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2016届北京高三理科数学模拟分类汇编专题二:函数与导数



专题二:函数与导数 一、选择题 1. (2016 东城期末) 已知 m ? (0,1) ,令 a ? log m 2 , b ? m , c ? 2 ,那么 a, b, c 之间的大小关系为
2 m

(A) b ? c ? a

(B) b ? a ? c

(C) a ? b ? c

(D) c ? a ? b

?1 ? ? 1, 0 ? x ? 2 2. (2016 东城期末)已知函数 f ( x) ? ? x ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个 ? ?ln x, x ? 2
不同的实根,那么实数 k 的取值范围是 (A) (1, ??) 3.(2016 西城期末) 下列函数中,值域为 R 的偶函数是(
2 (A) y ? x ? 1
x ?x (B) y ? e ? e

3 (B) [ , ??) 2

(C) [e , ??)

3 2

(D) [ln 2, ??)

) (C) y ? lg | x |
2 (D) y ? x

4. (2016 西城期末) 某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费) ; 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 x (单位:千米)为行驶里程, y (单位:元) 为所收费用,用[x]表示不大于 x 的最大整数,则图中○ 1 处应填( )

1 2 1 (C) y ? 2[ x ? ] ? 4 2
(A) y ? 2[ x ? ] ? 4

(B) y ? 2[ x ? ] ? 5

1 2 1 (D) y ? 2[ x ? ] ? 5 2
5

开始 输入 x 是 1 ○

x?4

否 y=12

输出 y 结束 5. (2016 西城期末) 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 E , F 分别在边 AD , BC 上,且 DE ? 2 AE , CF ? 2 BF . ??? ? ??? ? 如果对于常数 ? ,在正方形 ABCD 的四条边上,有且只有 6 个不同的点 P 使得 PE ? PF =? 成立, 那么 ? 的取值范围是( (A) (0, 7) (B) (4, 7) (C) (0, 4) (D) (?5,16) 6. (2016 朝阳期末) 设函数 f ( x) 的定义域 D ,如果存在正实数 m ,使得对任意 x ? D ,都有 f ( x ? m) ? f ( x ) , 则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数” .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, D P C E F ) A B

f ( x) ? x ? a ? a ( a ? R ) .若 f ( x) 为 R 上的“20 型增函数” ,则实数 a 的取值范围是
A. a ? 0 7. (2016 丰台期末) 若a ? B. a ? 5 C. a ? 10 D. a ? 20

?

2

1

2x dx , b ? ? xdx , c ? ? log 2 xdx ,则 a, b, c 的大小关系是
1 1

2

2

(A) c ? b ? a

(B) b ? c ? a

(C) c ? a ? b

(D) a ? b ? c

6

8. (2016 西城一模)

1 设 x ? (0, ) ,则“ a ? (??,0) ”是“ log 1 x ? x ? a ”的( 2 2
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 9. (2016 海淀一模) 函数 f ( x) ? 2x ? 1 的定义域为 A. [0, ??) B. [1, ??) C. ( ??,0]



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

D. ( ??,1]

10. (2016 海淀一模)

?sin( x ? a ), x ? 0, 已知函数 f ( x ) ? ? 是偶函数,则下列结论可能 成立的是 .. ?cos( x ? b), x ? 0

π π ,b ? ? 4 4 π π C. a ? , b ? 3 6
A. a ?

B. a ? D. a ?

2π π ,b ? 3 6

5π 2π ,b ? 6 3

11. (2016 朝阳一模) 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误 .. 的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是 3 :1 B. 结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份 的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 (注:结余=收入-支出)
万元

90 8 70 0 60 5 40 0 30 20 10 O 1 2 O 3 4 5 6 7 1 8 O 9 10 11 12 5 月
收入

支出

7

12. (2016 东城二模)

?2 x x ? 4, 已知函数 f ( x ) ? ? 则 f (2 ? log2 3) 的值为( ? f ( x ? 1) x ? 4
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8



13. (2016 西城二模)

ì 0<x≤A, ? C, 3 某市家庭煤气的使用量 x(m )和煤气费 f ( x) (元) 满足关系 f ( x) = ? í ? ? ? C + B( x - A), x > A.
某家庭今年前三个月的煤气费如下表:( 月份 一月份 二月份 三月份
3

已知

) 煤气费 4 元 14 元 19 元 )

用气量 4 m
3

25 m 35 m

3

3

若四月份该家庭使用了 20 m 的煤气,则其煤气费为( (A)11.5 元 (C)10.5 元 14. (2016 海淀二模) 函数 f ( x ) ? ln x ? x ? 1 的零点个数是( A.1 个 15. (2016 朝阳二模) 已知函数 f ( x) ? ? B.2 个 ) C.3 个 (B)11 元 (D)10 元

D.4 个

? x ? 1, x ? 2, (a ? 0 且 a ? 1) 的最大值为1 ,则 a 的取值范围是 ( ?2 ? log a x, x ? 2
B. (0,1) C. ( 0 , ]



A. [ , 1)

1 2

1 2

D. (1, ?? )

8

16. (2016 西城二模) 如图,点 A,B 在函数 y = log 2 x + 2 的图象上,点 C 在函数 y = log 2 x 的图象上,若 D ABC 为等 边三角形,且直线 BC //y 轴,设点 A 的坐标为 (m, n) ,则 m = ( (A) 2 y (B) 3 A (C) 2 (D) 3 二、填空题 1. (2016 东城期末) 如果函数 f ( x) ? x2 sin x ? a 的图象过点 ( π,1) 且 f (t ) ? 2 .那么 a ? 2. (2016 海淀期末) ; f (?t ) ? . O C x B )

?2 x ? a, ? 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ? ? x ? ax,
3. (2016 丰台期末) 设函数 f ( x ) ? ?

x ? 0, x ? 0.

若 f ( x ) 的最小值是 a ,则 a ? __.

?e x ? a ( x ? 1), ?ln( x ? a )( x ? 1).

其中 a ? ?1 .

①当 a ? 0 时,若 f ( x ) ? 0 ,则 x ? __________;

( - ?, ? ?) ②若 f ( x) 在 上是单调递增函数,则 a 的取值范围________.
4. (2016 东城一模) 已 知函数 f ( x) ? ln x , 关于 x 的 不等式 f ( x) ? f ( x0 ) ? c( x ? x0 ) 的 解集为 (0, ??) , 其 中

x0 ? (0,?? ), c 为常数. 当 x0 ? 1 时, c 的取值范围是___;当 x0 ?
5. (2016 西城一模)

1 时, c 的值是___; 2

如果 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( (A) y ? x ? f ( x) (B) y ? xf ( x)



9

(C) y ? x2 ? f ( x) 6. (2016 海淀一模)
1 ? 1 在三个数 , 2 2 , log 3 2 中,最小的数是__. 2

(D) y ? x2 f ( x)

7. (2016 海淀一模) 已知函数 f ( x) ,对于给定的实数 t ,若存在 a ? 0, b ? 0 ,满足: ?x ?[t ? a, t ? b] ,使得

| f ( x) ? f (t ) |? 2 ,则记 a ? b 的最大值为 H (t ) .
(i)当 f ( x) ? 2 x 时, H (0) ? ___; (ii)当 f ( x) ? x2 且 t ? [1,2] 时,函数 H (t ) 的值域为___. 三、解答题 1. (2016 东城期末) 已知函数 f ( x) ?

ex ? a( x ? ln x) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,试求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,试求 a 的取值范围. 2. (2016 西城期末) 已知函数 f ( x) ? x ?1,函数 g ( x) ? 2t ln x ,其中 t ≤ 1 .
2

(Ⅰ)如果函数 f ( x ) 与 g ( x) 在 x ? 1 处的切线均为 l ,求切线 l 的方程及 t 的值; (Ⅱ)如果曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有且仅有一个公共点,求 t 的取值范围. 3. (2016 海淀期末) 已知函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? (Ⅰ)当 k ?

1 . x

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 2

(Ⅱ)求证:当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解. (其中 e ? 2.71828? )[来源:学科网 ZXXK]
10

4. (2016 朝阳期末) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?e 时,(ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ? 0 ; (ⅱ)试判断方程 f ( x) ? 5. (2016 丰台期末) 已知函数 f ( x) ?

ln x 3 ? 是否有实数解,并说明理由. x 2

1 3 ax ? x 2 (a ? 0) . 3

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在实数 x0 ? (?1,0) 6. (2016 东城一模) 设函数 f ( x) ? aex ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 x ? (0,??) 时, ln 7. (2016 西城一模) 已知函数 f ( x) ? xe x ? ae x?1 ,且 f ?(1) ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ( x) 的单调区间;
2 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 2 (k ? 2) 存在两不相等个正实数根 x1 , x2 ,



且 x0 ? ?

1 1 ,使得 f ( x0 ) ? f ( ? ) ,求实数 a 的取值范围. 2 2

ex ?1 x ? . x 2

证明: | x1 ? x2 |? ln

4 . e

11

8. (2016 海淀一模) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 x ?1 . ? 1 , g ( x) ? x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 求证:直线 y ? x 不是曲线 y ? g ( x ) 的切线. 9. (2016 朝阳一模) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1, 2 时,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)试问过点 P(1 , 3) 可作多少条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?并说明理由. 10. (2016 东城二模) 已知 f ( x) ? 2ln( x ? 2) ? ( x ? 1)2 , g ( x) ? k ( x ? 1) . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 k ? 2 时,求证:对于 ?x ? ?1 , f ( x) ? g ( x) 恒成立; (Ⅲ)若存在 x0 ? ?1 ,使得当 x ? (?1, x0 ) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,试求 k 的取值范围. 11. (2016 西城二模) 设 a ? R ,函数 f ( x) ?
x?a . ( x ? a)2

? ?

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线与直线 y ? 3 x ? 2 平行,求 a 的值; (Ⅱ)若对于定义域内的任意 x1 ,总存在 x 2 使得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求 a 的取值范围.

12

12. (2016 海淀二模) 已知函数 f ( x) ? e x ( x 2 ? ax ? a) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? ea 在 [a , ??) 上有解,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若曲线 y ? f ( x ) 存在两条互相垂直的切线,求实数 a 的取值范围.(只需直接写出结果) 13. (2016 朝阳二模) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? ( 1 ? a ) ln x , a ? R . 2

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求曲线 C : y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

? ?1 ? x ? 2, ? (Ⅱ)当 x ??1,2? 时,若曲线 C : y ? f ( x) 上的点 ( x, y ) 都在不等式组 ? x ? y , 所表示的 ? 3 ?y ? x ? ? 2
平面区域内,试求 a 的取值范围.

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