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(5)已知函数的单调性求参数


已知单调性求参数的
范 围

导数的应用:判断单调性、求单调区间
用导数法确定函数的单调性时的步骤是:

(1)求出函数的导函数(注意定义域)
(2)求解不等式 f ?( x)> 0, f ?( x) < 0,

(3)指出函数的单调区间上的单调性

注:单调区间不以“并集”出现。

复习:求下列函数的单调区间

( 1 )f(x) ? x ? 3x ? 1
3 2

(3)f(x) ? x ? lnx

e (2)f(x) ? x

x

例题
3 2 f(x) ? ax ? 3 x ? x ? 1 在R上是减 1.已知函数

函数,求a的取值范围. a的取值范围是(-∞,-3]

2.函数f ? x ? ? x ? ax ? 1单调递减区间为? 0, 2?,
3 2

求a的取值。

变式:函数f ? x ? ? x ? ax ? 1在 ? 0, 2? 上单调递减,
3 2

求a的取值范围。

结论
1. f(x)在区间(a,b)上是增函数; 则f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0。 2. f(x)在区间(a,b)上是减函数;

则 f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0。

已知函数f ( x ) ? x ? ax ? x ? 1, a ? R,
3 2

2 1 若f ( x )在区间( - , ? )内为减函数,求a的取值范围 3 3

已知函数f ( x ) ? x 3 ? ? 1 ? a ? x 2 ? a (a ? 2) x ? b, ? a , b ? R ? , 若函数f ( x )在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围

练习3.

已知函数 f ( x) ? 2 x ? ax ? ln x 在区 间(0,1) 上是增函数,求实数a的取值范 围。
2

1 1 3 练习4:若函数 f (x) ? x ? ax 2 ? (a ? 1)x ? 1 在区 3 2 间 (1,4)内为减函数,在区间,(6,+∞)为增
函数,试求实数a的取值范围.

解:
函数f(x) 的导数f ' ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 令f ?(x) ? 0.解得x ? 1或x ? a - 1. 当a - 1 ? 1即a ? 2时,函数f(x) 在 (-?,1)为增函数, 在(1, a ? 1)内为减函数,在(a ? 1, ? ?)为增函数. 所以4 ? a ? 1 ? 6.解得5 ? a ? 7. 所以a的取值范围是[5, 7].

当a - 1 ? 1即a ? 2时,函数f(x) 在 (1, ??)为增函数,不合题意

依题意应有当x ? (1, 4)时, f ' ( x ) ? 0, 当x ? (6, ? ?)时为f' (x) ? 0.

练习
1.已知函数 y ? ax
3

? bx ? 6 x ? 1 的单调递增区间
2

为(-2,3),求a,b的值.

3 2 2. g(x)=ax ? bx ? x ? 2 1 如果函数g ( x)的单调递减区间为(- ,1) 3 求函数g(x)的解析式。

、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 在 ?1, ?? ? 上是增函数,则 a 的最小值是( 3
.



A.-3

B.-2

C.2
3 2

D.3

4.若函数f(x) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?) 上单调递增,求a的取值范围。
1 5.已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若( f x) x 在x ?(0,1]上是增函数,求a的取值范围.

1 1 1.a ? ? , b ? 3 2

2.a ? 1, b ? ?1
3.A

1 4.a ? 3

5.
解:由已知得

2 f '(x) ? 2a ? 3 x

因为函数在(0,1]上单调递增

2 ? f '(x)? 0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 2 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x ? g(x)max ? g(1)=-2

? a ? -2


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