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2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛



3 2  

中 等 数 学 

2 0   1   5年全 国高 中数学联赛江苏赛 区复赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 :A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 6 ) 0 3— 0 0 3 2— 0 5  

第 一 试 

/>
C   、 c , 、 C 3 是公差不 为 0的等差数列 ;   ( 2 ) 当k >4时 , i 证明: { C   } 不可能是公 差  不为 0的等差数列.  



填空题 ( 每小题 8分 , 共6 4分 )  

1 . 随机抛 掷三个 大 小 、 质 地 相 同 的正方  体色子. 在 三个 色 子 所示 数 字 中最 小 值 是 3  
的概率 为一



三、 ( 2 O分 ) 在 平面 直 角坐 标 系 x O y中 ,  
2  
. .

2  

已知椭 圆 c:   +  

1的右焦 点为 F, 过点 

  F的直线 Z 与椭 圆 C交于 A、 B两点. 试问: 在 

2 . 关 于  的方程 
2 n   +n 2—4 口 =0  

轴上是否存 在定点 P , 使得 当直线 绕 点 F  
旋转时 , 均有P A? P B 为定值?   四、 ( 2 O分 ) 设 多项式 
. 

有模 为 3的虚数 根. 则实数 a的值 为— — .  
3 . 已知正项 数 列 { a   } 的首 项 为 1 , 且 对 
于一切正整数 凡 , 均有 

)=   +a N  +6  + c ( a、 b 、 C∈ R) .  

a   ( n a   一 a   + 1 )= ( n + 1 ) Ⅱ : + 1 .  
则a  = 一   4 . 设以 F 。 ( 一1 , 0 ) 、 F 2 ( 1 , 0 ) 为焦 点 的椭 

若对 于任 意的非负实数 、 Y , 有  _ 厂 (  + Y ) ≥   ) +  Y ) ,  
求 a、 b 、 C 所满 足的条件.  

圆的离心率为 e , 以F   为顶点 、   为焦点 的抛 
物线与椭 圆的一个 交点 为 P . 若  e 的值为— — .  
5 . 设实数 a 、 b满 足 0≤a 、 b ≤8 , 且 b  =  




试 

_ e , 则 



( 4 O分 ) 如图 1 , E、 F分别 为△ A B C、  

△A C D 的 内心 , A C平 分   B A D, A C  =A B?   A D, 延长 E C, 与△ C D F 的 外 接 圆交 于 点  ,  

1 6+a   . 则 b—a的最 大 值 与 最 小 值 之 和 为  6 . 函数. 厂 (  ) = 2 c o s  + s i n   2 x(  ∈ R ) 的 
值域 为— — .   7 . 正 四棱锥 P—A B C D外 接 于一 个半 径 

延长 F C , 与△ B C E的外接 圆交 于点 尺 . 若R K   ∥E F , 证明:   为△ B C D的外心.  

为1 的球面. 若 球 心到 四棱 锥各 个 面 的距离 
相等 , 则此 四棱锥 的底 面面积为一  
8 . 设△ A BC的外心为 D, 内心为 , ,   B=  

4 5 。 . 若O I / / B C , 则C O S   C的值为一

 
图 1  

二、 ( 1 6分 ) 设 等 比数 列 a   , a   , …, a   和 
b l , b 2 , …, b   , 记C  =a  一b   ( r t =1 , 2 , …, k ) .  

( 1 ) 写 出一组 a 1 、 n 2 、 a 3 和b 1 、 b 2 、 b 3 , 使 得 

二、 ( 4 0分 ) 求 所 有 的正 整 数 1 2 , 使 得 对 

2 0 1 6年第 3期 

3 3  

于任意正 实数 a , b 、 C 满足 a + b + C = 1 , 有 
a b c ( 0  +b  +c   ) ≤  .  

在 抛物线 中 , P= 4 , 准 线  = 一 3 , I  
为点 P到准线 的距离.   在椭 圆中 ,   左准线 的距 离.   . e ’ l  

  l

三、 ( 5 O分 ) 设 n为 正整 数. 求满 足 以下 

I 也 为点 P到 

条件 的三元 正整数组 ( a , b , c ) 的个数 :  
( i ) a b=n ;  
( i i ) 1 ≤c ≤b ;  

则抛 物线 准线与椭 圆的准线重合.  
故一 a: 3 .  

( i i i ) a , b 、 c 的最大公 约数 为 1 .   四、 ( 5 O分 ) 设a , b 、 C 、 d 、 e 为正实数 , 且 
口  +6  +c  +   +e 2=2
. 

因为 c = 1 , 所以, e =   .  
S. 1 2 —4   .  

若五个 正 三 角 形 的面 积 分 别 为 a   、 b   、   C   、 d   、 e   , 证明: 这 五个 三角 形 中存 在 四个 能 
覆盖 面积 为 1的正△ A B C .  

由题设知 b  =1 6+a   .  
1 6  
…   = 

参 考 答 案 
第 一 试 


记  。 ) :  
调递减.  

. 故 函数 厂 ( 口 ) 单 

√a ‘+ l 6 +a  

、 1 .  

.  

由 0≤口 、 b ≤8= = > 1 6+ a   ≤6 4  

所有 

3 嗍 痒 为 

,  

0≤ 口≤ 4  

.  

所 有  
概率为  3
一  

4   ㈦   .  
=  
.  

则b — a的最小值 为  4   )= 8 — 4   ,   b — a的最大值为  0 ) = 4 .  
从而 , b—a的最 大值 与 最 小 值 之 和 为 
1 2 —4   .  

故三个色子所示数 字 中最小值恰是 3的 

2 . 2一瓜   由(  一 a )  = 4 a< 0   = a一 2   i .  

6 . [ _  竽】 .  
注意到 ,   f   (  )=( 2 c o s   +s i n   2 x )  
= 4 c o s  ( 1 +s i n  )  
:  

又l  l  = a   一 4 a= 9=  a一2= ±√ / i  .  

因为 a < O , 所以, a= 2一 ̄ / 1 3.  
3.   .  

4( 3 j   3 s i n  ) ( 1 +s i n  )  


题设式变形为 

≤   【   3 — 3 s i n   ) 4 +   3   f   1 - I - s i n  J 1   4   2 7   ,  

( a   + 1 + a   ) [ ( n + 1 ) a   + l — n a   ) ] = 0 .   由a   + l +a   ≠O, 得 
( n+1 ) a   + 1 =n a  =… =a 1 =1  
】  
an   一 n ‘  

当 且 仅 当 3 — 3 s i n   = 1 + s i n   x , 1  ̄ 1   s i n   = 丢 时 ,  
等号成 立.  

从而 , 当s   - _, 1   c o s  =  
最大值  ;  

) 取得 

4.  

.  

3 4  

…  

中 等 数 学 



=一  



得 最 

此时, C 1 = 3 , C 2 : 5, C 3 = 7 .  

( 2 ) 设 a   =a p   , b  =b q   .   则 C   =a p  一 幻  .  

小值 一 3 丁 , 5
. 

假设 { C   } 为公差 非 0的等差数列.  

故 函 数  的 值 域 为 [ .  , 学】 .  
7 . 4   一4.  

则 由2 c   + l = C   +C   + 2 , 得  a p   ( p一1 )  =b q   ( q 一1 )   .   当k 14时 , > n可取 1 、 2 .   故 印( p一1 )  =b q ( g 一1 )  ,   a p   ( P一1 )  = b q   ( g 一1 )   .   解得 P=q .  

设 四棱 锥 的底 面边 长 为 a . 则 球 心 到底 

面 的 距 离 为 √  
√ 2  


于是 , 当 P= q ≠1 时, 则 a = b , 从而,  
C l:c 2= … =C   0;  

口 

由 
0 

1+  


当 P= g = 1 时, 则C 1 = C 2 :… = C   = a— b .  

又数列 { C   } 是公 差 不为 0的等差 数 列 ,  
矛 盾.  



=4  

一4,  

即四棱锥 的底 面面积为 4 4 Y一 4 .  
8. 1一   .  

因此 , 命题成立.  
三、 由题意知点 F( 3, 0 ) .  

设点 A (   。 , Y   ) , B (  , Y 2 ) .   当直线 f 与 轴不垂 直时 , 设Z 的方程 为 
Y=k (  一3 ) .  

设△ A B C的外 接 圆半径 、 内切 圆半 径分 

别 为 R、 r .   记B C的中点为  , D为 由点 , 向B C所 
作垂线 的垂 足.  

代 人椭圆方程得 
( 2+3  ) X , 2—1 8 k   +2 7 k  一5 4=0  
1 8 k   2 7k  一5 4  

因为  ∥B C , 所以, O M= I D= r .  
由A  B O C: 2   A, B C= B D +D C= 2 B M 
j —  
an  

z  厮
?

 ̄ X l : g z  

‘  

假设 在  轴上 存 在 定 点 P( t , 0 ) , 使 得  P B为定值. 则 
P A ? 尸   =(  1 一t , Y 1 ) ? (   2 一t , Y 2 )  

+—    
an 

=2r t a n   A  

-X l   2 一t ( x 1 +   2 )+t   +Y l Y 2  


c0s  

2 s i n   A  

■  1

 C O S   A 

- X 1   2 - t ( x 1 +   2 ) +  +   (   1 — 3 ) k ( x 2 — 3 )  


s m 了。 s m  二  



( 1 + I ] }   ) 2 ; 1   2 一 ( 3 后   + £ )(   l +   2 ) + £   + 9 k  
7 k 2-   5 4   ( 1 + k 2 ) 2 3 k 2 + t )  


c 。 s   A : 4 s i n  . s i n 等 . s i n 导  
=C O S   A一1+( C O S   B+C O S   C )  
=  C O S   B +C O S   C:1  
2 ( c 。 s   c :1一




5 4+( 1 8 £ + 9 ) k  。 + 2  
一 一   2+3  ^   ●   ‘  

当直线 Z 绕点 F旋转 , 即k 变化 时 , 要使 
?

. 

商 为定值' 耳 I 】  
  j t : 4 . ?  

为定值.  

二、 ( 1 ) a l = 4 , a 2 = 8 , a 3 = 1 6 ;  
b  =1, b ,=3, b  =9.  

于是 ,   :   下

2 0 1 6年第 3期 

3 5  
j   C=   BC = ER.  

此时, P A? P B=一1 1 .  

当直线 Z 与  轴垂直时 ,  
A ( 3 , 2 √ 3 ) ,  ( 3 , 一 2 √ 3 ) .   故  . P 一 B= ( 3 — 42  ) . ( 3 — 4 , 一 2  ) :一 1 1 .  


类似地 , C D= F K .  
从而 , B C=C D .   由  L H  U A 一 B  A :  C   : …   B C   :1 _   j  = = ) ’   A B: 一 A C: 一 ‘   A D, ' 即 H " l r I  

综上 , 在  轴 上存 在定 点 P ( 4 , 0 ) , 使 得 
?

朋 为定值.  
四、 对任意 的 x , y  ̄O , 由  
+  ) ≥ 乞   )+  Y )  
3 x   Y+3 x y  一c≥ 一2 a x y .  

为△ B C D外接 圆的外心.  

二、 ( 1 ) 当 ≥3时 , 取 口=   2


6 = c = 吉 .  

则a b c ( a   + 6   + c   )  
=  +  + 

取  = Y: 0 . 代人上式得 c ≤0 .  

1 ) >  .  

不妨设 > 0 , Y > O . 则 
3 x   Y+ 3 x y - 2 +( 一 C )  

故 ≥3不满足题意.  

( 2 ) 当n = 1 时,  

≥ 3  


3。 。 ’ 。 。 — —  

=一 3  

,  

( 。 +  )  c ≤ ( 半 ) 3 ≤   1 .  
故 n=1满足题意.  

当 且 仅 当 X 0 = Y o = 一 √ 手 时 , 等 号 成 立 .  
故一 3 x 0 Y o   ≥一 2 a x 。   0 ≥ 妻   .  
当口 ≥   3   3  
,  

( 3 ) 当 n= 2时 , 原不等式也 成立.  
令  = a b+6 c +c 0 .  

≤ o 时, 对任意的 、   ≥O ,  

于是 , 0   +6  +c   =1 —2   .  

3 x   Y + 3 C — c ≥一 2 a x y .  
即  + Y ) ≥   ^ (   )+  Y ) .   综上 , a , b 、 c 满足 的条件为 
’ 4  —一  

由( n 6+6 c + c 口 ) 2  ̄ >3 a b c (  +b+c )  
3a b c ≤ 

j  a b c ( 口   + 6   + c   ) ≤  
0<  <  

( 1 — 2 x )  

0≥‘   9 c, c ≤O, 6∈ R.  




试 

}   ( 1 _ 2 x ) C  -

) 3 =   1  



联结 E R、 F K .  

由  B A C=   C A D, A C   = A B? A D, 知 
△ A B C∽ △ A DC= = >   A B C=   A C D .  

口 b c (   + 6 2  ) ≤ }   ( 1 — 2 x ) ≤   1 .  
三、 用( 口 , b , c ) 表示 a , b 、 c的最大公约数.  

由  E R C=   E B C=   A C F  

令S   ={ ( a , 6 , c ) f   a , b 、 C ∈ Z+ , a b =  ,  
1 ≤c ≤6 , (  , b , c ) :1 } .   记S  中元素 的个数为  ) ( n∈ z+ ) .   显然 , . 厂 ( 1 ) : 1 .  

=  E R / / A C .   类 似地 , F K #A C .  

亍  . E R   ? F K .  
又P a g / / E F, 则 四边形 E F K R为平行 四边 
形. 从而 , 职 =F K .  

( 1 ) 若 n= p   ( p为素数 , 0 [ ≥1 ) , 设 

( 口 , 6 , c ) ∈S   .  
若6 = 1 , 贝 0   0 = p   , c : 1 ;  
EC B 

因为 E R #A C , 所以,  
船 C=   EC A=  

若6 = p   , 1 ≤   ≤  一 1 , 贝 0  

3 6  

中 等 数 学 

0= p 一  , ( C , P )=1 , 1 ≤c ≤6 ;  

若口 ≥1 , 则 面积 为 口  的三 角形 可 覆 盖 
△A B C .  

若 b = P   , 则0 = 1 , 1 ≤c ≤6 .  

故  p   ) = 1 + ∑ ( p ‘ ) + p  
=p  一   +p  ,  

若 口<1 :  

当c > ÷时, 由于b I > c , 则b + c > 1 ;  
当c ≤ ÷时,  
b  =2 一n 2一c 2一d  一e 2  

其中,  (   ) 为欧拉 函数.  

( 2 ) 下 面证 明: 若正整数 m、  互素 , 则 
m n )=  r e) f ( n ) .  

首先 , 对每个 ( 0 , 6 , C ) E   S  
由a b = 瑚 , 令6   =( 6 , n ) , 6   = ( 6 , m) , 则 
( b 1 , b 2 ):1 ;  

>1— 3 c   ≥( 1 一c )  ,   于是 , 6+ c>1 .  

从而 , Ⅱ+c >1 , n+6>1 .   用 面积 为 0   、 6   、 c  的三个 三角形覆 盖 的 

再令 0 1 =( Ⅱ , n ) , 0 2 =( 0 , m) , 则 
( 口 l , 0 2 )=1 , 且0 1 b 1 =  , a z b 2 =m .   由 1=( 0 , b , c )=( O J 1 n 2 , b l 6 2 , c )  


△A B C , 使 得每个 三 角形均 分别有 一个 顶点  与△ A B C的一 个 顶 点 重 合 , 且 有 两 条 边 在 
△A B C的两条 边上. 于是, 这三 个 三角 形 两 
两相交.  

( ( 口 1 口 2 , 6 1 b 2 ) , c )   ( ( 0 l , 0 2 ) ( b 1 , b 2 ) , c ) ,  





( 口 1 , b 1 , C )=l , ( 0 2 , b 2 , c )=1 .  

若这三个 三角形 能覆 盖 △ A B C, 则 结 论  成立. 否则 ,  
( 口+ 6 —1 ) +( 6 + c 一1 ) +( C + n一1 ) <1  
=   2—0一b—C>0 .  

令C    ̄ - - ' C ( o r o d   6   ) ( 1 ≤c   ≤6   , i = 1 , 2 ) .  
则( 口 1 , 6 1 , c 1 )=1 , ( Ⅱ 2 , 6 2 , C 2 )=1  
=  

( 0 1 , 6 l , C 1 ) E   S   , (   2 , b 2 , c 2 ) E   S   .  

其次 , 若( 口 。 , 6 。 , c   ) ∈S   , ( 0   , b   , C 2 ) ∈S   ,  
贝 0 令  = 口 l Ⅱ 2 , 6 = 6 1   6 2 .  
由于( m, n )=1 , 从而 , ( b 。 , b   )=1 .  

令 中间不能被  、 b   、 c  的三个三角形所 

覆 盖的正三角形面积为  . 则  f   2 :1一( 0 2 +6 2 +c 2 )+( 0+6—1 ) 2 +  
( 6+ c 一1 )  +( c +口一1 )  


由中国剩 余 定理 , 知 存 在 唯一 的整 数 c  
( 1 ≤c ≤6 ) , 满 足  r c 兰c 1 ( oo r d   6 1 ) ,   【 C 三c 2 ( oo r d   b 2 ) .  
=  

( 2一n一6一 c )  


厂= 2— 0一b —c .  

下面证 明 : d ≥ 厂.  

显然 , ( 0 1 , 6 1 , C )=( 0 l , 6 1 , c 1 )=1 ,   ( n 2 , 6 2 , c )=( 0 2 , 6 2 , c 2 )=1 .   故( n , b , c )=( ( 0, b ) , c )  


若d >   1由。 ≥6 ≥c ≥d ≥  , 则 


I 厂 = 2— 0 — 6 一 c < ÷=  d >  .  

( ( 0 l , 6 1 ) ( n 2 , b 2 ) , C )   ( n 1 , b 1 , c ) ( 0 2 , 6 2 , c )=1  

若d ≤ ÷, 由0 、 b 、 c < 1 , 有 
d≥2d   ≥d  +e  =2 —0  一b  一c  
>2 —0一b—C=  .  



( n , b , C ) ∈S  
- 厂 ( m / 2 ) =   m)  n ) .  

利 用 ( 1 ) 、 ( 2 ) , 知   n ) = n  ( 1 +   ) .  
四、 不妨设 0 ≥6 >c i ≥d le > > 0 .  

从而 , 面积为 d   的 正 三 角 形 可 以覆 盖 

△A B C不能被面积 0   、 b   、 c   覆 盖的部分.  
( 吴 忠麟 提供 )  



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