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平面向量基本定理 学案1 高中数学 必修四 苏教版 Word版


第 6 课时 平面向量基本定理 【学习目标】 1.了解平面向量的基本定理及意义; 2.能用两个不共线向量表示一个向量; 3.能把一个向量分解为两个向量. 【知识要点】 ? 1.设 e1 , e2 是不共线向量, a 是平面内任一向量 M M N B C M e1 OA = e1 a e2 A O OM =λ 1 e1 ON =λ 2 e2 ? OC = a = OM + ON =λ 1 e1 +λ 2 e2 OB = e2 2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那 ? ? 么一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 注意几个问题: 1? e1 、 e2 不 ,且称它是这一平面内所有向量的 的形式, 我们 的数量 2? 一个平面向量用一组基底 e1 ,e2 表示成 ? ? 称它为向量 a 的分解,λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 3?当 e1 、 e2 所在直线 【课堂探究】 例 1.已知向量 e1 , e2 求作向量?2.5 e1 +3 e2 . ? 时,这种分解也称为向量 a 的 e1 e2 例 2.已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M , AB ? a , AD ? b ,试 用基底 a 、 b 表示 MC , MA , MB 和 MD 。 ??? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ???? ???? ???? ? 例 3.已知向量 e1 、e2 是平面 ? 内所有向量的一组基底, 且 a ? e1 ? e2 ,b ? 3e1 ? 2e2 , ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? c ? 2e1 ? 3e2 ,若 c ? ? a ? ?b (其中 ? , ? ? R )上,试求 ? , ? 的值。 例 4. 设 e1 、 e2 是 平 面 内 的 一 组 基 底 , 如 果 AB ? 3e1 ? 2e2 , BC ? 4e1 ? e2 , ?? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? CD ? 8e1 ? 9e2 ,求证: A , B , D 三点共线。 【针对训练】 1.判断题 ⑴非零向量 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行 ⑵向量 a 、 b 共线等价于存在实数 ?1 , ?2 ,使 ?1 a ? ?2 b ? ? ? ? 〔 〕 〕 〕 ? ? ? ? 〔 ⑶平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示 〔 2、已知 e1 ? 0 , ? ? R , a ? e1 ? ? e2 , b ? 2e1 ,若 a 、 b 共线, 则 a 、 b 关系为 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 3. 设 a, b 是两个不共线的非零向量,记 OA ? a, OB ? tb(t ? R) , OC ? 那么当实数 t 为何值时,A,B,C 三点共线? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? 1 ? ? ( a ? b) , 3 【巩固提升】 一、填空题 1.若 a 、 b 不共线,且 ? a ? ?b ? 0(?, ? ? R) ,则 ? ? __, ? ? __ 2. O 是矩形 ABCD 对角线

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