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2015-2016学年湖北省黄冈市高一下学期期末考试数学(理)试题




湖北省黄冈市 2016 年春季高一年级期末考试数学试卷(理科)
本试卷共 4 页,三大题 22 小题.全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)

1、已知集合 M={y|y=cosx,x∈R}, A. C.{-1,1} B.{0,1} D.(-1,1]

,则 M∩N 为(



2、已知 a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( A.若 a>b,则 ac >bc
2 2



B.若 a >b 且 ab<0,则
3 3

C.若

,则 a>b

D.若 a >b 且 ab>0,则
2 2

3、已知点(-3,-1)和点(b,-4)均在直线 3x-2y-a=0 上,则 ab 的值 为( )

A.

B.-35

C.35

D.

4、下列命题错误的是(



A.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内所有直线都垂直于平面β B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面γ D.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存在直线垂直于平面β

5、已知等比数列{a }的公比 q≠1,则下面说法中不正确的是(
n



A.{a +a }是等比数列
n+2 n

B.对于 k∈N ,k>1,a +a ≠2a
* k-1 k+1

k

C.对于 n∈N ,都有 a a >0
* n n+2

D.若 a >a ,则对于任意 n∈N ,都有 a >a
* 2 1 n+1

n

6、下列命题中,正确的命题的是(



A.已知

,则 f(x)的最小值是

B.已知数列{a }的通项公式为
n

,则{a }的最小项为
n

C.已知实数 x,y 满足 x+y=2,则 xy 的最大值是 1 D.已知实数 x,y 满足 xy=1,则 x+y 的最小值是 2

7、在数列{a }中,
n

,a a =1,则 a +a =(
n n+2 2016 2017



A.5

B.

C.

D.

8、函数 y=asinx-bcosx 的一条对称轴为 斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

,则直线 l:ax-by+c=0 的倾

9、已知直四棱柱 ABCD—A B C D 中,底面 ABCD 为正方形,AA =2AB,E 为 AA 的中
1 1 1 1 1 1

点,则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为(
1



A.

B.

C.

D.

10、设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a、b 是关于 x 的 方程 x +x+c=0 的两个实数根,且
2

,则这两条直线之间的距离的最

大值和最小值分别为(



A.

B.

C.

D.

11、如下图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n >1,n∈N )个点,相应的图案中总的点数记为 a ,则
* n





A.

B.

C.

D.

12、 已知曲线

与直线 y=2x+m 有两个交点, 则 m 的取值范围是 ( B.(-4,4) D.(-3,3)



A.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

13、一个几何体的三视图如下图所示,若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为 1 的菱形,俯视图是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为__________.

14、设 0<x<1,函数

的最小值为__________.

15、 已知实数 x, y 满足

, 则

的取值范围是__________.

16、在平面直角坐标系中,设△ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C(c, 0),点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点),设 a、b、c、p 均为非零实数, 直线 BP,CP 分别交 AC、AB 于点 E、F,一同学已正确算得 OE 的方程: ,请你求 OF 的方程: .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17、(本题满分 10 分) 已知两条直线 l :ax-by+4=0 和 l :(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件
1 2

的 a,b 的值: (1)l ⊥l ,且 l 过点(-3,-1);
1 2 1

(2)l ∥l ,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
1 2

18、(本题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA,且 B 为钝角. (1)求 B-A 的值; (2)求 sinA+sinC 的取值范围.

19、(本题满分 12 分)

已知:数列{a }满足
n

,n∈N*.

(1)求数列{a }的通项;
n

(2)设

,求数列{b }的前 n 项和 S .
n n

20、(本题满分 12 分)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的 长途客运业务,每车每天往返一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,公司拟组建一 个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天运送人 数不少于 900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?

21、(本题满分 12 分)对于函数 f(x),若存在 x ∈R,使 f(x )=x ,则称
0 0 0

x 是 f(x)的一个不动点,已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+(b-1) (a≠0),
2 0

(1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)的图象上 A,B 两点的横坐标是 f(x) 的不动点,且 A,B 两点关于直线 对称,求 b 的最小值.

22、(本题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BD 与 AC 相交 于点 E,F 为 PC 中点,G 为 AC 上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2)确定 G 在 AC 上的位置,使得 FG∥平面 PBD,并说明理由;

(3)当二面角 B—PC—D 的大小为 值.

时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切

答案与解析:

1、B 解析:M=[-1,1],N={0,1,2},∴M∩N={0,1}. 2、B 解析:A 选项,当 c=0 时不成立;C 选项,当 c<0 时不成立;D 选项,举反例 a =-2,b=-1;故选 B. 3、C 解析:因为点(-3,-1)在直线 3x-2y-a=0 上,所以 3×(-3)-2×(-1) -a=0,解得 a=-7,又点(b,-4)在直线 3x-2y+7=0 上,所以 3b+8+7 =0,解得 b=-5,所以 ab=35. 4、A 解析:若平面α ⊥平面β ,那么两平面内的直线可能平行,异面,相交,故选 A. 5、D 解析:若 a >a ,则 a (q-1)>0,当 a >0 时,q>1,此时有 a >a ,当 a <0 时,
2 1 1 1 n+1 n 1

有 q<1,当 q<0 时,a >a 不成立,故选 D.
n+1 n

6、C 解析:A 选项,∵sin x∈[0,1],∴当 sin x=1 时,f(x)有最小值 3,错误;
2 2

B 选项,∵n∈N ,∴当 n=1 或 2 时,a 有最小值 3,错误;
* n

C 选项,xy=x(2-x)=-x +2x=-(x-1) +1,当 x=1 时,xy 有最大值 1,
2 2

正确;

D 选项, 7、B

,无最小值,错误.

解析:

,∴{a }是周期为 4 的周期数列,
n

∴ 8、D



解析:函数 y=asinx-bcosx 在对称轴处取得最值,

所以

均有

,化简得 a=-b,且 b≠0.

则直线 l 的斜率 9、C

,倾斜角为 135°.

解析:连接 A B,则 A B//CD ,所以∠A BE 为异面直线 BE 与 CD 所成的角,设 AB
1 1 1 1 1

=a,则

,在△A BE 中,根据余弦定理
1

. 10、D 解析:根据韦达定理 a+b=-1,ab=c, ,

两条直线之间的距离 11、C

,故最大值为

,最小值为



解析:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计 算了一次,故 a =3n-3.
n



12、A

解析: 画出 =2x+m 线

的图象, 当 y=2x+m

过点 (-2, 0) 时, m=4; 当 y 时,曲

过点(2,0)时,m=-4;观察知,当 m>4 或 m<-4 与直线 y=2x+m 有两个交点.

13、 14、9 15、[5,6]

16、 17、解:(1)由已知可得 l 的斜率存在,且 k =1-a.
2 2

若 k =0,则 1-a=0,a=1.
2

∵l ⊥l ,直线 l 的斜率 k 必不存在,即 b=0.
1 2 1 1

又∵l 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即
1

(矛盾).

∴此种情况不存在,∴k ≠0.
2

即 k ,k 都存在,∵k =1-a,
1 2 2

, l ⊥l ,
1 2

∴k k =-1,即
1 2

.①

又∵l 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.②
1

由①②联立,解得 a=2,b=2.(5 分) (2)∵l 的斜率存在,l ∥l ,∴直线 l 的斜率存在,
2 1 2 1

k =k ,即
1 2

.③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l ∥l ,
1 2

∴l ,l 在 y 轴上的截距互为相反数,即
1 2

,④

联立③④,解得



∴a=2,b=-2 或

,b=2.(10 分)

18、(1)由 a=btanA 及正弦定理,得

,∴sinB=cosA,



,(3 分)

又 B 为钝角,因此

,(不写范围的扣 1 分)



,即

;(5 分)

(2)由(1)知,C=π -(A+B)= 分)

,(7



由此可知 sinA+sinC 的取值范围是

.(12 分)

19、解:(1)



.(4 分)

验证 n=1 时也满足上式: (2)b =n·3
n n n

(5 分)

(6 分)
2 3 n

S =1·3+2·3 +3·3 +…+n·3
2 3 4 n

3S =1·3 +2·3 +3·3 +…+n·3 -2S =3+3 +3 +…+3 -n·3 ,
2 3 n n+1 n

n+1

(8 分)

.(12 分) 20、解:设 A 型、B 型车辆分别为 x、y 辆,相应营运成本为 z 元,则 z=1600x +2400y.(1 分)

由题意,得 x,y 满足约束条件 作可行域如图所示,(7 分)

可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).(9 分) 由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,

直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上的截距

最小,即 z 取得最小值.(11 分)

故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最 小.(12 分) 21、解:(1)当 a=1,b=-2 时,函数 f(x)的不动点即为 3 和-1;(2 分) (2)∵函数 f(x)恒有两个相异的不动点,∴f(x)-x=ax +bx+(b-1)
2

=0 恒有两个不等的实根, △=b -4a(b-1)=b -4ab+4a>0 对 b∈R 恒成立,(4 分)
2 2

∴(4a) -16a<0,得 a 的取值范围为(0,1).(6 分)
2

(3) 由 ax +bx+ (b-1) =0 得
2

, 由题知 k=-1,



(7 分)

设 A,B 中点为 E,则 E 的坐标为

,(9 分)



当且仅当 分)

,即

时等号成立,∴b 的最小值为

.(12

22、(1) (2)G 为 EC 中点,理由如下:连 PE,

(3 分)

.(6 分) (3)过 B 作 BH⊥PC 于 H,连 DH.

即为二面角 B—PC—D 的平面角

.(8 分)

设 BC=x,则

.从而可得 PA=x.(10 分)

又 PA⊥面 ABCD,则∠PCA 即为 PC 与面 ABCD 所成的角.

,即 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为

.(12 分)



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