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数学思想方法



专题复习:数学思想方法(一)
聊城经济开发区广平中学 李伟

近几年的中考试题,不但注重数学核心内容与基本
能力的考察,而且还突出了对数学思想方法的理解和简 单运用的考察.因此在数学学习过程中,经常反思总结 一些数学思想方法,掌握它们的实质至关重要。

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例1:在直角坐标系中,O为坐标原点,已知 A(1,1) ,在x轴上确定点P,使得△AOP为等腰三角形,则符合 条件的P点共有 4 个 y A (1,1)
P1(2,0)

1
P2(2 ,0)

-1

o
-1

P4( 1, 0 )

1 P3(

2

,0) x

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反思总结

当被研究的问题存在一些不确定的因素时,往往 要分情况讨论 . 实质上,分类讨论就是 “化整为零,各个击破,再 汇总 ”的一种思想方法 .

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例2.已知点A(-2,y ) 1),B(-1,y 2 A(x1,y1),B(x ,y ) 且 x1 < 0< x2 2 2 4 k 都在反比例函数 y y?? x (k<0) 的图象上,
x

则y1与y2的大小关系(从大到小)



y1 >y2

y o x2
y1

.
A

x1

y2

x
B

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反思总结

将数(量)与(图)形有机的结合起来进行分析、 研究可使抽象问题直观化,复杂问题简单化 .

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例 3.如图,A 是半径为 2 的⊙O 外的一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点 B 是切点,弦 BC∥OA,连接 AC,则图 中阴影部分的面积等于( ) 2 A. π 3 C. π 8 B. π 3 2 D. π+ 3 3

60π·2 【解析】连接 OB 、OC,则 S 阴影=S 扇形 BOC= = 360 2 π.(注:等高同底的三角形的面积相等) 3 【答案】A
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2

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反思总结

不规则图形的面积计算问题, 一般转化为规则图形 面积的和与差,或转化为与其等面积且便于计算的图 形.
常见的转化方法有:

①应用全等变换,对图形进行分割、重组;
②利用等(同)底等(同)高三角形的面积进行转换.

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课堂反馈训练

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1. (2013· 中考 )已知等腰三角形一边长为 4, 另一边 长为 8,则这个等腰三角形的周长为 ( A. 16 C. 20 B. 20 或 16 D. 12 C )

解析: ①当 4 为腰长时, 4+ 4= 8,故此种情况不 存在; ②当 8 为腰长时, 8+ 8> 4,符合题意.故此三 角形的周长为 8+ 8+ 4= 20.故选 C.

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2、 (2013· 中考 )二次函数 y= ax + bx+ c(a≠ 0)的 图象如图所示,下列结论正确的是( D ) A. a<0 B.b2- 4ac<0 b D.- =1 2a C.当-1<x<3 时, y>0
y

2

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X
A
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3.(2009.聊城中考)(本题满分3分)如图, 已知矩形ABCD中,AB=8,BC= 5? .分别 以B、D为圆心,AB为半径画弧,两弧分别交 对角线BD 于点E、F,则图中阴影部分的面积 为( A ) A. 5? C. 8? D. 10? 4? B.
A
【解析】S 阴影=S⊿ABD-S 扇形 ABH (注:等高同底的三角形的面积相等)

G

D

E B
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F
C

H

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达标测评

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1、半径为3cm、5cm的两圆相切,则它们的圆心
距为 8cm或2cm ;
X-a>0

2、(2008聊城)已知关于的不等式组

1-X >0

<-2 的整数解共有3个,则a的取值范围是 -3≤x .
【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时,要借助数 轴求解,以防出现错解或漏解.

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3. (2013· 中考 )如图,函数 y1 k1 = 与 y2 = k2x 的图象相交于点 x A(1,2)和点 B,当 y1<y2 时,自变 量 x 的取值范围是( A. x>1 B.- 1<x<0 C.-1<x<0 或 x>1 D. x<- 1 或 0<x<1
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C

)

c

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4、如图,已知⊙O的弦 AB所对的圆 o 心角等于140 ,则弦AB所对的圆周角 o o 70 或 110 的度数为__________.
C

解:(1)当圆周角在优弧 上时,圆周角为140 °的 一半70°; (2)当圆周角在劣弧 上时,则与70°互补, 为110°。
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C’

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5、如图:AB是半圆的直径,AB=2, C、D是 半圆的三等分点,则阴影部分的面积 。

【解析】连接 OC 、OD 、CD,则 S 阴影=S 扇形 COD (注:等高同底的三角形的面积相等)

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7、已知如图(1),圆锥的母线长为4,底面圆半 径为1,若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行 一圈到SA的中点C,求小虫爬行的最短距离.

(1) (2) 解:侧面展开图如图(2) n? ? 4 2π ×1= 180 o ,n=90° SA=4,SC=2 ∴AC=2 5 .即小虫爬行的最短距离为2 . 5
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