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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第3课时)



三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 (三)

定义域和值域
y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

/>
?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

正弦函数 y ? sin x 定义域:R 值域:[-1,1] y
1

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?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

余弦函数 y ? cos x 定义域:R 值域:[-1,1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1

1.周期性(复习)
(1) y ? sin x

T ? 2?

2? y ? A sin(? x ? ? ) T ? |? |
(2) y ? cos x

T ? 2?

2? y ? A cos(? x ? ? ) T ? |? |

2.奇偶性
? f ( x ) ? sin x , x ? R 为奇函数

? f ( x ) ? cos x , x ? R 为偶函数

复习:正弦函数对称性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

??

?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

对称轴:

x?

?
2

? k? , k ? Z

对称中心: ( k? ,0) k ? Z

复习:余弦函数对称性 y
1

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?2? 3?
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?

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O

?
2

?

?1

3? 2

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5? 2

3?

x

对称轴:

x ? k? , k ? Z

对称中心: ( ? k? ,0) k ? Z
2

?

探究:正弦函数的单调性 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

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?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

2 2 都是增函数,其值从-1增大到1; ? 3? 而在每个闭区间[ ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z )上都是 2 2 减函数,其值从1减小到-1。

正弦函数在每个闭区间[?

?

? 2k? ,

?

? 2k? ]( k ? Z )

探究:余弦函数的单调性 y
1

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? 2

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?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

由余弦函数的周期性知:
在每个闭区间[k ? 2?

? ? , 2k? ]都是增函数,

其值从-1增大到1 ; 而在每个闭区间 [2k? ,2k? ? ? ] 上都是减函数, 其值从1减小到-1。

探究:正弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

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?

? 2

O

?
2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x?

?
2

? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
有最小值 y 时,

最小值:当x

??

? ? 2k?
2

? ?1

探究:余弦函数的最大值和最小值 y
1

?3? 5? ? 2

?2? 3?
? 2

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? 2

O

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2

?

?1

3? 2

2?

5? 2

3?

x

最大值: 当

x ? 0 ? 2k? 时, 有最大值 y ? 1
x ? ? ? 2k? 时, 有最小值 y ? ?1

最小值:当

不求值,判断下列各式的符号。 例4: 23? 17? ? ? 2、 cos( ? ) ? cos( ? ) 1、 sin( ? ) ? sin( ? ) 5 4 18 10 ? ? ? ? ? ? 分析:比较同名函数值的大小,往往可以利用函数的 解: 1、 ? ? ? ? ? ? ? , 且y ? sin x在[? , ]上增函数。 2 10 18 2 2 2 单调性,但需要考虑它是否在同一单调区间上,若是, ? ? ? ? ? sin( ? ) ? sin( ? ) 即sin( ? ) ? sin( ? ) ? 0 即可判断,若不是,需化成同一单调区间后再作判断。
10 18 18 10 17? 17? ? 23? 23? 3? cos( ? ) ? cos ? cos (2)、 cos( ? ) ? cos ? cos 5 5 5 4 4 4 ? 3? ?0 ? ? ? ? , 且y ? cos x在[0, ? ]上是减函数 4 5 3? ? 3? y ?
? cos

23? 17? ? ? ) ? cos(? O ) ??0 ? ? 3? cos( 5? ?2? ? 3? ?? ? ? 52 ? 2 4 2
2
?1

? cos 即 cos -cos ? 0 5 4 51 4

3? 2

2?

5? 2

3?

x

练习
? P46 练习5 (1)(2)

练习
? P46 练习5 (3)(4)

P45例5

练习
? P46 练习6

P45例5的深化

小结
1.比较大小:化到同一单调区间(结合图象)

2. y ? A sin(?x ? ? ) ? y ? A sin z
化未知为已知

作业
? A. 小结 ? ? B. 求 y ? 3 sin( ?2 x ? ) 的单调区间 3 ? P53 A4 (2)(3)



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