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2009年复旦大学自主招生数学试题



2009 年复旦大学自主招生数学试题
(共 200 个选择,数学约 30-40) 1.△ABC 中,AB:BC:CA2:3:4,A(0,0) ,B(a,b) ,求点 C 的坐标. 2. xyz ? y ? z ? 12log4 x ? log2 y ? log2 z 的最大值. 3.有两个细胞,每个细胞每次分裂成 2 个细胞或死亡的概率均为

1 ,

求分裂两次后有细胞存活 2

的概率. 4.将 n+1 个不同颜色的球放入 n 个盒子中,每盒至少放一个球,求放法数. 5.求极坐标 ? ? a(1 ? cos ? ) 的图象. 6. 正三棱柱 ABC-A1B1C1, AB= AA1=1, AB 上有一点 P, 1C1, 1C1 与底面所成角为 ? , ? , 在 PB PA 求 tan(? ? ? ) 的最小值. 7.正多边形中,能完整覆盖平面的有几个? 集合,可使 nx 取到 X 中的所有元素. 9 . 向 量 a1 ? ( a, b, c) 2, a ?

8. X ? ?0,1,2,?,9?, n0 ? X ,定义 n1 ? (n0 ? n0 ) (mod10), nx ? (nx?1 ? n0 ) (mod10) ,求 n0 的 , 存 在 不 全 为 0 的 k1 , k2 , k3 , 使 ( , i ) g h , ? ?? ? ?? ? ?? ? x ? k a? k a ? k 03,则称有线性关系,下列哪一组向量有线性关系? a 1 1 2 2 3 ? S 10. a0 ? 0, a1 ? 1, bn ? an ? an?1,?bn ? 是公比为 2 的等比数列,求 lim n . n ?? a n ?ax ? by ? 1, ?11. ? 无解的充要条件是. ? x ? 2 y ? ?a ? b 1? x 12. f ( x) ? log a 在 (1, ??) 上递增,问在 (??, ?1) 和 (?1,1) 上的但调性. 1? x 13.下列哪种情况绳不会打结. 14. f ( x) ? log a t ax
2

??

? ??

? ?? (d , e , 3f ?) , a

?bx ? c

定义域是什么?
2

ax 15.函数 f ( x) ? log 2 log 1 2

? bx ?1

在 (??, ??) 上都有定义,求 a,b 的取值范围.

16. a ? (sin ? cos ? ,sin ? sin ? , cos ? ), b ? (

?

2

?

? ? ? ? ? a ? b , 0 ? ? ? ,求 a, b 夹角的最大值. 2
x ?1

1 1 sin ? cos ? , sin ? sin ? , 3 cos ? ) , 3 3

17. y ? 2 2 的图象关于 x=1 对称的图象为 C1,为 C1 关于 y=x 对称的图象为 C2,求 C2 对应的 函数表达式. 18. a ? 3 sin x ? 2 cos
2

x ? 1 在 [0, 2? ] 有两根,求 a 的取值范围. 2

19.半径为 R 的球中装了 4 个半径为 r 的球,求 r 的最大值. 20. z ? r, r ? 1 ,求

1 ? z 在复平面内的轨迹( ) z
r r 的椭圆 D.焦距为 的椭圆 4 2


A.焦距为 4 的椭圆 B.焦距为 4 的椭圆 C.焦距为 21.

bc ac ab , , 为等差数列,以下不等式正确的是( a b c

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A. b ?

ac

B. b ? ac
2

C.

D. b ?

22. A ? x x ? a ? b 2, a, b ? Q ,以下盒 A 相等的集合是( A. 2x x ? A

?

?

a?c 2

2 D. x x ? A

?

?

B.

?

2x x ? A

?
x

C. ? )
y

23. x ? y ? 0,0 ? a ? b ? 1 ,则以下恒成立的是(

?1 ? x ? A? ?x ?
D. a ? b .
x y

?

?

A. x a ? y b B. x a ? y b C. a ? b 24.1,2,…,9 的排列中,1,2 不在原位置的概率是
n

25. 2 ? 1 能被 7 整除,则 n= . 26.菱形的边长与其内切圆直径之比为 k:1,求菱形锐角的大小. 27. y ?

ax 2 ? bx ? b 的最大,最小值为 6,4,求 a,b. x2 ? 2

28.一圆锥母线与底面半径之比为 k,OAB 为过轴的截面,O 为顶点,P 为 OA 中点,求 PB 沿 圆锥面的最短距离. 29.四面体一对对棱长为 6,其余棱长为 5,求其内切球半径.

未完待续,希望大家补充

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