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1990年第三十一届IMO试题(不含答案)



第三十一届(1990 年) 中国 北京(Beijing,China)
1. 一个圆的弦 AB 和 CD 在圆内交于点 E。设 M 是线段 EB 的内点。过 E 点作经 过点 D、E、M 的圆的切线,它分别交直线 BC 和 AC 于 F 和 G。如果 试用 t 来表示

AM ?t , AB

EG 。 (印度) EF
<

br />2. 设 n≥3,考虑 2n-1 个圆上不同的点构成的集合 E。假设这些点中恰好有 k 个点 被涂成黑色。 如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上(两段弧中的某一 个)恰好包含 E 中的 n 个点,就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合 E 能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的 k 值。 (捷克斯洛伐克) 3. 找出满足 4. 设
+

2n ? 1 为整数的所有的大于 1 的整数 n。 (罗马尼亚) n2
+

为正有理数的集合。构造函数 f: +→
f ( x) 。 (土耳其) y

,且对于所有

+

内的 x、y 都满

足 f ( xf ( y )) ?

5. 给出一个初始整数 n0>1,两位玩家,A 和 B,轮流选择整数 n1,n2,n3,…并 遵循下列规则:
2 已知 n2k,A 选择满足 n2k ? n2k ?1 ? n2 k 的任一整数 n2k+1。

已知 n2k+1,B 选择满足

n2 k ?1 是一个质数的正整数幂。 n2 k ? 2

玩家 A 通过选择数字 1990 赢得游戏;玩家 B 通过选择数字 1 赢得胜利。当 n0 值为多少时: (a) A 有必胜的策略? (b) B 有必胜的策略? (c) 二者都没有必胜的策略?(德国) 6. 证明:存在一个凸 1990 边形,有下面两个属性: (a) 所有的角相等; (b) 不计顺序,1990 条边的长度分别为 12,22,32,…,19902。 (荷兰)



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