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用样本估计总体



用样本估计总体

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复习回顾
前面我们研究了通过抽样来收集数据的方法, 了解了提高样本代表性的一些具体方法,数据 被收集后,必须从中寻找所包含的讯息,以便我 们能通过样本来估计总体。 样本的特征直接反映了总体的特征,我们通常

用样本的频率和数字特征来评估总体的特征。

第九章 第2讲

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课前自主导学
1. 统计图表的含义 (1)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).

②决定组距和组数.
③将数据分组. ④列频率分布表. ⑤画频率分布直方图. (2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上

端的________,就得到频率分布折线图.

(3) 总体密度曲线:随着 ________ 的增加,作图时所分的 ________增加,________减小,相应的频率折线图会越来越接 近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

(4)频率直方图的纵轴表示________,小长方形的面积表示
________,各小长方形的面积之和等于________.

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频率分布直方图的特征:

(1)从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布 的总体趋势;
(2)从频率分布直方图得不出原始的数据内容, 把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就 被抹掉了。

第九章 第2讲

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如右图,我们 连接频率分布直方 图中各小长方形上 端的中点,就得到 频率分布折线图. 一般的,随着样本容量的增加,作图时组数 也相应的变大,相应的频率分布折线图会越来越 接近一条光滑曲线——总体密度曲线.
第九章 第2讲
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总体密度曲线反映 了总体在各个范围内取 值的百分比,它比频率分 布直方图提供更加精细 的信息。
例如:图中阴影部分的面积就表示总体在[a ,b]内的百分比。

注意点:由于样本是随机的,不同的样本得到的频率分
布折线图不同;即使对于同一样本,不同的分组情况得 到的频率分布折线图也不同,频率分布折线图是随着样 本的容量和分组情况的变化而变化的,因此不能由样本 的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线。
第九章 第2讲
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频率分布直方图和频率分布折线图 虽然能够很好的反映总体的分布情况,但 为了更好的把握总体,我们还需要通过样 本的数据对总体的数字特征进行研究。

第九章 第2讲

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1.用样本的数字特征估计总体的数字特征,是指 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计 数据,估计总体相应的统计数据. 2.平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组数 据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均数波 动的幅度.在实际应用中,我们常综合样本的多个 统计数据,对总体进行估计,为解决问题作出决 策.
第九章 第2讲
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[变式探究]

[2013·徐州模拟]学校为了调查学生在课外读

物方面的支出情况,抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样
本,其频率分布直方图如下图所示,其中支出在 [50,60)元的同 学有30人,则n的值为________.

答案:100

解析:支出在[50,60)的频率为1-0.36-0.24-0.1=0.3, 30 因此 n =0.3,故n=100.

例3

[2012· 安徽高考]甲、乙两人在一次射击比赛中各射

靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(

)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

[解析]

4+5+6+7+8 由图可得, x 甲= =6, x 5





3×5+6+9 =6,故A错;而甲的成绩的中位数为6,乙的成绩 5 的中位数为5,故B错;
2 2 2 2 2 ? 4 - 6 ? + ? 5 - 6 ? + ? 6 - 6 ? + ? 7 - 6 ? + ? 8 - 6 ? 2 s2 = 2 , s 甲= 乙 5

3×?5-6?2+?6-6?2+?9-6?2 = =2.4,故C正确;甲的成绩的 5 极差为4,乙的成绩的极差也为4,故D错. [答案] C

1.平均数和方差都是重要的数字特征,是对总体一种简 明的阐述.平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势,方 差和标准差描述波动大小. 2. 平均数、方差公式的推广 若数据x1,x2,…,xn的平均数为 x ,方差为s2,则数据 mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为m m2s2. x +a,方差为

[ 变式探究 ]

[2013· 西安质检 ] 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为

1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:

学生
甲班 乙班

1号
6 6

2号
7 7

3号
7 6

4号
8 7

5号
7 9
)

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2,则 s2=( A. C. 2 5 3 5 B. 7 25

D. 2

答案:A

1 解析: x 甲=7,s 甲 = [(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2 5
2

2 1 2 +(7-7) ]= , x 乙=7,s 乙 = [(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7 5 5
2

6 -7) +(9-7) ]=5,
2 2

2 两组数据的方差中较小的一个为s甲,即s =5.
2 2

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【选题·热考秀】
[2012·广东高考 ] 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : [50,60) , [60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求图中a的值; (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平

均分;

(3) 若这 100名学生语文成绩某些分数段的人数 (x)与数学成

绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)
之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

x∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

[规范解答] 0.005.

(1)由频率分布直方图中各个矩形的面积之和

等于1可得:20a+0.04×10+0.03×10+0.02×10=1,所以a=

(2) 这 100名学生的平均分为: 55×0.05 + 65×0.4 + 75×0.3
+85×0.2+95×0.05=73. (3)由图可知语文成绩在这些段的人数分别为:100×0.05= 5,100×0.4 = 40,100×0.3 = 30,100×0.2 = 20,100×0.05 = 5 ;所 以数学成绩在这四段对应的人数分别为: 5,20,40,25. 所以数学

成绩在[50,90)之外的人数为10人.

经典演练提能
1. [2012·湖北高考]容量为20的样本数据,分组后的频数如 下表: 分组 频数 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 2 3 4 5 ) 4 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( A. 0.35 C. 0.55 B. 0.45 D. 0.65

答案:B

解析:由表可知:样本数据落在区间[10,40)的频数为2+ 9 3+4=9,又样本容量为20,则频率为20=0.45.故选B.

2. [2012· 江西高考]样本(x1,x2,…,xn)的平均数为 x ,样 本(y1,y2,…,ym)的平均数为 y ( x ≠ y ).若样本(x1, x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y ,其中 1 0<α< ,则n,m的大小关系为( 2 A. n<m C. n=m )

B. n>m D. 不能确定

答案:A

n x +m y n m 解析:依题意有 z = = x+ y ,则有a n+m n+m n+m n 1 n 1 = ,又0<a<2,则有0< < ,得n<m,故选A. m+n m+n 2

3. 某校为了了解学生的课外阅读情况,随机抽查了50名学 生,得到他们某一天各自课外阅读的时间数据如图所示,根据 条 形 图 可得 到 这 50 名 学 生 该天 每 人 的平 均 课 外阅 读 时 间为

________h.

答案:0.9 解 析 : 平 均 课 外 阅 读 时 间 为 (0×5 + 0.5×20 + 1×10 +

1.5×10+2×5)÷50=0.9 h.

4. [2012·广东高考]由正整数组成一组数据x1,x2,x3,x4, 其平 均 数 和 中 位 数 都是 2 ,且标准差等于 1 , 则这组数据为 ________.(从小到大排列)

答案:1,1,3,3
解析:设四个数从小到大分别是:x1,x2,x3,x4,根据已 知可以得到方程组:

?x2+x3 ? 2 =2, ? ?x1+x2+x3+x4 =2, ? 4 ?2 ?s =1, ?x2+x3=4, ? ?x1+x2+x3+x4=8, ?x2+x2+x2+x2=20, ? 1 2 3 4



又因为四个数都是正整数,根据

第一个式子知x2=1,x3=3或x2=2,x3=2,则x1=1,x4=3或 x1=2,x4=2,代入第三个式子,只有x1=1,x2=1,x3=3, x4=3满足条件,所以四个数分别是1,1,3,3.

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例1、一个社会调查机构就某地居民的月收入调 查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学 历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分 层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500, 3000](元)月收入段应抽出_______ 25 人.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001

月收入(元)

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

第九章 第2讲

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练习1、如图是150辆汽车通过某路段 时速度的频率分布直方图,则速度在[60, 60 辆. 70)的汽车大约有______

第九章 第2讲

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