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立体几何十六



立体几何十六

1.在二面角α —l—β 中,A、B∈α ,D∈l,ABCD 为矩形,P∈β ,PA⊥α ,且 PA=AD,M、

N 依次是 AB、PC 的中点,
(1)求二面角α —l—β 的大小; (2)求证:MN⊥AB; (3)求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小.

2.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长 AB= 3 ,AA1=1,截面 AB1C1D 为正方形. (1)求点 B1 到平面 ABC1 的距离; (2)求二面角 B—AC1—B1 的正弦值.

答案: 1.(1)解:连结 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l,∴PD⊥l ∴∠PDA 是二面角α —l—β 的平面角.

由 PA=AD,有∠PDA=45°. 故二面角α —l—β 的大小为 45°. (2)证明:取 CD 的中点为 E,连结 ME、NE,则 EM∥AD,EN∥PD, ∴CD⊥ME,CD⊥NE, ∴CD⊥平面 MNE,又 AB∥CD ∴AB⊥平面 MNE,故 AB⊥MN. (3)解:取 PD 中点为 Q,连结 QA、QN,则 QN ∴QNMA 是平行四边形. ∴AQ∥MN ∴∠PAQ 是异面直线 PA 与 MN 所成的角. ∵△PAD 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线, ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成的角的大小为 45°. 2.解: (1)如图,
1 2

CD,而 AM

1 2

CD.

∵棱长 AB= 3 ,

AA1=1, AB1C1D 是正方形,

∴B1C1=AB1=2 ∵AB⊥平面 BB1C1C. ∴平面 ABC1⊥平面 BB1C1C. 作 B1H⊥BC1 于 H,则 B1H⊥平面 ABC1, ∴B1H 为点 B1 到平面 ABC1 的距离. 在 Rt△BB1C1 中 ∵BB1·B1C1=BC1·B1H. ∴B1H=
BB1 ? B1C1 1? 2 2 ? ? 5. BC1 1? 4 5

(2)作 HO⊥AC1,垂足为 O,则 B1O⊥AC1 ∴∠HOB1 是二面角 B—AC1—B1 的平面角,又 O 是正方形 AB1C1D 的对角线交点, ∴sinB1OH=
B1 H 10 ? B1O 5



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