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三角函数所有公式及基本性质[整理]


一、任意角的三角比
(一)诱导公式
sin(2kπ + α ) = sin α sin(α ) = sin α sin(π + α ) = sin α sin(π α ) = sin α sin(2π α ) = sin α cos(2kπ + α ) = cos α cos(α ) = cos α cos(π + α ) = cos α cos(π α ) = cos α cos(2π α ) = cos α tg (2kπ + α ) = tgα tg (α ) = tgα tg (π + α ) = tgα tg (π α ) = tgα tg (2π α ) = tgα ctg (2kπ + α ) = ctgα ctg (α ) = ctgα ctg (π + α ) = ctgα ctg (π α ) = ctgα ctg (2π α ) = ctgα

sin( sin(

π π
2

α ) = cos α + α ) = cos α

cos( cos(

π π
2

α ) = sin α + α ) = sin α

tg ( tg (

π π
2

α ) = ctgα + α ) = ctgα

ctg ( ctg (

π π
2

α ) = tgα

2 3π sin( α ) = cos α 2 3π sin( + α ) = cos α 2

2 3π cos( α ) = sin α 2 3π cos( + α ) = sin α 2

2 3π tg ( α ) = ctgα 2 3π tg ( + α ) = ctgα 2

+ α ) = tgα 2 3π ctg ( α ) = tgα 2 3π ctg ( + α ) = tgα 2

(二)关系结构图

sinα tgα
secα

cosα
ctgα
cscα

1

(三)三角比符号

+ _

+ _

_ _

+ +

_ +

+ _

sinα&cscα

cosα&secα

tgα&ctgα

—1—

二、三角恒等式
1.同角三角比的关系 1.同角三角比的关系 倒数关系 商数关系 平方关系
sin α csc α = 1 cos α sec α = 1

tgαctgα = 1

tgα =

sinα cos α

ctgα =

cosα sin α

sin 2 α + cos 2 α = 1

1 + tg 2α = sec 2 α

1 + ctg 2α = csc 2 α

2.两角和与差的三角比 2.两角和与差的三角比
两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正切公式 cos(α β ) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β ) = cos α cos β sin α sin β sin(α β ) = sin α cos β cos α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β tg (α β ) = tgα tgβ 1 + tgαtgβ tgα + tgβ 1 tgαtgβ

_

两角和的正切公式

tg (α + β ) =

A sin(α + )形式

a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ) cos = a a +b
2 2

, sin =

b a + b2
2

,0 ≤ < 2π

3.二倍角的三角比 3.二倍角的三角比
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α sin 2 α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α tg 2α = 2tgα 1 tg 2α

4.半角的三角比 4.半角的三角比
sin tg

α
2

=± =±

α 1 cos α 1 + cos α cos = ± 2 2 2
1 cos α sin α 1 cos α = = 1 + cos α 1 + cos α sin α

α
2

5.万能置换公式 5.万能置换公式
sin α = 2tg

α
2 cos α =

1 tg 2 1 + tg 2

α α
2 tgα = 2

2tg

α
2

1 + tg 2

α

2

1 tg 2

α
2

—2—

三、解斜三角形
1. 三角形的面积
S = 1 1 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2

2. 正弦定理
a b c (= 2 R) = = sin A sin B sin C

3. 余弦定理
a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C 或 cos A = b2 + c2 a2 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 cos B = cos C = 2bc 2ca 2ab

三角比补充概念或公式
sinα cosα tgα tgα |sinα |cosα |tgα |ctgα 一、 有关 sinα与 cosα,tgα与 tgα,|sinα|与|cosα|,|tgα|与|ctgα|大小比较 1.sinα cosα 下左图) 1.sinα与 cosα(下左图) 的终边在第一、第三象限的角平分线上时,sinα=cosα 当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时,sinα=cosα 的终边在此角平分线的上方,即图中区域① sinα>cosα 当α的终边在此角平分线的上方,即图中区域①时,sinα>cosα 的终边在此角平分线的下方,即图中区域② sinα<cosα 当α的终边在此角平分线的下方,即图中区域②时,sinα<cosα

2.tgα ctgα 上右图) 2.tgα与 ctgα(上右图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,tgα=ctgα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,tgα=ctgα 的终边在图中区域① 不包括坐标轴) tgα>ctgα ,tg 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时(不包括坐标轴) tgα>ctgα , 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时(不包括坐标轴) tgα<ctgα 的终边在图中区域② 不包括坐标轴) tgα<ctgα ,tg , |sinα |cosα 下左图) 3. |sinα|与|cosα|(下左图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|sinα|=|cosα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|sinα|=|cosα| 的终边在图中区域① |sinα|>|cosα 当α的终边在图中区域①或③时,|sinα|>|cosα| 的终边在图中区域② |sinα|<|cosα 当α的终边在图中区域②或④时,|sinα|<|cosα|

—3—

4. |tgα|与|ctgα|(上右图) |tgα |ctgα 上右图) 的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|tgα|=|ctgα 当α的终边在第一、第三象限,或第二、第四象限的角平分线上时,|tgα|=|ctgα| 的终边在图中区域① 不包括坐标轴) |tgα|>|ctgα ,|tg 当α的终边在图中区域①或③时(不包括坐标轴) |tgα|>|ctgα| , 的终边在图中区域② 不包括坐标轴) |tgα|<|ctgα ,|tg 当α的终边在图中区域②或④时(不包括坐标轴) |tgα|<|ctgα| , 二、三角中常用的手法 sinα+sinβ cosα+cosβ 分别平方后相加, cos(α (sinα+sinβ)与(cosα+cosβ)分别平方后相加,可以产生 cos(α-β) sinα+sinβ cosα+cosβ 分别平方后相加, sin(α (sinα+sinβ)与(cosα+cosβ)分别平方后相加,可以产生 sin(α+β) 三、 1.在非直角Δ 1.在非直角ΔABC 中,有 tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 在非直角

2.在 tgA,tgB, 存在的前提下,A+B+C=kπ 属于整数) 2.在 tgA,tgB,tgC 存在的前提下,A+B+C=kπ(k 属于整数)是 tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 的充要条 件。 四、 增补公式

1 sin 2α sin(α + β ) tgα + tgβ = cos α cos β sin(α β ) tgα tgβ = cos α cos β ctgα ctg 2α =
三角比的积化和差公式

sin α cos β = cos α sin β = cos α cos β =

1 2 1 2 1

[sin(α + β ) + sin(α β )] [sin(α + β ) sin(α β )]

[cos(α + β ) + cos(α β )] 2 1 sin α sin β = [cos(α + β ) cos(α β )] 2
三角比的和差化积公式

sin α + sin β = 2 sin sin α sin β = 2 cos

α +β α +β
2

cos

α β α β
2

sin 2 2 α +β α β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2

—4—

三角函数的性质 三角函数的性质
函 数

y = sin x

y = cos x

y = tgx

y = ctgx

定义域

R

R

x | x ∈ R且 π x ≠ kπ + 2 , k ∈ Z
R

x | x ∈ R且 x ≠ kπ , k ∈ Z
R

值 域

[ 1,1]
当x = 2kπ +

[ 1,1]
π
2

(k ∈ Z )时 (k ∈ Z )时

当x = 2kπ (k ∈ Z )时 当x = 2kπ + π (k ∈ Z )时 y min = 1
周期是 2kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 2π 偶函数

最 值

y max = 1; 当x = 2kπ y min = 1

y max = 1;

π
2

无最大值、 无最大值、最小值

无最大值、 无最大值、最小值

周期性 奇偶性 对 称 对 轴 称 对 性 称 点

周期是 2kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 2π 奇函数

周期是 kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 π 奇函数

周期是 kπ (k ∈ Z ) 最小正周期是 π 奇函数

x = kπ +

π
2

(k ∈ Z )

x = kπ (k ∈ Z )

(kπ ,0)(k ∈ Z )
递增区间

π kπ + ,0 (k ∈ Z ) 2
递增区间

(kπ ,0)(k ∈ Z )
递增区间

π kπ + ,0 (k ∈ Z ) 2

单调性

π π 2kπ 2 ,2kπ + 2 (k ∈ Z )
递减区间

[2kπ π ,2kπ ](k ∈ Z )
递减区间

π π kπ , kπ + 2 2 (k ∈ Z )
递减区间

π 3π 2kπ + 2 ,2kπ + 2 (k ∈ Z )

[2kπ ,2kπ + π ](k ∈ Z )
y = sin x

(kπ , kπ + π ) (k ∈ Z )

图 象

y = cos x

—5—

反三角函数性质
函数

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctgx

π π y = sin x 在 x ∈ , 的 2 2
定义 反函数叫反正弦函数,记作

y = cos x 在 x ∈ [0, π ] 的 反 函
数 叫 反 余 弦 函 数 , 记 作

π π y = tgx 在 x ∈ , 的 反 2 2
函数叫反正切函数,记作

y = arcsin x , x ∈ [ 1,1]
① 表示一个角的弧度数 意义

y = arccos x , x ∈ [ 1,1]

y = arctgx , x ∈ R

② 这个角的范围是 , 或[0,π ]或 , 2 2 2 2 ③这个角的正弦(或余弦或正切)等于 x 这个角的正弦(或余弦或正切)

π π

π π

定义 域 值域 单调 性 奇偶 性 常用 等式

[ 1,1]
π π 2 , 2
增函数 奇函数

[ 1,1] [0, π ]
减函数 非奇非偶函数

R

π π , 2 2
增函数 奇函数

arcsin( x) = arcsin x

arccos( x) = π arccos x
arcsin x + arccos x =

arctg ( x) = arctgx

π
2

y = arcsin x

图像

反三角函数其它常用等式
arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = π arccos x (1 ) arctg ( x) = arctgx arcctg ( x) = π arcctgx sin(arcsin x) = x( x ≤ 1) cos(arccos x) = x( x ≤ 1) (2) tg (arctgx) = x ctg (arcctgx) = x

—6—

π π x, 当x ∈ 2 , 2 时, arcsin(sin x) = x ′, 当x π , π 时, x ′ ∈ π , π , sin x = sin x ′ 2 2 2 2 arccos(cos x) = x, 当x ∈ [0, π ]时 x ′, 当x [0, π ]时, ( x ∈ [0, π ], cos x = cos x ′) (3) π π x, 当x ∈ 2 , 2 时, arctg (tgx) = x ′, 当x π , π 时, x ′ ∈ π , π , tgx = tgx ′ 2 2 2 2 x, 当x ∈ (0, π )时 arcctg (ctgx) = x ′, 当x (0, π )时, ( x ∈ (0, π ), ctgx = ctgx ′)

最简三角方程 最简三角方程
方程 解集

a >1
sin x = a

Φ

a =1

{x | x = 2kπ + arcsin a, k ∈ Z }

a <1

{x | x = kπ + (1)

k

arcsin a, k ∈ Z

}

a >1 cos x = a a =1 a <1
tgx = a

Φ

{x | x = 2kπ + arccos a, k ∈ Z } {x | x = 2kπ ± arccos a, k ∈ Z } {x | x = kπ + arctga, k ∈ Z }

解最简三角方程补充公式
(1) sin x = sin a x = a + 2kπ或x = (π a ) + 2kπ (k ∈ Z ) (2) cos x = cos a x = a + 2kπ或x = (2π a ) + 2kπ (k ∈ Z ) (3)tgx = tga x = a + kπ (k ∈ Z ) (4)ctgx = ctga x = a + kπ (k ∈ Z )

—7—



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