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河北省唐山市2012届高三下学期第一次模拟数学理试题



唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学
说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题,24 道小题,共 150 分.其中 (1)? (21)小题为必做题, (22)?(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡_并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. (1) 复数 (A) 1+2i (2) 在 (A) 36 = (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i

的展开式中,常数项为 (B) -36 (C) 84 (D) -84

(3) 已知命题
(A) (C) (4) 函数 (A)向左平移 (B) (D) 的图象可以由函数





的图象

个单位得到(B)向右平移- 个单位得到

(C)向左平移. 个单位得到(D)向右平移 个单位得到 (5) 已知 (A) 3 (B) 4 ,则 (C) 3.5 = (D) 4.5
,则 =

(6) 等比数列{an}的公比 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63

(7) 己知某几何体的三视图如图所示,则其表面积为

(A)

(B)

(C) 2(D) 8

(8) 算法如图,若输入 m=210,n = 119,则输出的 n 为
(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11 (9) 在 中, ,则 =

(A) 10 (B) -10 (C),4 (D) 4

(10) 点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为
(A) (B) (C) (D)

是正三角形,AD 平面

(11) 抛物线 恰为

的焦点为 F,点 A、B、C 在此抛物线上,点 A 坐标为(1, 2).若点 F 的重心,则直线 BC 的方程为

(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0 (C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0 (12) 定义在 R 上的奇函数 ,则集合
(A) (B)

满足 等于

,当

时,

.又

(C)

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 设变量x 、y 满足约束条件 则 的最大值为_______.

(14) 函数 (15) 在数列 (16) 中,

的值域是______. ,则数列的通项 =______.

的一个顶点P(7,12) 在双曲线 点,则 的内心坐标为______.

上,另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦

三、解答题:本大-共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟. (17) (本小题满分 12 分)

在,
(I )若

中,角 A 、 B、C 的对边分别为 a 、 b、c, A=2B.
,求 的值;

( I I ) 若 C 为钝角,求 的取值范围.

(18) (本小题满分 12 分) 某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行 了民意调査,右表是在某单位得到的数据(人数):
(I ) 能否有 90% 以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (II) 进一步调查:

(I )从赞同“男女同龄退休” 16 人中选出 3 人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少 有 1 人发言”的概率;
( II ) 从反对“男女同龄退休”的 9 人中选出 3 人进行座谈,设参加调査的女士人数为 X, 求 X 的分布列和均值.

附:

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1BlC1 中,CC1 丄底面 ABC,底面是边长为 2 的正三角形,

M, N 分别是棱 CC 、AB 的中点.
1

(I)求证:CN//平面 AMB1; (II)若二面角 A-MB1-C 为 45°,求 CC1 的长.

(20)(本小题满分 12 分) 中心在原点 O,焦点 F1、F2 在 x 轴上的椭圆 E 经过点 C(2, 2),且 (I )求椭圆 E 的方程; (II)垂直于 OC 的直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,当以 AB 为直径的圆 P 与 y 轴相切时,求 直线 l 的方程和圆 P 的方程.

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 (I )讨论 f(x)的单调性;
(II) (

.

i )若证明:当 x>6 时,

(ii)若方程 f(x)=a 有 3 个不同的实数解,求 a 的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P.过点 A 作直线交圆 O 于 点 Q,交圆 B 于点 M、N. (I )求证:QM=QN;
( I I ) 设圆 O 的半径为 2,圆 B 的半径为 1,当 AM=

时,求 MN 的长.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数, ),曲线 C 的极坐标方程为

, (I )求曲线 C 的直角坐标方程: (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 a 变化时,求|AB|的最小值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设
( I ) 求不等式

. 的解集 S : 有解,求参数 T 的取值范围.

(II )若关于 X 不等式

唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题:

A 卷:ADCDC B 卷:BCDAB 二、填空题: (13)5 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)∵B=

DACBA DDCAB

BB CA (15)n
2

(14)(-1,1)

(16)(1,

3 ) 2

A 2 5 ? 2 ∈(0, ),∴cosB= 1-sin B= , ?1 分 2 2 5 4 3 2 ∵A=2B,∴sinA=2sinBcosB= ,cosA=cos2B=1-2sin B= , ?3 分 5 5

2 5 ∴cosC=cos[?-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=- .?5 分 25 (Ⅱ)∵A=2B,∴C=?-3B, ? ? ? 又 <C<?,∴ <?-3B<?,0<B< . ?7 分 2 2 6 由正弦定理,得 c sinC sin(?-3B) sin3B sin(2B+B) sin2BcosB+cos2BsinB = = = = = b sinB sinB sinB sinB sinB 2 2sinBcos B+cos2BsinB 2 2 = =2cos B+cos2B=4cos B-1, ?10 分 sinB 3 c <cosB<1,∴2< <3, 2 b c 故 的取值范围是(2,3). ?12 分 b (18)解: 2 25×(5×3-6×11) 2 (Ⅰ)K = ≈2.932>2.706, 16×9×11×14 由此可知,有 90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关. ?3 分 (Ⅱ) (ⅰ)记题设事件为 A,则 1 2 2 1 C5C11+C5C11 11 所求概率为 P(A)= = . ?7 分 3 C16 16 k 3-k C3C 6 (ⅱ)根据题意,X 服从超几何分布,P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C9 X 的分布列为 X 0 1 2 3 5 15 3 1 P ?10 分 21 28 14 84 5 15 3 1 X 的均值 E(X)=0× +1× +2× +3× =1. ?12 分 21 28 14 84 (19)解: z (Ⅰ)设 AB1 的中点为 P,连结 NP、MP. 1 1 C1 B1 ∥ ∥ ∵CM∥ = 2 AA1,NP= 2 AA1,∴CM=NP, A1 ∴CNPM 是平行四边形,∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP?平面 AMB1, ∴CN∥平面 AMB1. ?4 分 M (Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C—xyz, P → 同向. 使 x 轴、y 轴、z 轴分别与→ NA、→ CN、CC ∵
1

C x A N

B y

则 C(0,0,0),A(1, 3,0),B(-1, 3,0), 设 M(0,0,a)(a>0) ,则 B1(-1, 3,2a), →=(1, 3,-a),MB → =(-1, 3,a), MA
1

→=(0,0,a), CM

?6 分 → → =0, 设平面 AMB1 的法向量 n=(x,y,z),则 n·MA=0,n·MB 1 ?x+ 3y-az=0, ? 即? ?-x+ 3y+az=0, ? 则 y=0,令 x=a,则 z=1,即 n=(a,0,1). ?8 分 → → 设平面 MB C 的一个法向量是 m=(u,v,w),则 m·MB =0,m·CM=0,
1 1

?-u+ 3v+aw=0, 即? ?aw=0,

则 w=0,令 v=1,则 u= 3,即 m=( 3,1,0). 3a 所以 cos?m,n?= , 2 2 a +1 3a 2 依题意,?m,n?=45?,则 = ,解得 a= 2, 2 2 a +1 2 所以 CC1 的长为 2 2. (20)解: x y (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) ,则 a b 4 4 2+ 2=1, a b
2 2 2 2

?10 分

?12 分

① ?1 分

记 c= a -b ,不妨设 F1(-c,0),F2(c,0),则 → =(-c-2,-2),CF → =(c-2,-2),则CF → ·CF → =8-c2=2,c2=6,即 CF
1 2 1 2

a -b =6. 2 2 由①、②得 a =12,b =6. 2 2 x y 所以椭圆 E 的方程为 + =1. 12 6 → |+|CF → |求出 a) (也可通过 2a=|CF
1 2

2

2

② ?4 分

(Ⅱ)依题意,直线 OC 斜率为 1,由此设直线 l 的方程为 y=-x+m, 2 2 代入椭圆 E 方程,得 3x -4mx+2m -12=0. 2 2 2 2 由 Δ =16m -12(2m -12)=8(18-m ),得 m <18. 2 4m 2m -12 记 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= . ?6 分 3 3 x1+x2 y1+y2 2 2 2 圆 P 的圆心为( , ),半径 r= |x1-x2|= (x1+x2) -4x1x2 2 2 2 2 2 x1+x2 (x1+x2) 当圆 P 与 y 轴相切时,r=| |,则 2x1x2= , 2 4 2 2 2(2m -12) 4m 2 即 = ,m =9<18. ?9 分 3 9 当 m=3 时,直线 l 方程为 y=-x+3, 2 2 此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为 2,圆 P 的方程为(x-2) +(y-1) =4; 2 2 同理,当 m=-3 时,直线 l 方程为 y=-x-3,圆 P 的方程为(x+2) +(y+1) =4. ?12 分 (21)解: -x 2 -x (Ⅰ)f?(x)=-e [x -(a+2)x+2a]=-e (x-2)(x-a). ?1 分

(1)若 a=2,则 f?(x)≤0,f(x)在(-∞,+∞)单调递减. ?2 分 (2)若 0≤a<2,当 x 变化时,f?(x)、f(x)的变化如下表: x (-∞,a) a (a,2) 2 (2,+∞) f?(x) - 0 + 0 - -a -2 f(x) ↘ 极小值 ae ↗ 极大值(4-a)e ↘ 此时 f(x)在(-∞,a)和(2,+∞)单调递减,在(a,2)单调递增. ?3 分 (3)若 a>2,当 x 变化时,f?(x)、f(x)的变化如下表: x (-∞,2) 2 (2,a) a (a,+∞) f?(x) - 0 + 0 - -2 -a f(x) ↘ 极小值(4-a)e ↗ 极大值 ae ↘ 此时 f(x)在(-∞,2)和(a,+∞)单调递减,在(2,a)单调递增. ?4 分 1 2 -x 3 x (Ⅱ) (ⅰ)若 a=0,则 f(x)=x e ,f(x)< 即 x <e . x 当 x>6 时,所证不等式等价于 x>3lnx, 3 设 g(x)=x-3lnx,当 x>6 时,g?(x)=1- >0,g(x)单调递增, x 有 g(x)>g(6)=3(2-ln6)>0,即 x>3lnx. 1 故当 x>6 时,f(x)< . ?6 分 x (ⅱ)根据(Ⅰ) , (1)若 a=2,方程 f(x)=a 不可能有 3 个不同的实数解. ?7 分 0 ≤ a < 2 , ? ? -a 4 (2)若 0≤a<2,令?ae <a, 解得 0<a< 2 .????????8 分 e +1 ?(4-a)e-2>a, ? 1 -x 2 -x 2 2 -x 当 x>6 时,f(x)=e (x -ax+a)=e [x -a(x-1)]<x e < , x 1 则当 x>6 且 x> 时,f(x)<a. a 4 又 f(0)=a,所以当 0<a< 2 时,方程 f(x)=a 有 3 个不同的实数解.10 分 e +1 -a (3)若 a>2 时,由于 f(a)=ae <a,方程 f(x)=a 不可能有 3 个不同的实数解. ?11 分 4 综上,a 的取值范围是(0, 2 ). ?12 分 e +1 (22)解: (Ⅰ)连结 BM、BN、BQ、BP. ∵B 为小圆的圆心,∴BM=BN, P 又∵AB 为大圆的直径,∴BQ⊥MN, ∴QM=QN. ?4 分 O B (Ⅱ)∵AB 为大圆的直径,∴∠APB=90?, A ∴AP 为圆 B 的切线, M 2 Q N ∴AP =AM·AN, ?6 分 2 2 2 由已知 AB=4,PB=1,AP =AB -PB =15, 10 10 10 又 AM= ,∴15= ×( +MN), 3 3 3 7 ∴MN= . ?10 分 6 (23)解: 2cosθ 2 (Ⅰ)由 ρ = ,得(ρ sinθ ) =2ρ cosθ , 2 sin θ

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y =2x. ?4 分 2 2 2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y =2x,得 t sin α -2tcosα -1=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2,则 2cosα 1 t1+t2= ,t1t2=- 2 , ?7 分 2 sin α sin α ____________ 2 4cos α 4 2 2 ∴|AB|=|t1-t2|= (t1+t2) -4t1t2= + 2 = , 4 2 ? sin α sin α sin α ? 当α = 时,|AB|取最小值 2. ?10 分 2 (24)解: y ? ?-x+3,x<-3, (Ⅰ)f(x)=?-3x-3,-3≤x≤0, 7 ? ?x-3,x>0. 6 如图,函数 y=f(x)的图象与直线 y=7 相交 于横坐标为 x1=-4,x2=10 的两点, 由此得 S=[-4,10]. ?6 分 O -4-3 x 10 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)的最小值为-3, -3 则不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解必须且只需 -3+|2t-3|≤0, 解得 0≤t≤3, 所以 t 的取值范围是[0,3]. ?10 分

2



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