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2011-2012年高一数学(必修四)期末考试题及答案


高一数学(必修四)期末测试
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 60 分,第Ⅱ卷 90 分,共 150 分,答题时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的, 地请把正确地选项填在题后的括号内. 1.函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
2

5 ? ) 的一条对称轴方程是 2
B. x ? ?





?

4

C. x ?

?
8

D. x ?

5? 4
( )

2.角θ 满足条件 sin2θ <0,且 cosθ -sinθ <0,则θ 在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3.己知 sinθ +cosθ = A.

D.第四象限 ( D.- )

3 4

1 ,θ ∈(0,π ),则 cotθ 等于 5 3 3 B.- C. ± 4 4

4 3

4.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,若 OA + OB + OC = 0 ,且| OA |=| OB |=| OC |,则△ABC 是 ( A.任意三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.己知非零向量 a 与 b 不共线,则 (a+b)⊥(a-b)是|a|=|b|的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.化简 ) )

sin 2002? sin 2008? ? cos6 ? 的结果是 sin 2002? cos 2008? ? sin 6 ?
?





A. tan 28

B. ? tan 28

?

C. ? cot 28

?

D. cot 28

?

7.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0



8.把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把 图 象向左平移

? 个单位,这时对应于这个图象的解析式 4
B.y=-sin2x





A.y=cos2x C.y=sin(2x-

? ) 4
?
2

D.y=sin(2x+

? ) 4
( )

9. y ? sin x ? 3 cos x (0 ? x ?

) ,则 y 的最小值为

A.– 2

B.– 1

C.1

D. 3 ( D. [ , ] )

10.在下列区间中,是函数 y ? sin(x ? A. [ , ? ]

?
4

) 的一个递增区间的是
C. [?? ,0]

?

4 2 11.把函数 y=x +4x+5 的图象按向量 a 经一次平移后得到 y=x 的图象,则 a 等于
2 2

2

B. [0, ]

?

? ?

4





A.(2,-1)

B.(-2,1)

C.(-2,-1)

D.(2,1) ( )

12.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? B. ? ? C. ? ?

? ? ?
2 3 4

,? ? ,? ? ,? ?

? ? ?
4

6

4 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填写在题中的横线上,或按题目要求作答. 13.已知 tan(

?
4

? ? ) ? tan(

?
4

? ? ) ? 4, 且 ? ? ? ? ? ?

?
2

, 则 sin ? =
.

.

14.函数 y ? lg sin x ? cos x ?

1 的定义域为 2

x 15.已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 . 则

f (log1 18) 的值为
2

.

16.在△ABC 中,A(-1,1) ,B(3,1) ,C(2,5) ,角 A 的内角平分线交对边于 D,则向量

AD 的坐标等于

.

三、解答题:共 70 分.要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算的要明确写出 数值和单位,只有最终结果的不得分. 17. (本题满分 10 分)已知 a ? (1,0),b ? (2,1). (I)求 | a ? 3b | ; (II)当 k 为何实数时,k a ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

?

?

?

18. (本题满分 12 分)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

3 sin 2
(Ⅱ)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 . cos 2 x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断它的奇偶性.

20. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a =(2cosx,1),b =(cosx, 3 sin2x),

x∈R.
(Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

? ? , ],求 x; 3 3

(Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m,n)(|m|< 求实数 m、n 的值.

? )平移后得到函数 y=f(x)的图象, 2

21. (本题满分 12 分) 如图, 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 ? 方向上, 从城 A 出发有一条公路, 走向是南偏东 40 ? ,在 C 处测得距离 C 处 31 千米的公路上的 B 处有一辆正沿着公路向城 A 驶去,行驶了 20 千米后到达 D 处,测得 C、D 二处间距离为 21 千米,这时此车距城 A 多少千米?

22.本题满分 12 分) ( 某港口水深 y 米) ( 是时间 t ( 0 ? t ? 24 , 单位: 小时)的函数, 记作 y ? f (t ) , 下面是某日水深的数据

t (小
时)

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

y (米)

经长期观察: y ? f (t ) 的曲线可近似看成函数 y ? A sin? t ? b 的图象(A > 0, ? ? 0 ) (I)求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (II) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的. 某 船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希望在同一天内安全进出港, 请问:它至多能在港内停留多长时间?

参考答案
一、选择题 1.A 2.B 二、填空题 13. ? 1
2

3.B 4.D 5.C 6.C 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 14. {x | 2k? ? x ? 2k? ?

?
3

k ? Z}

15. ? 9
8

16. (

32 16 , ) 9 9

三、解答题 17.解:(I) a ? 3b = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴ | a ? 3b | =

?

?

?

?

7 2 ? 32 = 58 .
?

(II)k a ? b = k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). 设 k a ? b =λ ( a ? 3b ),即(k-2,-1)= λ (7,3),

?

?

?

?

?

? 1 ?k ? ? 3 ?k ? 2 ? 7 ? 1 ?? ∴? . 故 k= ? 时, 它们反向平行. 3 ? ? 1 ? 3? ?? ? ? 1 ? 3
18.解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ?

1 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 24 49 . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 即 2 sin x cos x ? ? 25 25 ? 7 又? ? ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (Ⅱ) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x
? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? . 25 5 125
① ②

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二: (Ⅰ)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos2 x ? 1. ?
由①得 sin x ?

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5 3 ? ?sin x ? ? 5 , 7 3 4 ? ? 故 sin x ? cos x ? ? . ? cos x ? ? 或 cos x ? . ? ? ? x ? 0,? ? 5 5 5 2 ?cos x ? 4 . ? 5 ?

3 sin 2
(Ⅱ)

x x x x ? sin cos ? cos2 2 2 2 2 tan x ? cot x

?

2 sin 2

x ? sin x ? 1 2 sin x cos x ? cos x sin x

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? . 5 5 5 5 125
19.解: (I)由 cos2x≠0 得 2 x ? k? ?

?
2

,解得 x≠

{x x ? R 且 x≠

k? ? ? ,k ? Z } 2 4

k? ? ? , k ? Z ,所以 f(x)的定义域为 2 4

(II)∵f(x)的定义域关于原点对称且 f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (III)当 x≠

k? ? ? , k ? Z 时, 2 4

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) ? ? 3 cos2 x ? 1 , 因为 f ( x) ? cos 2 x cos 2 x
所以 f(x)的值域为 {y ? 1 ≤ y ?
2

1 1 或者 ? y ≤2}. 2 2

20.解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

? ). 6

由 1+2sin(2x+

? ? 3 )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=. 6 6 2

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
∵(Ⅱ)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即 函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+

? )+1. 12

∵|m|<

? ? ,∴m=,n=1. 2 12

21.解:在 ?BCD 中, CD ? 21 , BD ? 20 , BC ? 31 ,由余弦定理得

212 ? 202 ? 312 1 cos?BDC ? ?? , 2 ? 21? 20 7
所以 sin ?BDC ? 1 ? cos ?BDC ?
2

4 7 . 7

在 ?ACD 中,CD=21,

?CAD ? 20? ? 40? ? 60?, ?ACD ? sin(?BDC ? 60?) sin
= sin ?BDC ? cos60? ? ?BDC ? sin 60? ?

5 3 . 14
5 3 14 ? 15 (千米) . 3 2

由正弦定理得 AD ?

CD ? sin ?ACD ? sin ?CAD

21?

所以此车距城 A 有 15 千米. 22.解: (I)由已知数据,易知 y ? f (t ) 的周期为 T = 12, ∴ ??

2? ? ? . T 6

由已知,振幅 ?

? A ? b ? 13, ? A ? 3, 得? ? A ? b ? 7, ?b ? 10.

∴ y ? 3 sin t ? 10 . 6 (II)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5 + 6.5 = 11.5(米), ∴ 3sin

?

?
6

t ? 10 ? 11.5, 即 sin
?

?t

1 ? . 6 2

5 ∴ 12k ? 1 ? t ? 12k ? 5 (k ? z ) . t ? 2k? ? ? . 6 6 6 故该船可在当日凌晨 1 时进港,17 时出港,它在港内至多停留 16 小时.
∴ 2k? ?

?

?


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