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江苏省淮安市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理



淮安市2014-2015学年度第二学期期末高二调研测试
数 学 试 卷(理) 本试卷满分共160分;考试时间120分钟。 参考公式: 圆锥的体积公式: V圆锥

?

1 Sh ,其中 S 是圆锥的底面面积, h 是圆锥的高. 2

一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.只要求写出结果,不必写 出计算和推理过程.请把答案写在答题卡相应位置上. 1.复数 z ?
2i ( i 为虚数单位)的实部是 1? i

▲ ▲

. . ,若 a ∥ b ,则 a ? b = ▲ .

2.若命题 p : ?x ? R, x ? sin x ,则 ?p 为 3. 设向量 4.计算 ?
? ? a = ?1,3m ? 1, n ? 2 ?



b = ?2,3m ? 1,3n ? 4 ?

?1 2 ? ? ?1 2 ? ?? ?? ? 2 1 ? ? 3 ?4 ?
5





5.已知 ? x 2 ?

1 ? ? 的展开式中的常数项为__ ▲ 5 x3 ?


2? 的扇形,则该圆锥的体积 3

6.已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 ,圆心角为 为 ▲.
0 2 4 34 7.组合数 C34 被9除的余数是 ? C34 ? C34 ? ? ? C34





8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的渐近线方程是 y ? ? 3x ,且与抛物线 a 2 b2

y 2 ? 16 x 有共同焦点,则双曲线中心到准线的距离为_ ▲ _.

1

9.若从4名数学教师中任意选出2人,分配到4个班级任教,每人任教2个班级 ,则不同的任课方案有  ▲  种(用数字作答).

10.如图,桌面上摆有三串冰糖葫芦,第一串3颗,第二串2颗,第三串1颗。 小明每次从中取走一颗,若上面的冰糖葫芦取走 下面 的冰糖葫芦,则冰糖葫芦 A 恰好在第五次被取走,且 冰糖葫芦 B 恰好在第六次被取走的取法数为_ ▲__. 11.从装有编号为 1, 2,3,? , n ? 1 的 n ? 1 个球的口袋中取出 m 个球(
A B

后才能取

第10题图

0 ? m ≤ n, m, n ? N ),共有 Cnm?1 种取法。在这 Cnm?1 种取法中,不取1号球有
m C10 Cn 种取法;必取1号球有 C11Cnm ?1 种取法。所以 C1 Cn + C11Cnm ?1 = Cnm?1 ,即 m m ?1 m Cn ? Cn ? Cn k m ?1 成立。试根据上述思想,则有当 1 ≤≤≤ m 1 m ?1 m?2 m?k Cn ? Ck Cn ? Ck2 Cn ? ? ? Ckk Cn =

0

m

n , k , m, n ? N 时,




1 2

12.投掷一枚均匀硬币,则正面或反面出现的概率都是 ,反复这样的投掷,

数列 {an } 定义如下: an ? ? 且 S6 ? 0 的概率为 ▲ .

?1 ??1

第次投掷出现正面 n 第次投掷出现反面 n

,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 S2 ? 0 ,

13.若多项式 x3 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a2 = 14.已知函数 f ( x) ? x3 ?
1 3





m ?1 2 1 x ? 2 ? 在 [1, ??) 上单调递增,当实数 m 取得最 2 x

小值时,若存在点 Q ,使得过点 Q 的直线与曲线 y ? f ( x) 围成两个封闭图形时 ,这两个封闭图形的面积总相等,则点 Q 的坐标为 ▲ .

二.解答题:本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.请把答案写在答题卡相应位置上. 2

15.

?1? 已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =8及其对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵M ?1?
对应的变换将点 A?? 1,2?变换成 A??? 2,4 ?, (1)求矩阵 M ; (2)设直线 l 在 M ?1 对应的变换作用下得到了直线 m : x ? y ? 6 ,求 l 的方程 。

1 1 1 1 )(n ? N? ) , g (n) ? 3 3n ? 1(n ? N? ) 16.已知 f (n) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? 1 4 7 3n ? 2

. (1) 当 n ? 1,2,3 时,分别比较 f (n) 与 g (n) 的大小(直接给出结论); (2) 由(1)猜想 f (n) 与 g (n) 的大小关系,并证明你的结论.

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,

P

AD // BC , CD =13, AB =12, BC =10, AD =5, PD =8,
点 E , F 分别是 PB, DC 的中点, (1)求证: EF //平面 PAD ; (2)求 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值。
C

E D F
第17题图

A

B

3

18.某种产品是经过 A, B, C 三道工序加工而成的, A, B, C 工序的产品合格率
3 2 4 分别为 , , ,已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工的产品都 4 3 5

合格时产品为一等品;有两道合格时为二等品;其他的为废品,不进入市场 。 (1)求加工一件产品为二等品的概率; (2)设X为加工一件产品工序中合格的次数,求X的分布列和数学期望; (3)正式生产前先试生产2件产品,求这2件产品都为废品的概率(用分数作 答)。

4

19. (本小题满分16分) 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F2 ,过点 F2 作垂直 a2 b2
y

于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点, 斜率为
1 . 2

直线 A1 M 的 M

(1)求椭圆的离心率;

A1

O

F2

x
N

(2)若 ?A1 MN 的外接圆在 M 处的切线与 椭圆相交所得弦长为
5 ,求椭圆方程. 7

第19题图

20. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax (a ? R ) ,
1, ln 2 ? 1?,求曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线方程 (1)若曲线 y ? f ( x) 过点 P?

; (2)讨论 f ( x) 在定义域上的单调性;
1 (3)是否存在常数 a ? N ,使得 a ≥ (1 ? ) x 对任意正实数 x 都成立?若存在, x

试求出 a 的最小值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

5

2014-2015学年度高二调查测试 数学(理)参考答案与评分标准 一、填空题 1. ?1 2. ?x ? R, x ? sin x 3.18

?5 ?6 ? 4. ? ? ?1 0 ?
10.12

5.2

6.

2 2 ? 3

7.8

8.1

9.72

m 11. Cn ?k

12.

2 5

13.42 二、解答题

14. ?0, 2 ?

?a b ? ? a b ? ?1? ?1? ?a ? b ? 8 15.(1)设M= ? ,则根据题意有 ? ……2 ? 8 ? ? ,即 ? ? ? ? ? ?c d ? ? c d ? ?1? ?1? ?c ? d ? 8 ? a b ? ? ?1? ? ?2 ? ?? a ? 2b ? ?2 ………………………………………… 分? ? ? ? ,即 ? ? ? ? ?c d ? ? 2 ? ? 4 ? ? ?c ? 2d ? 4
………4分

?6 2? 联立方程解得,M= ? ? ,……………………………………………………… ?4 4?
………6分 (2)因为直线 l 在 M ?1 对应的变换作用下得到了直线 m , 所以直线 m 在 M 对应的变换作用下得到直线 l 。………………………………… ………8分 所以直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 A 对应的变换作用下所得曲线的方程为直线 x ? 3 .

6

设点 ( x, y ) 为直线 m 上任意一点,其在 M 对应变换作用下点为 ( x ', y ') ,

? x ? ? x? ? ? 6 2 ? ? x ? ? 6 x ? 2 y ? ? x? ? 6 x ? 2 y ,即 ? ,……………………1 T :? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? y ? ? y?? ? 4 4 ? ? y ? ? 4 x ? 4 y ? ? y? ? 4 x ? 4 y
0分
1 1 ? x ? x? ? y ? ? ? 4 8 所以 ? ………………………………………………………………… ? y ? ? 1 x? ? 3 y ? ? 4 8 ?

……12分 代入得: x '? y ' ? 12 ,所以 l 方程为直线 x ? y ? 12 .…………………………… ………14分 16.(1)当 n ? 1 时, f (1) ? 2 , 当 n ? 2 时, f (2) ?
5 , 2

g (1) ? 3 4 , f (1) ? g (1) , g (2) ? 3 7 , f (2) ? g (2) ,

当 n ? 3 时, f (3) ? 。………………4分 (2)猜想: f (n) ? g (n)

20 , g (3) ? 3 10 , 7

f (3) ? g (3)

1 1 1 1 ) ? 3 3n ? 1 .…6分 ,即 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? (n ? N ?) 1 4 7 3n ? 2

下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 时,上面已证. …………………………………………7分
1 1 1 1 ) ? 3 3k ? 1 ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即 (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? 1 4 7 3k ? 2

则当 n ? k ? 1 时, 7

1 1 1 1 1 1 f (k ? 1) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )? (1 ? )(1 ? ) ? 3 3k ? 1(1 ? ) ……10分 1 4 7 3k ? 2 3k ? 1 3k ? 1 ? 3 3k ? 1 3k ? 4 3k ? 4 ? 3 3k ? 1 (3k ? 1) 2

因为 3 (3k ? 1) 2 ? 3 (3k ? 4) 2 ,所以

3k ? 4
3

(3k ? 1)

2

? 3 3k ? 4 ? g (k ? 1) ,……………

…13分 所以,当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综上可知:对 n ? N * ,猜想均成立。……………………………………………… ………14分 17.取 CB 的中点 G ,连结 DG ,因为 AD // BG 且 AD = BG ,所以四边形
ABGD 为平行四边形,所以 DG ? AB ? 12 ,又因为 AB ? AD ,所以 DG ? AD

,又 PD ? 平面 ABCD , 故以点 D 原点建立如图所示的空间直角坐标系。…………2分 因为 PD ? 8, AD ? 5, BC ? 10 ,所以有 D ?0, 0, 0 ? , P ?0, 0,8 ? , B ?12,5, 0 ? , C ?12, ?5, 0 ? ,因为 E , F 分别为 DC , PB 的重点,
? ? ? 所以 E ? ? 6, ? , 0 ? , F ? 6, , 4 ? , ? 5 2 ? ? 5 2 ?

z
P

F D E A y

(1) 因为 PD ? 平面 ABCD , DG ? 平面 ABCD ,所 以 PD ? DG ,又因为 DG ? AD , AD ? PD ? D , AD, PD ? 平面 PAD ,所以 DG ? 平面 PAD , C ???? 所以 DG ? ?12, 0, 0 ? 为平面 PAD 的一个法向量,……… 5分 8

G

B

x

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 又 EF ? ?0,5, 4 ? , EF ? DG ? 0 ,所以 EF ? DG ,

又 EF ? 平面 PAD ,所以 EF //平面 PAD ;…………7分 ? (2)设平面 PAD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ? ??? ? ? ??? ? ? ? ?12 x ? 5 y ? 0 ?n ? DB ?n? DB ? 0 所以 ? ? ??? ,即 ? , ? ,即 ? ? ??? ? 8 z ? 0 n ? DP n ? DP ? 0 ? ? ? ? ?

? 所以 n ? (5, ?12, 0) …………10分

??? ? ? ??? ? ? ?60 EF ?n ? ? = 所以 cos ? EF , n ?? ??? ,…………………………………………… | EF || n | 13 41
……13分 所以 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值为 ………14分 18.(1)设“加工一件产品为二等品”为事件 A ,
3 2 1 3 1 4 1 2 4 13 则 P ? A? = ? ? + ? ? + ? ? = , 4 3 5 4 3 5 4 3 5 30 60 41 ………………………………… 533

答:加工一件产品为二等品的概率为 ………4分 (2)
X P

13 。……………………………………… 30

0
1 60

1
3 20

2
13 30

3
2 5

…………………………………………………………………………… ………10分 9

E ?X ? ?

133 ,………………………………………………………………… 60

………12分 (3)生产一件产品为废品的概率为 P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1? ? ,
1 。……………………………………………… 36
1 6

所以2件产品都为废品的概率为 ………16分

19.(1)因为 F2 为椭圆右焦点,且 MF2 ? x 轴,所以 M (c,

b2 ) a

b2 1 1 又因为左顶点 A1 (?a,0) ,直线 A1 M 的斜率为 .所以 a ? a?c 2 2
……………………2分 将 b 2 ? a 2 ? c 2 代入上式并整理得 所以椭圆离心率 e ?
1 2 a?c 1 ? 1 ? e ? (或 a ? 2c ), a 2

,…………………………………………………………………6分
x2 y2 (2)由(1)知 a ? 2c , b ? 3c , 椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 4c 3c

所以 A1 (?2c,0) M (c,

3c ) ,设 ?A1 MN 外接圆圆心为 P ( x0 ,0) , 2

则 PA1 ? PM ,即 ( x0 ? 2c) 2 ? ( x0 ? c) 2 ? ( 解得: x0 ? ?
c 8

3c 2 ) , 2

……………………………………………………………………8分 10

所以 k PM

3c 4 ? 2 ? c 3 c? 8

………………………………………………………………10分 所以 ?A1 MN 外接圆在 M 处切线斜率为 ?
y? 3c 3 ? ? ( x ? c) , 2 4 3 9c 即 y ? ? x ? ,与椭圆方程 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 联立整理得 4 4
7 x 2 ? 18cx ? 11c 2 ? 0 ,

3 ,则该切线方程为 4

解得 x1 ? c, x2 ?

11c 11 15 ,所以 y1 ? c, y2 ? c , 7 14 7
2 2

所以弦长 MC ? ?x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ……………14分

5 ? 4 ? ?3 ? ? ?? c? ? ? c? ? c 7 , ? 7 ? ?7 ?

2

2

又 MC ? ,所以 c ? 1 , 所以椭圆方程为 ………………………16分

5 7

x2 y2 ? ?1 4 3

20.(1)由 y ? f ( x) 过点 P ?1, ln 2 ? 1? 知 f (1) ? ln 2 ? a ? ln 2 ? 1 ,所以 a ? 1 ,… …1分 因为 f '( x) ? ……3分
1 1 所以切线方程为 y ? ? x ? ln 2 ? ,……………………………………………… 2 2 1 1 ? 1 ,所以 f '(1) ? ? ,…………………………………………… x ?1 2

……4分 11

(2)因为 f '( x) ?
ax ? 1 ? a ,

1 1 ? ax ? a ?a ? ,令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? ax ? a ? 0 ,即 x ?1 x ?1

①当 a ? 0 时,

f ( x) 在(-1, ?? )单调递增,………………………………………5分
②当 a ? 0 时, f ( x) 在(-1, ……7分 ③当 a ? 0 时,因为 ……9分
? 1? a ? 综上,当 a ≤ 0 时, f ( x) 在 ??1, ?? ? 单调递增;当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? ?1, ? a ? ?

1? a 1? a , ??) 单调递减,…… )单调递增,在 ( a a

1? a ? ?1 ,所以 f ( x) 在 ??1, ?? ? 单调递增,……………… a

1? a , ??) 单调递减。 单调递增,在 ( a

…………………………………………………………10分 (3)由(2)知当 a ? 1 时, f ( x) 在 ??1, 0 ? 内单调递增,在 (0, ??) 内单调递减 ,所以当

x ? (0, ??) 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即当 x ? (0, ??) 时, ln( x ? 1) ? x 恒成立,……
12分
1 1 1 1 代换 ln( x ? 1) ? x 中的 x 得, ln( ? 1) ? ,所以 x ln(1 ? ) ? 1 , x x x x

12

1 1 即 ln(1 ? ) x ? 1 ,所以 (1 ? ) x ? e ,……………………………………………… x x

………14分
1 9 取 x ? 2 时, (1 ? ) x ? ? 2 ,……………………………………………………… x 4

……15分 所以 amin ? 3 ………………………………………………………………………………16分

13



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