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绵阳市高中2013级第三学期期末教学质量测试理科数学答案



高中 2013 级第三学期末教学质量测试
数学(理科)试题参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1~5 AADCD 6~10 BCCCB 14. 3 ? 1 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.(2,1,3) 12.18 13.180 15.①②④

三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.

?2 x ? y ? 4 ? 0, ? x ? 1, 16.解: (1)由 ? 解得 ? ? x ? y ? 5 ? 0, ? y ? 6,
即交点坐标为(1,6). …………………………………………………………………2 分 ∵ 直线 l1:x+y-6=0 的斜率为 k1=-1, ∴ 直线 l 的斜率为 k=-1, ∴ 直线 l 的方程为 y-6=-(x-1),即 x+y-7=0.………………………………………5 分 (2)由题知,

a ?1? 7 1 ?1
2 2

?

? 7 ? (?6) 12 ? 12

, ……………………………………………8 分

整理得|a-6|=1, 解得 a=7,或 a=5. …………………………………………………………………10 分 17.解: (1)补全的茎叶图如右. 甲队 9 9 5 3 1 0 7 3 2 1 3 4 5 6 7 6 0 7 6 4 6 乙队 0 4 0

……………………………………………………………3 分 乙队的中位数为(47+50)÷2=48.5 分. ………………………………………………4 分 (2)甲队中得分不小于 50 分的有 4 场,乙队中得分不小于 50 分的有 5 场, ∴ 各从中抽取一场进行比较,共有 20 种情况.……………………………………7 分 其中,甲的得分大于乙的得分仅有取到乙的得分为 50 的情况,共 4 种情况. ∴ 所求的概率为

4 1 ? . …………………………………………………………10 分 20 5
高二数学(理科)答案第 1 页(共 3 页)

18.解: (1)圆 C 的方程可化为(x+1)2+y2=4,即圆心为(-1,0),半径为 r=2. 若过点 P 的直线斜率不存在,即 x=1,与圆 C 相切,满足条件;………………1 分 若过点 P 的切线斜率存在,设为 k, 则切线的方程为 y-3=k(x-1),即 kx-y-k+3=0, ∴

?k ?0?k ?3 k ?1
2

? 2 ,解得 k=

5 . 12

∴ 切线方程为 5x-12y+31=0. 综上,所求的切线方程为 x=1 或 5x-12y+31=0.……………………………………4 分 (2)假设存在直线 l,设方程为 y=x+b, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 OA⊥OB 有

y1 y2 ? ? ?1 ,即 x1x2+y1y2=0. x1 x2

? y ? x ? b, 联立 ? 2 消去 y 整理得 2x2+(2b+2)x+b2-3=0, 2 ? x ? y ? 2 x ? 3 ? 0,
∴ ? ? (2b ? 2)2 ? 4 ? 2 ? (b2 ? 3) ? ?4b2 ? 8b ? 28 ? 0 ,得 1 ? 2 2 ? b ? 1 ? 2 2 , x1+x2=-b-1,x1x2=

b2 ? 3 ,……………………………………………………………7 分 2 b2 ? 3 b 2 ? 2b ? 3 + b(-b-1)+b2= , 2 2

∴ y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2= ∴

b 2 ? 3 b 2 ? 2b ? 3 + =0, 2 2
1 ? 13 1 ? 13 ,或 b= , 2 2 1 ? 13 .………………………………………10 分 2
2

整理得 b2-b-3=0,解得 b= 经检验,b 值可取

存在所求直线 l,l 的方程为 y=x+

19.解: (1)由题意有 a2-b2=1,且 解得 a2=2,b2=1, ∴ 椭圆 C 的方程为

1 ? a2

(

2 2 ) 2 ?1, b2

x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………………………2 分 2

(2)设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 2 2

高二数学(理科)答案第 2 页(共 3 页)

当 x1=x2 时,M 点的坐标为(-1,0). 当 x1≠x2 时, ∵

x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1 , 2 2

两式相减得 ∴

( x1 ? x2 )( x1? x2 ) ? ?( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) , 2

2x y ? y2 ?? 1 . 2?2y x1 ? x2
y1 ? y2 y ? 0 ? , x1 ? x2 x ?1

又 AB 过 F 点,于是 AB 的斜率为 ∴

x y =? , 2y x ?1

整理得 x2+2y2+x=0. ∵ (-1,0)也满足上式, ∴ M 的轨迹方程为 x2+2y2+x=0.……………………………………………………6 分 (3)设 P(m,0),AB 的中点 M(a,b), 由(2)知,a2+2b2+a=0. ① ∵ |PA|=|PB|, ∴ PM⊥AB. ∴ kAB·kMP=-1,即

b b ? ? ?1 , a ?1 a ? m

整理得 b2=-a2-a+am+m,② 将②代入①中,得 a2+a-2am-2m=0, 化为 (a+1)(a-2m)=0, ∵ a≠-1, ∴ m=

a . 2

由 2b2=-a2-a>0(当 b=0 时,AB 与 x 轴垂直,不合题意,舍去),得-1<a<0, 于是 ? <m<0,即 P 点的横坐标的取值范围为( ? ,0).………………………10 分

1 2

1 2

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