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福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理



南安一中 2015~2016 学年度高二(上)期末考 数学(理)试卷

本试卷考试范围:立体几何、选修 2-2(导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引 入) 。试卷分第 I 卷和第 II 卷,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。请把答案写在答题卡上 。 .......... 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一.选择题(本大题共 1

2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求。 ) : 1.

? ?x ? 1?dx ? (
2 0

) C. 0 D. 2 ) D.第四象限错误!未

A. ? 1 2.复数

B. 1 错误!未找到引用源。

4 ? 3i 3 ? 4i

?i为虚数单位? 的共轭复数对应的点位于复平面内(
B.第二象限错误!未找到引用源。 C.第三象限

A.第一象限 找到引用源。

3.如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为(
2 2



A. ? 2

B. 1 错误!未找到引用源。

C. 2

D. 1或 ? 2 )

4.函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f ?(?1) ? 4 ,则 a 的值等于( 19 A. 3 16 B. 错误!未找到引用源。 3 ) 13 C. 3 10 D. 3

5.下列函数求导运算正确的个数为( ① 3 A. 1

? ?
x

?

? 1 ? 1 ? x ? x x x ? 3 log3 e ;② ?log 2 x ? ? ③ e ? e ;④ ? ? ? x ;⑤ ( x ? e )? ? e ? 1 x ln 2 ? ln x ?
x

?

? ?

B. 2 错误!未找到引用源。

C. 3

D. 4

6. 设函数 y ? f ( x) 的图像如右图, 则导函数 y ? f '( x) 的图像可能是下 图中的( )

1

7.如图,在长方体 ABCD-A1B1 C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为(
D1 C1 B1



A.

6 3

B.

2 6 5

C.

15 5

D.

10 5


A1

8. 若直线 y ? kx 与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 2 x 相切, 则 k 的值为 ( A.

D A B

C

3 2

B. 0或

3 错误!未找到引用源。 2

C. 2 或 ?

1 4

D. 2

2 9.若函数 f ( x) ? x ?

1 ln x ? 1 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 2

? 3? B. ?1, ? ? 2?

k 的取值范围 (

1,??? A. ?
10.若 f ( x ) ? x ? 2
2

C. ?1,?2?
1

?3 ? D. ? ,2 ? ?2 ?

?

1

0

f ( x )dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0



A. ?1

B. ?

1 3

C.

1 3

D.1

11 . 平 面 几 何 中 , 若 △ ABC 的 内 切 圆 半 径 为 r , 其 三 边 长 分 别 为 a, b, c, 则 △ ABC 的 面 积

S?

1 (a ? b ? c) ? r 。 类 比 上述 命 题, 若 三棱 锥 的 内切 球 半径 为 R , 其 四 个面 的 面积 分 别为 2

S1 , S 2 , S3 , S 4 , 猜想三棱锥体积 V 的一个公式。若三棱锥 P ? ABC 的体积 V ?
积均为 3 ,根据所猜想的公式计算该三棱锥 P ? ABC 的内切球半径 R 为(

2 2 ,其四个面的面 3


A.

6 6

B.

6 错误!未找到引用源。 3

C.

6 12

D.

6 4

12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))
2

处的切线方程是( A . 2x ? y ? 1 ? 0

) B. x ? 2y ?1 ? 0 错误!未找到引 用源。 C . x? y?2 ?0

D. 6 x ? y ? 7 ? 0 错误!未找到引用源。 第 II 卷(非选择题,共 90 分)

2

二.填空题( 共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) : 13.在空间直角坐标系中,点 A(?2,?1,4) 关于 y 轴对称的点的坐标为 14. .

?(
0

2

4 ? x 2 ? x)dx

的值等于

.

15.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处有极值 10,求 a ? b 的值为

.

16.若函数 f ( x) = x 2 ? x ? 2 x 2 ? ax ? b 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) 的最小值 是 .

?

??

?

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。): 17. (本小题 12 分)观察下列等式:

1 ?1
2?3? 4 ? 9

第一个等式 第二个等式 第三个等式 第四个等式

3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25

4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
照此规律下去: (Ⅰ) 写出第五个等式;

(Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.

18. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

19. (本小题12分) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA 1 ? 面ABC ,

BC ? AC , AC ? BC ? 1 ,

AA1 ? 2 ,点 D 、 E 分别为 AA1 、 B1C1 的中点。
(1)求三棱锥 C1 ? DBC 的体积 VC1 ? DBC (2)求证: A1 E ∥面 BC1 D

A B D1 C D1 D A1 A A1 1 A A1 A1

C1 E A1 B1 A A1 A1

B A A1

C A A1

3

(3) 求证:面 BC1 D ? 面 BCD

20. (本小题 12 分)某种商品每件进价 9 元,售价 20 元,每天可卖出 69 件.若售价降低,销售量 可以增加,且售价降低 x(0 ? x ? 11) 元时,每天多卖出的件数与 x 2 ? x 成正比.已知商品售价降低 3 元时,一天可多卖出 36 件. (Ⅰ)试将该 商品一天的销售利润表示成 x 的函数;(Ⅱ)该商品售价为多少元时一天的销售利 润最大?

21. (本小题 12 分)如图,在四棱柱 ABCD ?A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,∠DAB=60°,AB= 2CD=2,M 是线段 AB 的中点. (1)求证:C1M∥平面 A1ADD1; (2)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1= 3, 求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值. D B M f ( x) ?D x12 ? 2 C1 , D1 a ? 1 A1 , C B D1 C1 D1 A1 A1 D1 A1 C1 D1 A1

B1 D1 C1 D1 A1

22. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? ln x(a ? R ) . 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

B D1 C1 D1 A1

b?2 n?0 2

1 , (Ⅱ)当 a ? 0 时,设函数 g ( x) ? xf ( x) .若存在区间 [ m, n] ? [ , ??) ,使得函数 g ( x) 在 [m, n]
上的值域为 [k (m ? 2) ? 2, k (n ? 2) ? 2] ,求实数 k 的 取值范围.

4

南安一中 2015~2016 学年度高二(上)数学(理)期中考答案 一.选择题: 1~6 C D A D B D 二.填空题: 13. (2,?1,?4) 三.解答题: 17.解: (Ⅰ)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 13 ? 9
2

7~12 D C B B A A

14. ? ? 2

15. ? 7

16. ?

9 4



?2 分

(Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ?(3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 , ? 4 分 再用数学归纳法加以证明如下: (1)当 n ? 1 时显然成立; (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立, 即有 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (2k ? 1)
2

?5 分

?6 分

那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ?(3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1) ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2
2 而右边 ? [2(k ? 1) ? 1] 这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立.

? 11 分 ? 12 分

根据(1) (2)知,等式对任何 n ? N ? 都成立. 18. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1 ? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?3 分

1 1 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 2 (Ⅱ)? f ( x) ? ? x ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

?0 ? x ?

?5 分

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 则 g '( x) ? x x2 x2

?9 分

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函 数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

5

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ? 实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ; ? 12 分
19.解: (1)∵ AA 1 ? 面ABC ,∴ AA 1 ? BC , 又 BC ? AC ,且 AA 1 ? AC ? A ,∴ BC ? 面AC1 ∴BC 是三棱锥 B ? DCC1 的高。

1 1 1 ? ? CC1 ? AC ) ? BC ? VC1 ? DBC ? VB ? DCC1 ? ( 3 3 2
(2)设 C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz 所以 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

?4 分

A1(1,0,2) ,B1(0,1,2),C1(0,0,2).

1 ,0),D(1,0,1) 2 1 ( ? 1, , 0) 所以 A1 E = 2
因此 E(0, 设平面 BC1D 的一个法向量 n=(x,y,z),

?x ? 1 ?n ? BD ? 0 ?x ? y ? z ? 0 ? 由? 得: ? ∴?y ? 2 ?? y ? 2 z ? 0 ? z ? 1 ?n ? BC1 ? 0 ?
∴ n=(1,2,1) 此时 A1 E ? n ? ?1 ? 1 ? 0 。∴ A1 E ?

A1 B D1 C D1 D A1 A A1 1 A A1 A1

E B1 A A1 A1

C1 A1

B A A1

C A A1

n
∴ A1 E ∥面 BC1 D (3)设平面 BCD 的一个法向量 m=(x,y,z), 由?

?8 分

?n ? BD ? 0 ?x ? z ? 0 得: ? ∴ m=(1,0, ? 1 ) ?n ? BC ? 0 ?y ? 0

此时 m ? n=(1,0, ? 1 ) ? (1,2,1)=0 ∴m ? n 得证:面 BC1 D ? 面 BCD
2 2

? 12 分

20.解: (1)由题意可设,每天多卖出的件数为 k ( x ? x) ,∴ 36 ? k (3 ? 3) ,∴ k ? 3 又每件商品的利润为 (20 ? 9 ? x) 元,每天卖出的商品件数为 69 ? 3( x ? x)
2

∴该商品一天的销售利润为

f ( x) ? (11 ? x)[69 ? 3( x 2 ? x)] ? ?3 x 3 ? 30 x 2 ? 36 x ? 759(0 ? x ? 11)
(2)由 f ( x) ? ?9 x ? 60 x ? 36 ? ?3(3 x ? 2)( x ? 6)
' 2

6

令 f '( x) ? 0 可得 x ?

2 或x ?6 3

当 x 变化时, f '( x) 、 f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

0

2 (0, ) 3


2 3
0

2 ( ,6) 3
+

6 0 极大值 975

(6,11)
— ↘

11

759



极小值 747

4 9



0

∴当商品售价为 14 元时,一天销售利润最大,最大值为 975 元 21.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形, 且 AB=2CD,所以 AB∥DC, 又 M 是 AB 的中点, 所以 CD∥MA 且 CD=MA. 连接 AD1.因为在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,

CD∥C1D1,CD=C1D1,
所 以 C1D1∥MA,C1D1=MA, 所以四边形 AMC1D1 为平行四边形, 因此,C1M∥D1A. 又 C1M?平面 A1ADD1,D1A? 平面 A1ADD1, 所以 C1M∥平面 A1AD D1. (2)方法一:连接 AC,MC.由(1)知,CD∥AM 且 CD=AM, 所以四边形 AMCD 为平行四边形,所以 BC=AD=MC. 由题意∠ABC=∠DAB=60°,所以△MBC 为正三角形, 因此 AB=2BC=2,CA= 3,因此 CA⊥CB. 设 C 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz. 所以 A( 3,0,0),B(0,1,0),D1(0,0, 3).

? 3 1 ? , ,0?, ?2 2 ? 3 1 3 1 ? ? → → ? → ? 所以MD1=?- ,- , 3?,D1C1=MB=?- , ,0?. 2 ? 2 ? ? 2 2 ?
因此 M? 设平面 C1D1M 的一个法向量 n=(x,y,z),

7

→ ? ?n·D1C1=0, ? 3x-y=0, 由? 得? → 3z=0, ? ?n·MD1=0, ? 3x+y-2 可得平 面 C1D1M 的一个法向量 n=(1, 3,1). → 又CD1=(0,0, 3)为平面 ABCD 的一个法向量. → CD1·n 5 → 因此 cos〈CD1,n〉= = , → 5 |CD1||n| 所以平面 C1D1 M 和平面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为 22. (本小题 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? ①当 a ? (0,1) 时, 5 . 5

(ax ? 1)( x ? 1) (a ? 0). x

1 ? 1. a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 或 x ? 1 .∴当 x ? (0,1) , x ? ( , ?? ) 时, f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) . a
②当 a ? 1 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 单调递减. ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) .

1 ?1. a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1 或 x ? .∴当 x ? (0, ) , x ? (1, ??) 时, f ( x ) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . a 1 综上,当 a ? (0,1) 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) ; a
③当 a ? (1, ??) 时, 当 a ? 1 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) ; 当 a ? (1, ??) 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??).

1 a

.………6 分

2 (Ⅱ)当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? x ln x, x ? (0, ??) , g ?( x) ? 2 x ? ln x ? 1 , [ g ?( x)]? ? 2 ?

1 x

1 1 ? 0 ,∴ g ?( x) 在 [ , ??) 上单调递增. x 2 1 1 1 又 g ?( ) ? ln 2 ? 0, ? g ?( x ) ? g ?( ) ? 0 在 [ , ??) 上恒成立. 2 2 2
当 x ? [ , ??) 时, [ g ?( x)]? ? 2 ?

1 2

8

1 ? g ( x) 在 [ , ??) 上单调递增. 2
2 ? ?m ? m ln m ? k (m ? 2) ? 2 . 由题意,得 ? 2 ? ?n ? n ln n ? k (n ? 2) ? 2

原 问 题 转 化 为 关 于 x 的 方 程 x2 ? xl n x? k( x ? 2 )? 在 2 [ , ??) 上 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根. 即方程 k ? .……9 分

1 2

x 2 ? x ln x ? 2 1 在 [ , ??) 上有两个不相等的实数根. 2 x?2 x 2 ? x ln x ? 2 1 , x ? [ , ??) . x?2 2

令函数 h( x) ?

则 h?( x) ? 则 p?( x) ?

1 x 2 ? 3x ? 2ln x ? 4 2 . 令函数 p ( x) ? x ? 3 x ? 2 ln x ? 4, x ? [ , ??) . 2 2 ( x ? 2)

(2 x ? 1)( x ? 2) 1 在 [ , ??) 上有 p?( x) ? 0 . x 2 1 故 p ( x) 在 [ , ??) 上单调递增. 2
? p(1) ? 0 ,

1 ? 当 x ? [ ,1) 时,有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 .∴ h( x) 单调递减; 2
当 x ? (1, ??) 时,有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 单调递增.

102 ? 10 ln 2 102 ? 10 23 1 1 9 ln 2 ? ? ? h( ) , ? h( ) ? ? , h(1) ? 1, h(10) ? 12 12 3 2 2 10 5 9 ln 2 ]. …………14 分 ? k 的取值范围为 (1, ? 10 5

9



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