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高一新课第五讲:一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法


重庆大东方学校高 2015 级初升高数学 (清北班) 暑期衔接教案第八、 九讲 (学生卷)

2012.7.16—7.17

第八、九讲:一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法
教学要求: 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)的解法基础上,掌握一元二次不等式的解法及其它的一些 简单的高次不等式和分式不等式的解法。 2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式等复杂不等式化归为整式不等式(组) 。 3.初步掌握含参不等式的解法,形成讨论思想,要注意它们的讨论依据的选取! 一、复习: 1.绝对值不等式常见类型的解法: (基本思想━━通过去绝对值转化为不含绝对值的不等式) 类型 (1) :fx () aa ?(

0 ) ? ? ? a ?f x () a ? ? gx ? () f ? x () gx () ?

; f ( x) ? a(a ? 0) ? f ( x) ? a或f ( x) ? ?a ;

a ? f ( x) ? b(0 ? a ? b) ? a ? f ( x) ? b或 ? b ? f ( x) ? ?a 。
类型(2) : fx () gx ?() ;

f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? ?g( x)或f ( x) ? g( x)
类型(3) :含多个绝对值的不等式常见解法━━零点分段法(特殊方法还有:函数图象法; 数轴法) (注意每种方法的要领) 类型 (4) :平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) (但去绝对值一般不要轻易采用平方法)
2 2

2.一元一次不等式的解法: 一元一次不等式

一元一次方程

一次函数

ax ? b ? 0 ? ax ? b

y ? ax ? b
y

a?0

解集 ? x x ? x0 ?

ax ? b ? 0 ? x0 ?
a?0
解集 x x ? x0

?

?

b a

x0
y

O

x

O

x0

x

a?0

b ? 0 ,解集 ? b ? 0 ,解集 R

y

b?0 O
b?0

x

注意:一元一次不等式含参时,要分一次项系数 a ? 0, a ? 0, a ? 0 及常数项 b 的符号讨论。 二、新课: 1.一元二次不等式的解法(型如 ax 一 元 二 次 不 等 式
2

? bx ? c ? 0(或 ? 0或 ? 0或 ? 0) )
一 元 二 次 函 数

一 元 二 次 方 程

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
(?)

ax ? bx ? c ? 0
2

y ? ax2 ? bx ? c

? ? b ? 4ac
2

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① ? ? 0 ,解集
1

?x x ? x 或x ? x ? (? x x ? x ? x ?)
2 1 2

二不等根 x1 ? x2

x1

x2

x

② ? ? 0 ,解集
1

? x x ? x , x ? R?
(?)

二相等根 x1 ? x2

x1
③ ? ? 0 ,解集

x

R (?)

无 实 根

注:对二次项系数 a ? 0 类似地可由数形结合求解集! (一)解简单的一元二次不等式 例 1.求下列不等式的解集:
2 2 2 2

x

(1) 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ; (2) ?3x ? 6 x ? 2 ; (3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 。

变式练习一: 解下列不等式:① ? x ? 3 ? 2 x ;
2

② x ?3 x ? 2 ? 0 。
2

变式练习二: 二次函数 y ? ax
2

? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表:
?2
0

x ?3
y
则不等式 ax 6
2

?1

0

1

2

3 0

4 6

?4

?6

?6

?4

? bx ? c ? 0 的解集是______________________。

(二)含参一元二次不等式的解法 例 2.解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0(a ? R) 。
2

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变式练习: 设方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则关于 x 的不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 的解集(用 x1 , x2 表示)为_________________________。
(三)一元二次不等式解法的逆向问题 例 3. 0 ? ? ? ? ,已知不等式 ax
2

? bx ? c ? 0 的解集为 ? x ? ? x ? ? ? ,求不等式

(a ? c ? b) x2 ? (b ? 2a) x ? a ? 0 的解集。

变式练习: (1) x

?

ax2 ? bx ? c ? 0 ? ? x ? ? x ? 2? ,则 x cx2 ? bx ? a ? 0 ? ________________。
? ?

?

?

1 3

?

?

?

2.一元高次不等式的解法 ━━ 序轴标根法 引入:解不等式 (3 ? x)( x ? 4) ? 0 。
(?)

递进:解不等式 (3 ? x)( x ? 4)( x ? 5) ? 0 。

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序轴标根法解一元高次不等式的步骤及注意事项: (1)分解因式成标准型: ( x ? ?1 )( x ? ? 2 )? ( x ? ? n ) ? 0 ;
(?)

(2)标根: ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ; (3)串线写解集:从最大根的右上方依 次串过每一个根,上方线遮住的 x 轴上的 实数代表 ( x ? ?1 )( x ? ?2 )?( x ? ?n ) ? 0

?

?1

? ?2

?
?

?n

?

x

的解集,下方线遮住的 x 轴上的实数代表 (含等号时端点也加等号) (注意重根情况怎么办?) ( x ? ?1 )( x ? ?2 )?( x ? ?n ) ? 0 的解集。 例 1.解不等式: (1) x( x ? 1)(1 ? x3 ) ? 0 ; (2) x( x ?1)( x ? 2)2 ( x2 ?1)( x3 ?1) ? 0 。

变式练习: 解不等式: (1) (2) ( x ? 4x ? 4x)(3 ? 2x ? x ) ? 0 ; ( x ? 4x) ? 2( x ? 4x) ?15 ? 0.
3 2 2 2 2 2

课后作业: 1.解关于 x 的不等式:
2 2 2 2 2 (1) ( x ? x ? 2)( x ? 1) ? 0 ; (2) x ? 3 x ? 4 ? x ? 1 ; (3) ( x ? 2 x ? 1)(2 x ? 3x ? 5) ? 0 ; 2 2 (4) ( x ?1)[( x2 ? 8x)2 ? 2( x2 ? 8x) ? 63] ? 0 ; (5) x ? 3 x ? 4 ? x ? 4 x ? 3 ;

(6) ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 120 。 2.(1)当 a ? b ? 0 时,不等式 (a ? x)( x ? b) ? 0 的解集是__________________________。 (2)设全集 U ? R, A ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 3 ? a ,若 5 ? B ,则(
2

?

?

?

?



A. A ? B ? U (3) 已知不等式 ax
2

B. CU A ? B ? U

C. A ? CU B ? U

D. CU A ? CU B ? U

? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? ? x ? ? , 则 a ? b 的值为______________。
?
2

?

(4)若不等式 ( x ? a)( x ? 4 x ? 3) ? 0 的解集是 x ?3 ? x ? ?1或x ? 2 ,则实数 a 的值为 __________________。 (5)若关于 x 的不等式 x ? ax ? 6a ? 0 有解,且解的区间长度不超过 5 个单位,则实数 a 的 取值范围是_________________________。
2

?

1 2

1? 3?

?

(6) (09 重庆卷理)不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围
2

为(


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A. (??, ?1] ? [4, ??)

B. (??, ?2] ? [5, ??)
2

C. [1, 2]

D. (??,1] ? [2, ??)

3.(1)已知关于 x 的不等式 ax

? bx ? c ? 0 的解集是 ? x x ? ? 或x ? ? ? ,求不等式
?

?

1 2

1? 3?

cx ? bx ? a ? 0 的解集。
2

(2)设不等式 5 ? x ? 7 x ? 1 与 ax2 ? bx ? 2 ? 0 同解,求 a、 b 的值。 课后作业答案: 1. (1) x ?1 ? x ? 2 ; (2) x x ? ?1或 ? 1 ? x ? 3或x ? 5 ; (3)? x ?1 ? x ? 1或1 ? x ?

?

?

?

?

? ?

5? ?; 2?

(4) x ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 7或x ? 9 ; (5) ? x x ? ?1或 ? 1 ? x ? (6) x x ? ?6或x ? 1 。 2.(1) x x ? ?b或x ? a ; (2)A; (3) ?14 ; (4) ?2 ; (5) ?25 ? a ? ?24或0 ? a ? 1; (6)A。 a ? ?4 ? ? 3. (1) x 2 ? x ? 3 ; (2) ? 。 ? ?b ? ?9

?

?

? ? ? ?

?

?

?

? 7 ? 57 ? 或x ? 7 ? ; 4 ? ?

?

?

?

3.分式不等式的解法(基本思想:转化为整式不等式(但不能轻易去分母) ) 分式不等式的解法:一般通过移项通分化为如下常见类型:

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ; (2) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ; g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) (3) ; (4) 。 ?0?? ?0?? g ( x) g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0
(1) 例 1.解下列不等式: (1)

x?2 x 2 ? 3x ? 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 ? 0 ? 1。 ; ( 2 ) ; ( 3 ) x2 ? x ? 1 x 2 ? 3x ? 10 3x 2 ? 7 x ? 2

例 2. 解下列不等式: (1)

x ? 4 ? x ?1 x ? 3 ? x ? 2 x3 ? x 2 ? 4 x ? 17 5 1 3 ? x ?1 ; ? ? ; (2) (3) 。 ? 2 x ? 4x ? 5 x ? 1 2(2 x ? 1) 2 x ?3 ? x ?2 x?4

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4.一元二次不等式含参问题及三个“二次”之间的关系 例 1.(1)已知关于 x 的不等式 (m2 ? 4m ? 5) x2 ? 4(m ?1) x ? 3 ? 0 对一切实数 x 恒成立,求实 数 m 的取值范围;

变式:对于(1)中的条件改为“解集为 R ” ,求实数 m 的取值范围。 ( 2)集 A ? x

?

x2 ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? ? x (x ? 2a )(x ? (a? 2))? 0 ? ,若 (CR A) ? B ? ? ,求

?

实数 a 的取值范围。

(3) 集A? x

?

2 x2 ?ax ? a 2? 13 ?0 , B ? x x 2? x 5 ? 6? 0 C , ?x x ? x 2 ? 8? 0

?

?

?

?

? ,满足

( A ? B) ? C ? ?,( A ? B) ? C ? R ,求实数 a 的值集;

(4)已知 A ? x x ? x ? 2 ? 0, x ? Z , B ? x 2 x ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0, x ? Z ,且
2 2

?

?

?

?

A ? B ? ??2? ,求实数 k 的取值范围。

变式:不等式 0 ? x ? mx ? 5 ? 3 恰好有一个实数解,求实数 m 的值集。
2

例 2. (1)已知集合 A ? {x | x2 ? ax ? 8 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2ax ? b ? 0} ,且 A ? B ? ?x | 4 ? x ? 9? , 求实数 a , b 的值;

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(2)已知集合 P ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, S ? {x | x 2 ? 2ax ? a ? 0} ,若 S ? P ,求实数 a 的取 值组成的集合 A 。

变式练习: 已知集合 A ? {x |

x?2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 3? x

(3)已知集合 A ? {x | x2 ? ax ? 8 ? 0} , B ? {x | x ? 2a ? 0} ,且 A ? B ? B ,求 a 的取值范围。

课后作业: 1.解下列关于 x 的不等式:

x3 ? x 2 ? 2 x 2 x 2 ? 3x ? 7 (2 x ? 1)( x 2 ? x ? 6) x x ? 1; ?0; ? 0; (1) ; (2) ( 3) 2 ( 4) ? x ? x ?1 2 x 2 ? 3x ? 1 x4 ?1 x ?1 x ?1 x ?2 x x ?1 ? 2 9 2 1 ?0; ? 5x ? 2 ; ? 0; (5) (6) 2 (7) (8) ? ; x?3 3 ? 2x x ? x ? 12 x 2
1 1 1 1 7 2 5x 5x ? ? ? (9) 2 ; (10) 2 (11) 。 ? ? 2 ?6 ? 0; x?4 x?5 x?6 x?3 x ? 2 x ?1 x ?1 x ?1
2.(1)若不等式 ax ? 2ax ? 3 ? 0 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 3 B. 0 ? a ? 3 C. a ? 0或a ? 3 D. a ? 3
2

2



ax ? 1 的解集是 ? x x ? 1或x ? 2? ,则实数 a 的值为_____________________。 x ?1 ( p ? 3) x ? 3 ? 3 对任意实数 x 恒成立。 (3) p 为何值时,不等式 ?12 ? x2 ? x ? 1 ? 9 ? (4)设集 A ? ? x ? 5x ? 2? , B ? x x 2 ? 2 x ? k 4 ? 1 ? 0 ,若 A ? B ,求实数 k 的取值 ? 3 ? 2x ?
(2)若不等式

?

?

范围。

(5)设集 A ? x

A ? B ? ? x 3 ? x ? 4? ,求 m 、n 的值。

?

x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? mx ? n ? 0, m、n ? N * ,若

?

?

?

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(6) 已知集合 A ? { y | y ? (a ? a ? 1) y ? a(a ? 1) ? 0}, B ? { y | y ?
2 2 2

若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

1 2 5 x ? x ? , 0 ? x ? 3}, 2 2

(7)设集 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x 2 x ? (2k ? 7) x ? 7k ? 0 , C ? x x ? m, m ? Z ,若
2 2

?

?

?

?

?

?

A ? B ?C ? ??3? ,求实数 k 的取值范围。
(8) (09 天津卷理 10)0 ? b ? 1 ? a ,若关于 x 的不等式 ( x ? b)2 > (ax) 2 的解集中的整数恰有 3 个,则( ) A. ?1 ? a ? 0 B. 0 ? a ? 1 C. 1 ? a ? 3 D. 3 ? a ? 6
2 2 (9)已知 M ? ( x, y ) | x ? 2 y ? 3 , N ? ?( x, y) | y ? mx ? b? ,若对于所有的 m ? R ,均

?

?

有 M ? N ? ?, 则实数 b 的取值范围是( A.[ ?

) C.( ?

6 6 ] , 2 2

B.( ?

6 6 ) , 2 2

2 3 2 3 ) , 3 3

D.[ ?

2 3 2 3 ] , 3 3

课后作业答案:

1.(1) x 0 ? x ? 1 ; (2) x x ? ?2或 ? 1 ? x ? 0 ; (3) x x ? ?4或x ? 2 ; (4) ? x ?2 ? x ?

?

?

?

?

?

?

?

? (6) ? x ?3 ? x ? ?2或2 ? x ? 4? ; (7) ? x ?4 ? x ? 0或0 ? x ? 4? ; (8) ? x x ? 2或x ? 3? ;
(9) ? x ?3 ? x ? ? 2或 ? 1 ? x ? ? 或

1 1 ? ? 1 3 3? (5) ? x ? x ? 或x ? ? ; 或 ? x ? 1或x ? 3? ; 2 2 5 2? ? ? 2 1 2 1 ? ? x ? 1或 2 ? x ? 3? ; 2 ?

?

? ? 1 1 ? ? 9 ? (10) ? x x ? ?2或 ? ? x ? 或x ? 2? ; (11) ? x x ? ?6或 ? 5 ? x ? ? 或 ? 4 ? x ? ?3? 。 2 2 2 ? ? ? ? ? ?m ? 5 ?m ? 6 ? m ? 7 1 10 10 ? ? ? ?x? 2. (1) B; (2) ; (3) p ? ?6 ; (4)? x ? (5)? ; 或? 或? ?; 2 5 5 n ? 4 n ? 8 n ? 12 ? ? ? ? ? ? ? (6) ? 3 ? a ? 3或a ? 2 ; (7) ?4 ? k ? 3 ; 2 2 2 2 2 (8)C 提示:由题得不等式 ( x ? b) > (ax) 即 (a ?1) x ? 2bx ? b ? 0 ,它的解应在两根 ?b b 2 2 2 2 2 ?x? 之间,故有 ? ? 4b ? 4b (a ?1) ? 4a b ? 0 ,不等式的解集为 或 a ?1 a ?1 b ?b ?b b b 0? ?x? ?x? ?1, 。若不等式的解集为 ,又由 0 ? b ? 1 ? a 得 0 ? a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ?b b ? ?2 ,即 2 ? ? 3 ,排除选项就选 C。 故 ?3 ? a ?1 a ?1 2 2 (9) 解法一:双 ? 法;解法二: M ? N ? ? 相当于点(0,b)在椭圆 x ? 2 y ? 3 上或它的
内部?

2b 2 6 6 ? 1, ?? ?b? 。故选 A。 3 2 2

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