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高考数学知识点:导数的应用
一、函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. 1、f′(x)>0 与 f(x)为增函数的关系:f′(x)>0 能推出 f(x)为增函数,但反之不 一定.如函数 f(x)=x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0,所以 f′(x)>0 是 f(x) 为增函数的充分 不必要条件. 2、可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,但导数为 0 的点不一定是极值 点, 即 f′(x0)=0 是可导函数 f(x)在 x=x0 处取得极值的必要不充分条件.例如函数 y=x3 在 x=0 处有 y′|x=0=0,但 x=0 不是极值点.此外,函数不可导的点也可能 是函数的极值点. 3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函数值的比较; 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况, 是对函数在整个区间上的函数值的 比较. 二、函数的极值 1、函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小, f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 则点 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.

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2、函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都 大,f′(b)=0,而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函 数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 三、函数的最值 1、在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. 2、 若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大 值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小 值. 四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1、确定函数 f(x)的定义域; 2、求 f′(x),令 f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根; 3、把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由 小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; 4、确定 f′(x)在各个开区间内的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个 相应小开区间内的增减性. 五、求函数极值的步骤 1、确定函数的定义域; 2、求方程 f′(x)=0 的根;

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3、用方程 f′(x)=0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成 表格; 4、由 f′(x)=0 根的两侧导数的符号来判断 f′(x)在这个根处取极值的情况. 六、求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 1、求函数在(a,b)内的极值; 2、求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); 3、将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小 的一个为最小值.



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