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2012学年第一学期余杭中学高三第一次校本检测(问)



2012 学年第一学期余杭中学高三第一次校本检测 数学(文科)试卷(问卷)
命题人:谢 纲 审核人:陈思彤 说明:本试卷共 3 页,三大题,分值 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U
( A ) ?1, 2, 4 ? ? ?

0 ,1, 2 , 3, 4 ? ? ?1, 2, 3? , B ? ? 2, 4 ?

,集合 A

,则 ( C U A ) ?

B ?







( B ) ? 2 , 3, 4 ?
? ?3 ? i 2?i

( C ) ? 0 , 2 , 4?
?
(C ) ? 1 ? i

( D ) ? 0 , 2 , 3, 4 ?

2.已知复数 Z
( A)2 ? i

, 则它的共轭复数 Z
( B )2 ? i


(D ) ? 1 ? i





3.已知等差数列 ? a n ? , a 4
( A )7 0

? 5, a 7 ? 1 1 ,则 S 1 0 ?
( B )7 5
2 2


(C ) 8 0
( D )8 5





4.对于常数 m , n , " m n

? 0" 是 “方程 m x ? n y ? 1 ” 的曲线是圆”的

( ▲

)

( A ) 充分不必要条件
( C ) 充分必要条件

( B ) 必要不充分条件
( D ) 既不充分也不必要条件
? 3 b co s A

5.在 ? A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 a sin B
( A)

,则角 A
?
2

?



▲ )

?
6

(B) 1 2

?
4

(C )

?
3

(D )

6.函数 y

?

x ? ln x
2

的单调递减区间为
( C ) ?1, ? ? ?
? 4

(▲)
( D ) ? 0, ? ? ?

( A ) ? 0 ,1 ?

( B ) ? ? 1,1 ?

7.执行如图所示的程序框图,如果输入 a
( A)2

,那么输出的 n 的值为(▲)
( D )5

(B ) 3

(C ) 4

8.设 S n 为等比数列 ? a n ? 的前 n 项和, 8 a 2
( A )1 1 (B ) 5

? a5 ? 0

,则

S5 S2

?

(▲)

( C )? 8

( D )? 1 1

9.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
( A) y ? x x
(B) y ? x ? 1

(▲)
3

(C ) y ? ? x

(D ) y ? ?
1

1 x

10. 已知点 M
( A)4 2

(a, b)

在直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 上,则 S
(B ) 2 2

? 2 ?4
a

b

的最小值为
(D ) 2







(C ) 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 已知向量 a 12. 设 ?
? ? ? ? 1, 3 ? , b ? ? 2 , x ?

,且 a

?

? / /b

,则 x

?

▲ 。



? ? ? ? ? 0 , ? ,若 tan ? ? 2 2 ? ?

,则 co s ?

?



13. 已知双曲线

x a

2 2

?

y

2

? 1 的右焦点为 (3, 0 )

,则该双曲线的渐近线方程为





5
? ? ? ? ? a ? 2 , b ? 5 ,则 2 a ? b ? a ?

14.已知向量 a , b 夹角为 1 2 0 ? ,且 15. 已知椭圆 C 1 :
x
2

? ?

?

?





? y

2

4

? 1 ,椭圆 C 2

以椭圆 C 1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率,则

椭圆 C 2 的标准方程为





16. 某校 1 0 0 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示, 其中成绩分组区间是:? 5 0, 6 0 ? , ? 6 0, 7 0 ? , ? 7 0, 8 0 ? , ? 8 0, 9 0 ? , ? 9 0,1 0 0 ? 则根据此频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的 平均分为 ▲ 。

17. 若函数 f ? x ? ?

1 3

x ? ax ? 4 x
3 2

在区间 ? 0 , 2 ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是





三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 已知函数
f ( x ) ? 2 cos
2

x ? 2 3 sin x cos x ? m ( x ? R ) 。

(I)求函数 (Ⅱ)若

f ( x ) 的最小正周期及函数的单调递增区间



? ? ? ? f (x) 在 ? , ? 6 6? ? ?

上的最大值与最小值之和为 3 ,试求实数 m 的值。

2

19.(本题满分 14 分) 已知函数
f ( x) ? ax ? bx ? c
3

在x

? 2

处取得极值 c ? 1 6 。

(I)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)若
f ( x ) 有极大值 2 8

,试求

f ( x ) 在 ? ? 3, 3 ?

上的最小值。

20.(本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ?
PA ?

P
ABCD

的底面 A B C D 是正方形,
F A E B C (第 20 题) D

底面 A B C D , E , F 分别是 A C , P B 的中点。
//

(I) 证明: E F (Ⅱ) 若 P A

平面 P C D ; , 求 E F 与平面 P A C 所成角的大小。

? AB

21.(本题满分 15 分) 已知函数 (Ⅰ)当 a
f ( x ) ? ln x

,函数 g ( x )

?

a x

,设 F ( x )

? f (x) ? g (x)



? 1 时,求函数 F ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)若记以函数 y 线 l 的斜率 k
?

? F ( x )( 0 ? x ? 3 )

图象上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线为直线 l ,且切

1 2

恒成立,试求实数 a 的最小值。

22.(本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的顶点是坐标原点,对称轴是 x 轴,且点 P (1, ? 2 ) 在该抛物线上, A , B 是该 抛物线上的两个点。 (Ⅰ)求该抛物线的标准方程及焦点坐标; (Ⅱ)若直线 A B 经过点 M
( 4, 0 ) ,证明:以线段 A B

为直径的圆恒过坐标原点; ,求直线 A B 的方程。

(Ⅲ)若直线 A B 经过点 N ( 0 , 4 ) ,且满足 B N

????

???? ? 4 AN

3

18.解:首先 f ( x ) ? 2 cos

2

x?

3 sin 2 x ? a ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? a ? 1 -----------3 分

(1)所以最小正周期 T ? ? ,--------------2 分 单调递增区间为: [ ? (2)当 x ? [ ?
?

?

? k ? , ? k ? ] ( k ? Z ) -----------3 分 3 6

?

? 1 ? , ] 时, ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 6 2 6

所以 f ( x ) max ? 2 ? a ? 1 ? 3 ? a , f ( x ) min ? ? 1 ? a ? 1 ? a ,---------4 分 由已知得 3 ? a ? a ? 3 ? a ? 0 ;----------2 分

19. 解:因 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b. 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16. ?f′?2?=0, ? 故有? ? ?f?2?=c-16,
? ? ?12a+b=0, ?12a+b=0, 即? 化简得? ?8a+2b+c=c-16, ?4a+b=-8, ? ? 解得 a=1,b=-12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c; f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4.

20.(Ⅰ) 证明: 如图, 连结 BD, 则 E 是 BD 的中点.又 F 是 PB 的中点,所以 EF∥PD. 因为 EF 不在平面 PCD 内,所以 EF∥平面 PCD. ???????(6 分) (Ⅱ) 解: 连结 PE.因为 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC. 又 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BD.因此 BD⊥平面 PAC. 故∠EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角. 因为 EF∥PD,所以 EF 与平面 PAC 所成的角的大小等于∠EPD. 因为 PA=AB=AD, ∠PAD=∠BAD= 90 , 所以 Rt△PAD ≌ Rt△BAD.因此 PD=BD. 在 Rt△PED 中, sin∠EPD=
ED PD ? 1 2
?

,

∠EPD= 30 . ???????(14 分)

?

所以 EF 与平面 PAC 所成角的大小是 30 .

?

4

21.解:(Ⅰ)由已知可得 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ? 则 F ?( x ) ? 由 F ?( x ) ?
F ?( x ) ? 1 x 1 x 1 x ? 1 x
2

1 x

,函数的定义域为 ( 0 , ?? )

? ?

1 x x
2

? ?

x ?1 x x
2

1
2

x ?1
2

? 0 可得 F ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上单调递增,

?

x ?1 x
2

? 0 得 F ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 上单调递减

??6 分

(Ⅱ)由题意可知 k ? F ? ( x 0 ) ?
1 2

x0 ? a x0
2

?

1 2

对任意 0 ? x 0 ? 3 恒成立
1 2 x 0 ) max ? a
2

即有 x 0 ?

x 0 ? a 对任意 0 ? x 0 ? 3 恒成立,即 ( x 0 ?
2

令t ? x0 ? 则a ?
1 2

1 2

x0 ? ?
2

1 2

(x0 ? 2 x0 ) ? ?
2

1 2

( x 0 ? 1) ?
2

1 2

?

1 2

,即实数 a 的最小值为

1 2



22. 解: (1)抛物线 C:y =4x;-----------2 分 (2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程设为:x=ay+4,代入 y =4x 中,得: y ? 4 ay ? 16 ? 0 ,
2

2

2

则 y 1 y 2 ? ? 16 , y 1 ? y 2

? 4 a ,得 x 1 x 2 ?

y1 y 2 16

2

2

? 16 ,----------3 分

易得 OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即 OA ? OB ,所以以线段 AB 为直径的圆恒过原点;-----------3 分 (3)由已知直线 AB 的斜率存在,设其方程为:y=kx+4, 代入 y =4x 并化简得: k x ? ( 8 k ? 4 ) x ? 16 ? 0 ,------------2 分
2 2

2

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则由 BN ? 4 AN 得 ( ? x 2 , 4 ? y 2 ) ? 4 ( ? x 1 , 4 ? y 1 ) ,所以 x 2 ? 4 x1 ,-------2 分
? ? x 2 ? 4 x1 ? 2 16 ? 联立 ? x 1 x 2 ? 2 解得 k ? ? 2 或 k ? ,均满足 ? ? 0 ,-----------2 分 9 k ? 4 ? 8k ? ? x1 ? x 2 ? 2 k ?

所以直线 AB 的方程为: y ? ? 2 x ? 4 或 y ?

2 9

x ? 4 ;-----------1 分

5



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