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12-函数的应用



2.10 函数模型及其应用
教学目标 重点:实际问题的情景建立函数模型,结合对函数性质的研究给出问题的解答. 难点:知识分析、研究身边的问题,启发引导学生数学地观察世界、感受世界. 能力点:掌握解应用题的一般步骤和建模方法. 教育点:三种增长型函数之间增长速度的比较. 自主探究点:利用哪一个函数模型进行建模解题. 易错点:在单位的换算时同学们不注意容易犯错. 学法与教具

1.学法:讲授法、练习法. 2.教具:直尺、投影仪. 一、 【知识结构】 一次函数 指数函数 函 数 模 型 及 其 应 用 几种不同增长 的函数模型 对数函数 幂函数

一次函数、 二次函数模型

函数模型的应用举例

分段函数模型

二、 【知识梳理】 1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型

指数函数、幂函数模型

函数解析式

f ( x) ? ax ? b(a, b为常数,a ? 0)
f ( x) ? k ? b(k , b为常数,k ? 0) x

二次函数模型

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c为常数,a ? 0)

指数函数模型

f ( x) ? ba x ? c (a, b, c为常数,b ? 0, a ? 0且a ? 1)

对数函数模型

f ( x) ? b log a x ? c (a, b, c为常数,b ? 0, a ? 0且a ? 1)
f ( x) ? axn ? b(a, b为常数,a ? 0)

幂函数模型 (2)三种增长型函数之间增长速度的比较

①指数函数 y ? a x (a ? 1) 与幂函数 y ? xn (n ? 0) ,在区间 (0, ??) ,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定 范围内 a 会小于 x ,但由于 y ? a x 的增长速度快于 y ? xn 的增长速度,因而总存在一个 x0 ,当 x ? x0 时
x n

有a ? x .
x n

②对数函数 y ? loga x(a ? 1) 与幂函数 y ? xn (n ? 0) ,对数函数 y ? loga x(a ? 1) 的增长速度,不论 a 与

n 值的大小如何总会慢于 y ? xn 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0 ,使 x ? x0 时 有
log a x ? xn .
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此 在 (0, ??) 上,总会存在一个 x0 ,使 x ? x0 时有 a x ? xn ? loga x . 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模 型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 三、 【范例导航】 例 1.某企业生产 A , B 两种产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资成正比,其关系如图 1;

B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润和投资单位:万元).

(1)分别将 A , B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A , B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问: 如果你是厂长, 怎样分配这 18 万元投资, 才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【分析】从题干内容和图形提供的信息,我们很容易理清数量关系,一是正比例函数关系,二是与平方根 成正比.设出解析式 f ( x) ? k1x, g ( x) ? k2 x 即可解题. 【解答】(1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元 ( x ? 0) ,所获利润分别为 f ( x), g ( x) 万元,由题意可设

f ( x) ? k1x, g ( x) ? k2 x ,∴根据图象可解得 f ( x) ? 0.25x( x ? 0), g ( x) ? 2 x ( x ? 0) .
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6, f (9) ? 2.25, g (9) ? 2 9 ? 6 .∴总利润 y ? 8.25(万元). ②设 B 产品投入 x 万元, A 产品投入 (18 ? x) 万元,该企业可获总利润为 y 万元 A , B 则y? 则y?

1 (18 ? x) ? 2 x , (0 ? x ? 18) , 令 x ? t , t ? ?0,3 2 ? ? ? 4 1 2 1 34 34 (?t ? 8t ? 18) ? ? (t ? 4) 2 ? ? 8.5 ,此时 x ? 16 , 18 ? x ? 2 . .∴当 t ? 4 时, ymax ? 4 4 4 4

∴当 A , B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企业获得最大利润 8.5 万元. 【点评】在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变 量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0),构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求 解.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利 用二次函数图象与单调性解决. 例 2.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化 碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的

?1 3 2 ? 3 x ? 80 x ? 5040 x, x ? ?120,144? ? 函数关系可近似地表示为 y ? ? , 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的 ? 1 x 2 ? 200 x ? 80000, x ? ?144,500? ?2 ?
化工产品价值为 200 元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当 x?? 200,300? 时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少 需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【分析】本题主要是分段函数分别求最值,尤其是第二问一个是利用二次函数求最值;另一个时利用基本 不等式求最值. 比较综合,计算量也比较大. 【解答】(1)当 x?? 200,300? 时,设该项目获利为 s ,

1 1 ?1 ? 则s ? 200 x ? ? x 2 ? 200 x ? 80000 ? ? ? x 2 ? 400 x ? 80000= ? (x ? 400) 2 2 2 ?2 ?
所以当 x?? 200,300? 时, s ? 0 ,因此该单位不会获利.当 x ? 300 时, s 取得最大值-5 000, 所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损. (2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:

?1 2 x ? 80 x ? 5040, x ? ?120,144? y ?3 ? ?? . 80000 x ?1 x? ? 200, x ? ?144,500? ?2 x ?

① 当x ? ?120,144?时, ? 所以当 x ? 120 时,

y x

1 2 1 x ? 80 x ? 5040= (x ? 120) 2 ? 240 , 3 3

y 取得最小值 240. x

②当 x??144,500? 时, 当且仅当

y 1 80000 1 80000 ? x? ? 200 ? 2 x ? ? 200 ? 200 , x 2 x 2 x

1 80000 y x? 时,即 x ? 400 时, 取得最小值 200. 2 x x

因为 200<240,所以当每月的处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 【点评】本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理量在不同范围内,处理的成本对应的函数解 析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值,然后将这些区间内的最值进行比较确定最 值. 变式训练:某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元.某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两户该月用水量分别为 5 x ,3 x (吨). (1)求 y 关于的 x 函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

4 ? 14.4 x, 0 ? x ? ? 5 ? 4 4 ? ?x? , 答案:(1) y ? ? 20.4 x ? 4.8, 5 3 ? 4 ? ? 24 x ? 9.6, x ? 3 ?
(2)甲户用水量为 5x =5×1.5=7.5 吨,付费 s1 =4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x =4.5 吨,付费 s 2 =4×1.8+0.5×3=8.70(元). 例 3. 某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人); (3)计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年); (4)如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少? ( 1.012 ? 1.113,1.012 ? 1.127 , lg1.2 ? 0.079,lg 2 ? 0.3010 , lg1.012 ? 0.005,lg1.009 ? 0.0039 )
9 10

【分析】有题干可知是考察指数函数模型,计算量较大,由于高考不让使用计算器,所以在题干中给出了 一些参数数据以便参考,注意精确度. 【解答】(1)1 年后该城市人口总数为: y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%), 2 年后该城市人口总数为: y ? 100 ? (1 ? 1.2%) ? 100 ? (1 ? 1.2%) ?1.2% ? 100 ? (1 ? 1.2%) .
2

3 年后该城市人口总数为: y ? 100 ? (1 ? 1.2%)2 ? 100 ? (1 ? 1.2%)2 ?1.2% ? 100 ? (1 ?1.2%)3 .

x 年后该城市人口总数为: y ? 100 ? (1 ? 1.2%) x .
(2)10 年后,人口总数为: 100 ? (1 ? 1.2%)10 ? 112.7 (万人). (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人, 即 100 ? (1 ? 1.2%) x ? 120 , x ? log1.012

120 ? log1.012 1.20 ? 16 (年). 100

(4)由 100 ? (1 ? x%)20 ? 120 ,得 (1 ? x%)20 ? 1.2 , 两边取对数得 20lg(1 ? x%) ? lg1.2 ? 0.079 ,所以 lg(1 ? x%) ?

0.079 ? 0.00395 , 20

所以 1 ? x% ? 1.009 ,得 x ? 0.9 , 即年自然增长率应该控制在 0.9% . 【点评】此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型和幂函数模型的形式.解题时,往往用到 对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 变式训练:已知某物体的温度 ? (单位:摄氏度)随时间 t (单位:分钟)的变化规律是:

? ? m ? 2t ? 21?t (t ? 0, 且m ? 0) .
(1)如果 m ? 2 时,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度; (2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围. 答案:(1)经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)当物体的温度总不低于 2 摄氏度时, m 的取值范围是 ? , ?? ? . 四、 【解法小结】 1.解答数学应用题关键有两点:一是认真审题,读懂题意,理解问题的实际背景,将实际问题转化为数 学问题; 二是灵活运用数学知识和方法解答问题, 得到数学问题中的解, 再把结论转译成实际问题的答案. 2.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,正确理解题意,选择适当的函数模型. 3.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 4.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 五、 【布置作业】 1.某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元售出时,每天可卖出 60 个.商店经理到市场上做了一番调 查后发现,若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上)每提高 1 元,则日销售量就减少 5 个;若将这种 商品的售价(在每个 18 元的基础上)每降低 1 元,则日销售量就增加 10 个.为了每日获得最大利润,则商 品的售价应定为 ( A.10 元 ) B.15 元 C.20 元 D.25 元

?1 ?2

? ?

2.某电信公司推出两种手机收费方式: A 种方式是月租 20 元,

B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t (分钟)
与打出电话费 s (元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差 ( )

A.10 元

B.20 元

C.30 元

D.

40 元 3

3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析 每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x( x ? N *) 为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时, 其营运的平均利润最大 A.3 B.4 C.5 ( ) D.6

4、 (2012 江苏) 如图, 建立平面直角坐标系 xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米. 某 炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐 标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方 20

答案:1.C 2.A 3.C 4.(1)炮的最大射程是 10 千米.(2)当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 六、 【教后反思】 1.本学案主要特点是在选题时考虑到学生对函数应用题畏惧以及学生本身再解应用题时水平也不是很高 所以三个例题由简入深,由易入难;先让学生体会到成功的乐趣,然后再加深. 2.本案的缺点就是有些例题和变式训练的解答过程中由于纸张的限制不够详细具体,须有老师和同学们自 己计算一下.



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