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山东省菏泽市曹县一中2015届高三上学期10月段考数学(文)试卷



2014-2015 学年山东省菏泽市曹县一中高三 (上) 10 月段考数学 试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 S={x|x ﹣2x=0x∈R},T={x|x +2x﹣3≤0,x∈R},则 S∩T=( A. {0,2} B. {0} C. {0,﹣2} D. {2,0,﹣2} 2.已知角α的终边过点(﹣3,4) ,则 cosα=( A.

B. C. D. )
2 2



3.设 a=

,b=log2 ,c=

,则(



A. c>b>a B. c>a>b C. a>b>c D. a>b>c 4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 则 “a≥b” 是 “sinA≥sinB” 的 ( A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 5.曲线 y=4lnx﹣x 在点 A(1,﹣1)处的切线的斜率是( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2





6.将函数 y=sinx 的图象向左平移 正确的是( ) A. y=f(x)是奇函数 B. y=f(x)的周期为π C. y=f(x)的图象关于直线 x= D. y=f(x)的图象关于点(﹣

个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法

对称 ,0)对称

7.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1]时,f(x) = ,则 f(﹣ )=( )

A. 1

B.

C. ﹣23 D.

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 3b=2a,则 的值为( A. ) B. C. 1 D.

9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1) =( ) A. B. 1 C. ﹣1 D. 0

x

10.设 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时 f′(x)g(x)+f (x)g′(x)<0,且 f(﹣2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( ) A. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(2,+∞)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.函数 f(x)= 的单调递减区间是 .

12.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2

,则 AB 等于 . .



13.函数 f(x)=cosx﹣log8x 的零点个数为 14.函数 y=cos2x﹣2cosx 的最小值为

15.设 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x+2)=﹣f(x) ,当 ﹣1<x≤1 时,f(x)=3x﹣2,则当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式为 .

三、解答题(共 75 分) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且满足 asinB= (1)求角 A 的大小; (2)求 sinB﹣ cos(C+

bccosA

)的最大值,并求取得最大值时,角 B,C 的大小.

17.已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) (1)求 f( )的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x﹣6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售
2

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=2 ,函数 f(x)的值域 为集合 M (1)求 f(﹣2) ; (2)设函数 g(x)=lg[x ﹣(a﹣2)x﹣2a]的定义域为 N,若 M? N,其实数 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)对于一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(x)在 R 上为 减函数,当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=﹣2 (1)求 f(0) ,f(2)的值. (2)判定函数的奇偶性. (3)若 f(x ﹣2x+3)<f(x +x) ,求 x 的取值范围. 21.已知函数 f(x)= x ﹣2alnx+(a﹣2)x,a∈R. (I)当 a=1 时,求函数 f(x)图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 有 恒成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. >a
2 2 2 2 x

2014-2015 学年山东省菏泽市曹县一中高三(上)10 月 段考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 S={x|x ﹣2x=0x∈R},T={x|x +2x﹣3≤0,x∈R},则 S∩T=( A. {0,2} B. {0} C. {0,﹣2} D. {2,0,﹣2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集的性质求解. 解答: 解:∵集合 S={x|x ﹣2x=0,x∈R}={0,2}, 2 T={x|x +2x﹣3≤0,x∈R}={x|﹣3≤x≤1}, ∴S∩T={0}. 故选:B. 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意不等式性质的合理运用. 2.已知角α的终边过点(﹣3,4) ,则 cosα=( A. B. C. D. )
2 2 2



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 先计算 解答: 解:由题意, ∴ 故选 C. 点评: 本题的考点是任意角的三角函数的定义,考查三角函数定义的运用,属于基础题. ,再利用三角函数的定义,即可求得 cosα.

3.设 a=

,b=log2 ,c=

,则(



A. c>b>a B. c>a>b C. a>b>c D. a>b>c 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

解答: 解:∵a= 又∵3 >2 , ∴ ∴c= ,
2 3

=

,b=log2 <0,

=log23>



∴b<a<c. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 则 “a≥b” 是 “sinA≥sinB” 的 ( A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义,结合正弦定理即可得到结论. 解答: 解:在三角形中,根据正弦定理可得若“a≥b”则“sinA≥sinB”成立,反之也成 立, 即“a≥b”是“sinA≥sinB”的充分且必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据正弦定理是解决本题的关键. 5.曲线 y=4lnx﹣x 在点 A(1,﹣1)处的切线的斜率是( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求出函数的导数,由切点 A,即可得到切线的斜率. 解答: 解:y=4lnx﹣x 的导数为 y′= ﹣2x, 在点 A(1,﹣1)处的切线的斜率为 ﹣2=2. 故选 C. 点评: 本题考查导数的几何意义:曲线在该点处切线的斜率,考查运算能力,属于基础题.
2 2



6.将函数 y=sinx 的图象向左平移 正确的是( ) A. y=f(x)是奇函数 B. y=f(x)的周期为π

个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法

C. y=f(x)的图象关于直线 x= D. y=f(x)的图象关于点(﹣

对称 ,0)对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数图象的平移法则得到函数 y=f(x)的图象对应的解析式为 f(x)=cosx, 则可排除选项 A,B,再由 cos =cos(﹣ )=0 即可得到正确选项. 个单位,得 y=sin(x+ )=cosx.

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象向左平移

即 f(x)=cosx. ∴f(x)是周期为 2π的偶函数,选项 A,B 错误; ∵cos =cos(﹣ )=0, ,0) 、 ( ,0)成中心对称.

∴y=f(x)的图象关于点(﹣

故选:D. 点评: 本题考查函数图象的平移,考查了余弦函数的性质,属基础题. 7.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1]时,f(x) = ,则 f(﹣ )=( )

A. 1 B.

C. ﹣23 D.

考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,可得 f(﹣ )=f(﹣ ) ,再由

当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=

,代入可得答案.

解答: 解:∵当 x∈[﹣1,1]时,f(x)= f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, ∴f(﹣ )=f(﹣ +2)=f(﹣ )=﹣4× =1,



故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数的周期性,分段函数求值,难度不大,属于基础题.

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c,若 3b=2a,则 的值为( A. ) B. C. 1 D.

考点: 正弦定理的应用. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 由 3b=2a,根据正弦定理得:sinA= sinB,代入有

=

= .

解答: 解:∵3b=2a,∴由正弦定理得:

= ,即 sinA= sinB,代入有:

=

= .

故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的综合应用,属于基本知识的考查. 9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1) =( ) A. B. 1 C. ﹣1 D. 0
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: f(x)为定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) ,求出 b=﹣1,再 由奇函数的定义,即可得到 f(﹣1) . 解答: 解:f(x)为定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=0,f(﹣x)=﹣f(x) , 即有 3 ﹣2×0+b=0,即有 b=﹣1, x 即当 x≥0 时,f(x)=3 ﹣2x﹣1, 则 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(3﹣2﹣1)=0, 故选 D. 点评: 本题考查函数的奇偶性的性质和运用,考查运算能力,属于中档题. 10.设 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时 f′(x)g(x)+f (x)g′(x)<0,且 f(﹣2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )
0

A. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) B. (﹣2,0)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(2,+∞) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 F(x)=f (x)g(x) ,由条件可得 F(x)在(﹣∞,0)上为增函数,得 F(x) 在(0,+∞)上也为增函数.由 g(﹣2)=0,必有 F(﹣2)=F(2)=0,构造如图的 F(x) 的图象,可知 F(x)<0 的解集. 解答: 解:设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,?∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x) g′(x)<0, ∴F(x)在(﹣∞,0)上为减函数.? ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x) ? g (x)=﹣F(x) ,故 F(x)为(﹣∞,0) ∪(0,+∞)上的奇函数.? ∴F(x)在(0,+∞) 上亦为减函数. 已知 g(﹣2)=0,必有 F(﹣2)=F(2)=0,构造如图的 F(x)的图象,

可知 F(x)<0 的解集为 x∈(﹣2,0)∪(2,+∞) .? 故选:D. 点评: 本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系,函 数的奇偶性和单调性的应用,属于基础题. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 11.函数 f(x)= 的单调递减区间是 [1,2] .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=﹣x +2x≥0,求得函数 f(x)的定义域,再由 f(x)= 在定义域内的减区间.再利用二次函数的性质可得结论.
2 2

,本题即求函数 t

解答: 解:令 t=﹣x +2x≥0,求得 0≤x≤2,故函数 f(x)的定义域为[0,2], 再由 f(x)= ,可得本题即求函数 t 在定义域内的减区间. 利用二次函数的性质可得函数 t 在定义域内的减区间为[1,2], 故答案为:[1,2].

点评: 本题主要考查复合函数的单调性,根式函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. 12.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,则 AB 等于 2 .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理列出关系式,把 a,b,cosA 的值代入求出 c 的值,即为 AB 的长. 解答: 解:∵在△ABC 中,A=60°,AC=b=4,BC=a=2 , 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 12=16+c ﹣4c, 解得:c=2, 则 AB=c=2, 故答案为:2 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 13.函数 f(x)=cosx﹣log8x 的零点个数为 3 . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要求函数 f(x)=cosx﹣log8x 的零点个数,即求函数 y=cosx 与 y=log8x 图象交点 的个数,在同一坐标系中画出它们的图象即可求得结果. 解答: 解:在同一坐标系中画出函数 y=cosx 与 y=log8x 图象, 由图象知这两个函数图象有 3 个交点, 即函数 f(x)=cosx﹣log8x 有 3 个零点, 故答案为:3.

点评: 此题是中档题.本题考点是函数零点的判定定理,考查用图象法确定函数零点个数 的问题,体现了转化的思想和考查学生的作图能力和用图分析解决问题的能力.

14.函数 y=cos2x﹣2cosx 的最小值为 ﹣



考点: 三角函数的最值;二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 运用二倍角余弦公式和配方,由余弦函数的值域和二次函数的最值求法,即可得到 最小值. 解答: 解:函数 y=cos2x﹣2cosx=2cos x﹣2cosx﹣1
2

=2(cosx﹣ ) ﹣ , 由于 cosx∈[﹣1,1], ∈[﹣1,1], 则当 cosx= 时,y 取得最小值,且为﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 本题考查三角函数的求值,考查二倍角公式和余弦函数的值域,以及二次函数的最 值问题,属于基础题. 15.设 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的函数,对一切 x∈R 均有 f(x+2)=﹣f(x) ,当 ﹣1<x≤1 时,f(x)=3x﹣2,则当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式为 f(x)=﹣3x+4 . 考点: 函数的周期性;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x+2)=﹣f(x) ,当 1<x≤3 时,﹣1<x﹣2≤1,利用当﹣1<x≤1 时,f(x) =3x﹣2,可求得答案. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)对一切 x∈R 均有 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f[(x﹣2)+2]=﹣f(x﹣2)=f(x) , ∵又 x∈(﹣1,1]时,f(x)=2x+1, 当 1<x≤3 时,﹣1<x﹣2≤1, ∴f(x)=﹣f(x﹣2)=﹣3(x﹣2)﹣2=﹣3x+4, 故答案为:f(x)=﹣3x+4 点评: 本题考查函数的周期性及函数解析式的求解,求得当 1<x≤3 时,﹣1<x﹣2≤1 是 解答的关键,属于基础题. 三、解答题(共 75 分) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且满足 asinB= (1)求角 A 的大小; (2)求 sinB﹣ cos(C+

2

bccosA

)的最大值,并求取得最大值时,角 B,C 的大小.

考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1) 由 asinB= 从而 tanA= bccosA 可得 . cos(C+ )=2sinC,由 0 . 可得当 C= , 由正弦定理比较可得: sinA= cosA,

,0<A<π,故可得 A= ﹣C,有 sinB﹣

(2)由(1)得:B= 时,sinB﹣ cos(C+

)取最大值为 2,此时 B= bccosA

解答: 解: (1)∵asinB=



, cosA

∴由正弦定理比较可得:sinA= ∴tanA= ,0<A<π ∴A= . ﹣C, ) cos(C+ ( cosC﹣

(2)由(1)得:B= ∴sinB﹣ =sin( = cos(C+ ﹣C)﹣

) sinC)

cosC+ sinC﹣

=2sinC ∵0 ∴当 C= 时,sinB﹣ cos(C+ )取最大值为 2,此时 B= .

点评: 本题主要考察了正弦定理的应用,两角和与差的正弦函数公式的应用,属于基本知 识的考查. 17.已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) (1)求 f( )的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由二倍角公式和两角差的正弦公式,化简函数式,再由特殊角的三角函数值, 即可得到; (2)运用周期公式和正弦函数的单调增区间,解不等式,即可得到所求区间. 解答: 解: (1)函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) =2sinxcosx+2sin x=sin2x+1﹣cos2x =1+sin(2x﹣ 则 f( ) , ﹣ )=1 ; =π, ,解得,k ,k )k∈Z. <x<k ,k∈Z,
2

)=1+sin(

(2)函数 f(x)的最小正周期 T= 令 2k <2x﹣ <2k

则单调递增区间为: (k

点评: 本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式及运用,考查三角函数的周期和单调性, 考查运算能力,属于基础题. 18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x﹣6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售
2

价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 考点: 函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 应用题. 分析: (Ⅰ)由 f(5)=11 代入函数的解析式,解关于 a 的方程,可得 a 值; (Ⅱ)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销 售量的利润函数为关于 x 的三次多项式函数, 再用求导数的方法讨论函数的单调性, 得出函 数的极大值点,从而得出最大值对应的 x 值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11,故 a=2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量 y= 所以商场每日销售该商品所获得的利润为

从而,f′(x)=10[(x﹣6) +2(x﹣3) (x﹣6)]=30(x﹣6) (x﹣4) 于是,当 x 变化时,f(x) 、f′(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f'(x) + 0 ﹣ f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 点评: 本题函数解析式的建立比较容易,考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题, 属于中档题. 19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=2 ,函数 f(x)的值域 为集合 M (1)求 f(﹣2) ; (2)设函数 g(x)=lg[x ﹣(a﹣2)x﹣2a]的定义域为 N,若 M? N,其实数 a 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,f(﹣2)=f(2)=4;
2 x

2

(2)化简 M=[1,+∞) ,x ﹣(a﹣2)x﹣2a>0 可化为(x+2) (x﹣a)>0,从而讨论解出 集合 N,从而求解. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣2)=f(2)=4; (2)由题意,M=[1,+∞) , x ﹣(a﹣2)x﹣2a>0, 即(x+2) (x﹣a)>0, 若 a=﹣2,则 N=(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,+∞) , M? N 成立; 若 a<﹣2,则 N=(﹣∞,a)∪(﹣2,+∞) , M? N 成立; 若 a>﹣2,则 N=(﹣∞,﹣2)∪(a,+∞) , 则 a<1; 综上所述,a<1. 点评: 本题考查了对数函数的性质应用,属于中档题. 20.已知函数 f(x)对于一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(x)在 R 上为 减函数,当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=﹣2 (1)求 f(0) ,f(2)的值. (2)判定函数的奇偶性. (3)若 f(x ﹣2x+3)<f(x +x) ,求 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,f(0)=f(0)+f(0) ,f(2)=f(1)+f(1)=﹣4;从而求 f(0) , f(2)的值; (2)令 y=﹣x,则 f(0)=f(x)+f(﹣x) ,从而得到 f(x)+f(﹣x)=0,从而可得函数 的奇偶性; (3)由 f(x)在 R 上为减函数可得 f(x ﹣2x+3)<f(x +x)化为 x ﹣2x+3<x +x,从而 求 x 的取值范围. 解答: 解: (1)∵对于一切 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y) , ∴f(0)=f(0)+f(0) , ∴f(0)=0, f(2)=f(1)+f(1)=﹣4; (2)令 y=﹣x, 则 f(0)=f(x)+f(﹣x) , 故 f(x)+f(﹣x)=0, 故 f(x)是奇函数; (3)∵f(x)在 R 上为减函数, ∴f(x ﹣2x+3)<f(x +x)可化为 x ﹣2x+3<x +x, ∴x<﹣1. 点评: 本题考查了抽象函数的应用,属于中档题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

21.已知函数 f(x)= x ﹣2alnx+(a﹣2)x,a∈R. (I)当 a=1 时,求函数 f(x)图象在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞)且 x1≠x2 有 恒成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出 a=1 时函数 f(x)的导数,求出切点和切线的斜率,由点斜式方程,即 可得到切线方程; (Ⅱ)对 a 讨论:①当 a=﹣2,②﹣2<a<0 时,③当 a<﹣2 时,令导数大于 0,得增区间, 令导数小于 0,得减区间; (Ⅲ)假设存在这样的实数 a 满足条件,不妨设 x1<x2.条件转化为 f(x2)﹣ax2>f(x1) ﹣ax1 成立,令 g(x)=f(x)﹣ax= x ﹣2aln x﹣2x,则函数 g(x)在(0,+∞)上单调 递增,则 g′(x)=x﹣ ﹣2≥0,即 2a≤x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1 在(0,+∞)上恒成立.求
2 2 2

2

>a

出不等式右边的最小值,令 2a 不大于它即可. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)= x ﹣2alnx+(a﹣2)x, f′(x)=x﹣ +(a﹣2)= (x>0) ,f′(1)=﹣2,
2

当 a=1 时,f′(x)=

则所求的切线方程为:y﹣f(1)=﹣2(x﹣1) , 即 4x+2y﹣3=0; (Ⅱ)①当﹣a=2,即 a=﹣2 时, f′(x)= ≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

②当﹣a<2,即﹣2<a<0 时, 由 0<x<﹣a,或 x>2 时,f′(x)>0,﹣a<x<2 时,f′(x)<0. 则 f(x)在(0,﹣a) , (2,+∞)单调递增,在(﹣a,2)上单调递减; ③当﹣a>2,即 a<﹣2 时, 由 0<x<2 或 x>﹣a 时,f′(x)>0;2<x<﹣a 时,f′(x)<0, f(x)在(0,2) , (﹣a,+∞)上单调递增,在(2,﹣a)上单调递减; (Ⅲ)假设存在这样的实数 a 满足条件,不妨设 x1<x2. 由 知 f(x2)﹣ax2>f(x1)﹣ax1 成立,

令 g(x)=f(x)﹣ax= x ﹣2aln x﹣2x, 则函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 则 g′(x)=x﹣
2

2

﹣2≥0,
2

即 2a≤x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1 在(0,+∞)上恒成立. ,则 a≤﹣ , 故存在这样的实数 a 满足题意,其范围为(﹣∞,﹣ ]. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间,同时考查构造函数,运用导数求单 调性和最值,考查分类讨论和参数分离的思想方法,属于中档题.



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