,y)是直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线上的任一点,由于 到 点 P (x,y) 关 于 x 轴 的 对 称 点 的 坐 标 为 P ?( x,? y ) , 则 P ?( x,? y ) 一 定 在 直 线 B、 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D、 ? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 )

3x ? 4 y ? 5 ? 0 上,所以有 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ,这就是所求直线的方程,故选 A.
考点:直线关于直线对称. 3.[2014·厦门模拟]已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间 的距离是( ) A.1 【答案】B 【解析】∵ B.2 C.

1 2

D.4

6 m 14 = ≠ ,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平 3 4 ?3

行线之间的距离 d=

?3 ? 7 32 ? 42

=2.

4.与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关于 x 轴对称的直线的方程为( A. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 【答案】A 【解析】 B. 3x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0



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试题分析:解:直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 x 轴的交点为 ? - , 0 ? ,关于 x 轴对称的直线的

? 5 ? ? 3 ?

斜率为:

3 , 4

所 以 直 线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 关 于

x 轴对称的直线的方程为: y ? ?x ? ? ,即

3? 4?

5? 3?

3x ? 4 y ? 5 ? 0 .
考点:直线关于直线的对称直线 5.已知两条直线 A.1 或-3 C.1 或 3 【答案】A 【解析】因为直线 和 B.-1 或 3 D.-1 或-3 互相平行,则 等于( )

的斜率存在且为

,所以

,所以

的斜截式方程为 且 ,解得 或 ,选 A.

,因为两直线平行,所以

6.直线 l11 : (3 ? a) x ? 4 y ? 5 ? 3a 和直线 l 2 : 2x ? (5 ? a) y ? 8 平行,则 a ? ( 2

?

?



A. ?7或 ? 1 【答案】B 【解析】

B. ? 7

C.7 或 1

D. ?1

试题分析:解:由题意, ?

? ?? 3 ? a ?? 5 ? a ? ? 2 ? 4 ? 0 ? ?? 3 ? a ? ? 8 ? 2 ? ? 5 ? 3a ? ? 0

解得: a ? ?7 ,故选 B. 考点:两直线平行的条件. 7.点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的截 距是( ) A.-

3 2

B.

5 4

C.-

6 5

D.

5 6

【答案】D

? 3-1 k=-1 ? 3 5 ?1+2 【解析】由题意知 ? ,解得 k=- ,b= , 1? 2 4 ?2=k ? - ?+b ? ? ? 2? ?
∴直线方程为 y=-

3 5 5 x+ ,其在 x 轴上的截距为 . 2 4 6

8.已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+10,l2:x+ay+3=0 平行,则 a=( ) A.-1 B.2 C.0 或-2 D.-1 或 2 【答案】D 【解析】l1∥l2 的充要条件是(a-1)a=1×2,解得 a=-1,2
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9.已知点 P(3,2)与点 Q(1,4)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=0 【答案】A 【解析】由题意知直线 l 与直线 PQ 垂直,所以 kl=-

)

1 1 =1, =- 4-2 kPQ 1-3

又因为直线 l 经过 PQ 的中点(2,3), 所以直线 l 的方程为 y-3=x-2,即 x-y+1=0. 10.已知直线 l:y+m(x+1)=0 与直线 my-(2m+1)x=1 平行,则直线 l 在 x 轴上的 截距是( ) A.1 B.-1 C.

2 2

D.-2

【答案】B 【解析】因为直线 l:y+m(x+1)=0 与直线 my-(2m+1)x=1 平行,所以 1×(-2m- 2 1)-m =0,解得 m=-1.故直线 l:y=x+1 在 x 轴上的截距是-1,选 B. 11.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,则实数 a 的值为( )

A.

2 3

B. ?1

C. ?2

D. ?

3 2

【答案】D 【解析】

(? ) ? ?1 ,解得 a ? ? 试题分析:由题意,得 ? a ?
考点:直线的一般式方程与两条直线垂直的关系.

2 3

3 ,故选 D. 2

12.平行直线 5 x ? 12 y ? 3 ? 0 与 10x ? 24y ? 5 ? 0 的距离是(



A.

2 13

B.

1 13

C.

1 26

D.

5 26

【答案】C 【解析】 试题分析:将直线 10x ? 24y ? 5 ? 0 变形为 5 x ? 12 y ?

5 ? 0 。所以两平行线间的距离 2

3?
为d ?

5 2

52 ? 122

?

1 。故 C 正确。 26

考点:两平行线间的距离 13. 若不论 m 取何实数, 直线 l : mx ? y ? 1 ? 2m ? 0 恒过一定点, 则该定点的坐标为 ( A. (?2,1) 【答案】A
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B. (2, ?1)

C. (?2, ?1)

D. (2,1)

【解析】 试题分析:方法一:任取两个 m 的值代入得两条直线,求它们的交点即可; 方 法 二 : l : mx? y? 1 ? 2 m ? 0变 形 为 ( x ? 1)m ? y ? 2 ? 0 的值与 m 无关,所以

x ? 1 ? 0;y ? 2? 0 ,解得 x ? ?1, y ? 2 ,定点坐标是 (?1, 2) .
考点:本题考查直线的方程形式的理解

14. 已知过 A(-1, a), B(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行, 则 a 的值为________. 【答案】2 【解析】依题意得 kAB=

8?a =2,解得 a=2. a ?1


15.若直线 l 经过点 A(2,1) ,且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为 【答案】 x ? 3 y ? 1 ? 0 . 【解析】

试题分析:当斜率存在时,两条直线垂直,斜率之积为-1,所以直线 l 的斜率是 ,再 利用点斜式即可. 考点: (1)两条直线垂直的条件; (2)直线方程. 16.已知两直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离等于 【答案】

1 3

4 13 13

【解析】 试题分析:根据题意,由于两直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 互相平行,则可知 3m-12=0,m=4,那么可知方程变形为 6x+4y-6=0 与 6x+my+1=0 之间的距离为 d=

|7| 6 +4
2 2

=

4 13 4 13 ,故答案为 13 13

考点:直线平行 点评:主要是考查了两直线的平行的运用,属于基础题。 17.已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 的 值是 _______. 【答案】k=3 或 k=5 【解析】两直线平行,对应系数成比例(系数不为零) ,注意验证系数是否为 0.得 k=3 或 k=5。 18. 一条光线从点 P(6,4)射出,经 y 轴反射后经过点 Q(3,10) ,求入射光线和反射 光线所在直线方程。 (12 分) 【答案】

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【解析】略 19. (本大题9分) 求满足下列条件的直线方程: (1)经过点 P(2,-1)且与直线 2x+3y+12=0 平行; (2)经过点 Q(-1,3)且与直线 x+2y-1=0 垂直; (3)经过点 M(1,2)且与点 A(2,3)、B(4,-5)距离相等; (4)经过点 N(-1, 3)且在 x 轴的截距与它在 y 轴上的截距的和为零. 【答案】(1)2x+3y-1=0 (2)2x-y+5=0 (3)4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0(4) 3x ? y ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 . 【解析】略 20. (本小题满分 12 分) 直线 L1: 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与直线 L2: 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点为 M (1) 求经过点 M 和原点的直线方程; (2)求经过点 M 与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 垂直的直线方程。

【答案】

1 则直线方程为 y-2 = 2 (x+1)



x-2y+5=0

【解析】略 21.(12 分)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M 是 BC 边
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的中点. (I)求 AB 边所在的直线方程; (II)求中线 AM 的长. 【答案】 (1) 6x-y+11=0 (2)

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5

【解析】.解:(Ⅰ)由两点式写方程得

y ?5 x ?1 ? ?1? 5 ? 2 ?1
即 6x-y+11=0 ……………………6 分 (Ⅰ)解 2:直线 AB 的斜率为

k?

?1? 5 ? 6 ? ?6 ? 2 ? (?1) ? 1

∴直线 AB 的方程为 y ? 5 ? 6( x ? 1) 即 6x-y+11=0 (Ⅱ)设 M 的坐标为( ……………………6 分

x0 , y 0 ) ,则由中点坐标

公式得

x0 ?

?2?4 ?1 ? 3 ? 1, y0 ? ?1 2 2

∴M (1,1)

AM ? (1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5

………12 分

22. (本小题满分 12 分)已知直线 l 经过直线 2 x ? y ? 5 ? 0 与 x ? 2 y ? 0 的交点. (1)若点 A(5,0) 到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0) 到 l 的距离的最大值,并求此时 l 的方程. 【答案】 (1)直线 l 的方程为 x ? 2或4 x ? 3 y ? 5 ? 0. (2) , 3x ? y ? 5 ? 0 .

【解析】解: ( 1 )解:联立 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0, 得交点 P ( 2 , 1 ) . 设 l 的方程为 ? x ? 2 y ? 0,

y ? 1 ? k ( x ? 2)
(k 存在) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0.

?

5k ? 2k ? 1 k ?1
2

? 3 ,得 (3k ? 1)2 ? 9(k 2 ? 1) ,

4 .? l 的方程:4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 3 当 k 不存在时,直线 l : x ? 2 ,此时点 A(5,0)到 l 的距离也为 3.
即k ?

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? 直线 l 的方程为 x ? 2或4 x ? 3 y ? 5 ? 0. …………(6 分)
(2)由 ?

?2 x ? y ? 5 ? 0, 解得交点 P(2,1) ,如图,过 P 任作一直线 l,设 d 为定点 A ? x ? 2 y ? 0,

到 l 的距离,则 d ? PA (当 l ? PA 时等号成立). ? d max ? PA ? 10.

K PA ? ?

1 3

又K l ? K PA ? ?1

? Kl ? 3
即: 3x ? y ? 5 ? 0 .………(12 分)

?直线l方程y ?1 ? 3( x ? 2)

23. (本小题满分 12 分) 过点 P (1, ?1) 有一条直线 l, 它夹在两条直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 与

l2 : x ? y ? 3 ? 0 之间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程.
【答案】 y ?

7 9 x? 2 2

【解析】设 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,设直线 l 分别与 l1 , l2 交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) k ?1 得 x1 ? , k ?2 ? y ? 2x ? 2

由?

? y ? 1 ? k ( x ? 1) k ?2 得 x2 ? ……(5 分) k ?1 ? y ? ?x ? 3

k ?1 k ? 2 7 ? ? 2 ,解得 k ? …………………………(10 分) k ? 2 k ?1 2 7 9 直线 l 的方程为 y ? x ? ………………………………………(12 分) 2 2
依题意: x1 ? x2 ? 2 得 24. (本题 8 分)已知直线 l1:2x-y+2=0 与 l2:x+2y-4=0,点 P(1, m). (Ⅰ)若点 P 到直线 l1, l2 的距离相等,求实数 m 的值; (Ⅱ)当 m=1 时,已知直线 l 经过点 P 且分别与 l1, l2 相交于 A, B 两点,若 P 恰好 平分线段 AB,求 A, B 两点的坐标及直线 l 的方程. 7 【答案】 (Ⅰ)m=-1 或 m= ; (Ⅱ)x+7y-8=0。 3 【 解 析 】 (I) 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 建 立 关 于 m 的 方 程 , 求 出 m 的 值 . ( II ) 设 A(a, 2a+2), B(4-2b, b),因为 P(1,1)为 AB 的中点,根据中点坐标公 式可得关于 a,b 的方程, 解出 a,b 的值.所以可得 A、 B 的坐标, 进而得到直线 l 的方程. | 4 ? m | | 2m ? 3 | (Ⅰ)由题意得 ,…………………………………1 分 ? 5 5 7 解得 m=-1 或 m= ;………………………………………………2 分 3 (Ⅱ)设 A(a, 2a+2), B(4-2b, b),则

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2 4 ?a ? (4 ? 2b) ? 2, 解得 a ? ? , b ? ,………………………………2 分 ? 5 5 ?(2a ? 2) ? b ? 2.

6 1? 2 6 12 4 5 ? ? 1 ,……………………2 分 ∴ A(? , ), B( , ) ,∴ k ? l 5 5 5 5 2 7 1 ? (? ) 5
1 ∴l: y ? 1 ? ? ( x ? 1) ,即 x+7y-8=0………………………………1 分 7

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