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高中数学必修四综合训练题六




1.化简 sin (

? 2

? ? ) 等于(
B. sin ?

). C. ? cos ? D. ? sin ?

图像向左平移 A. y ? sin (
1 2

? 3

个单位,则所得函数图像对应的解析式为(

).
1 2

A. cos ?

??? ? ???? 2.已知 M 是 ? ABC 的 BC 边上的一个三等分点,且 B M ? M C ,若 A B ? a , A C ? b ,则
???? ? A M 等于(
A. ). B.

x ?

? 6

)

B. y ? sin (

1 2

x ?

? 3

)

C. y ? sin

x

D. y ? sin ( 2 x ?

? 6

)

9. 若 平 面 四 边 形 ABCD ( ). A.直角梯形

) 满 足 A B ? C D ? 0 , ( A B? A D ? A C? 0, 则 该 四 边 形 一 定 是

? ? ??

? ? ??

? ? ??

? ? ??

? ? ??

1 3

(a ? b)

1 3

(a ? b)

C.

1 3

(b ? 2a )
2

D.

1 3

(2 a ? b)

B.矩形

C.菱形 ).

D.正方形

10.函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是( A.

3.已知 tan α ? 3 ,则 2 sin A. 3 B.

2

α ? 4 sin α cos α ? 9 cos α 的值为(
C.

).

π 2

21 10

1 3

D.

1 30

B. π

C. 2 π

D. 4 π ).

4.化简 AB ? BD ? AC ? CD ? ( A. AD B. 0 C. BC ).

11.设单位向量 e 1 , e 2 的夹角为 60 ? ,则向量 3 e1 ? 4 e 2 与向量 e 1 的夹角的余弦值是(

). D. DA A.

3 4

B.

5 37

C.

25 37

D.

5 37

5.函数 y ? sin 2 x cos 2 x 是( A.周期为 数

? 4

的奇函数

B.周期为

? 2

的奇函数

C.周期为

? 2

的偶函数

D.周期为

? 4

的偶函

12.定义运算 ?

?a ?c
? 2

b? ? d?

? e ? ? ae ? bf ? ?1 ?? ? ? ? ? ,如 ? ? f ? ? ce ? df ? ?0 cos ? ? ? sin ? ?

2? ? 3?

? 4 ? ?14 ? ? ? ? ? ? ? ,已知 ? ? ? ? ? , ? 5 ? ?15 ?

6.已知 M (? 2 , 7 ) , N (10 , ? 2 ) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 PN ? ? 2 PM ,则 P 点的坐 标为( ). B. ( 22 , ? 11 ) C. ( 6 ,1) D. ( 2 , 4 )

? ? ?

? ??

? ?? ?

,则 ?

? sin ? ? cos ? ?0 ? ?1 ?

? cos ? ? ?? ? ?( ? sin ? ? ?1 ? ?0 ?

).

A. ( ? 14 ,16 )

7.已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 象如图所示,则正确的结论是( A. A ? 3, T ? 2 ? C. T ? 4 ? , ? ? ? ). B. B ? ? 1, ? ? 2

? 2

A. ? ? )的周期为 T , 在一个周期内的图

?0 ? ?0 ?

B. ? ?

C. ? ? 第Ⅱ卷(非选择题

D. ? ?

?1 ? ?1 ?

y 2
? 2? 3

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)
4? 3

O

? 6
? 3

D. A ? 3, ? ?

? 6

13. sin 75 ? 的值为

x



-4

14.已知向量 a ? ( 2, 4 ) , b ? (1,1) ,若向量 b ? ( a ? ? b ) ,则实数 ? 的值是 .

8.将函数 y ? sin ( x ?

) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得

15. cos 20 ? cos 40 ? cos 80 ? 的值为 __________ 16.在下列四个命题中: ①函数 y ? ta n ( x ? ②已知 sin ? ?

__________ _________



20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? ) ( ? ? 0 , 0 ? ? ? ? )为偶函数,其图象上相邻的两个

? 4

) 的定义域是 { x x ?

? 4

? k ?, k ? Z} ; ? 6 ? 8
对称,则 a 的值等于 ? 1 ;

最高点之间的距离为 2 ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ( ?

1 2

,且 ? ? [0, 2 ? ] ,则 ? 的取值集合是 { } ;

③函数 f ( x ) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ? ④函数 y ? cos x ? sin x 的最小值为 ? 1 .
2

? ? ? 1 5? , ) , f ( ? ? ) ? ,求 sin ( 2 ? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

21.(本小题满分 13 分) 把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知 a , b , c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2 ) . (1)若 | c |? 2 , x ? (?

5 ,且 c / / a ,求 c 的坐标;

已知 c os(

? 4

? x) ?

4 5

? 2

,?

? 4

) ,求

sin 2 x ? 2 sin 1 ? tan x

2

x

的值. (2)若 | b |?

5 2

,且 a ? 2 b 与 2 a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? .

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin x ? sin ( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的的最大值和最小值; (3)若 f (? ) ?

? 2

),x?R .

22.(本小题满分 14 分) 已 知 向 量 a ? (c os

3x 2

, sin

3x 2

) , b ? (c os

x 2

, ? sin

x 2

) , 且 x ? [0,

? 2

] ,

f ( x ) ? a ? b ? 2 ? | a ? b | ( ? 为常数) ,求:
(1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x ) 的最小值是 ?

3 4

,求 sin 2? 的值.

19.(本小题满分 12 分) (1)已知函数 f ( x ) ? sin (

3 2

1 2

x?

? 4

,求实数 ? 的值.

) ,求函数在区间 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上的单调增区间;

(2)计算: tan 70 ? cos 10 ? ( 3 tan 20 ? ? 1) .

必修四综合训练题(六)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 最符合题目要求的.) 1.A 2.C 由诱导公式易得 A 正确.

9.C

??? ???? ? ??? ? ???? A B ? C D ? 0 ? A B ? ? C D ? 四边形 ABCD 为平行四边形,
??? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? ( A B ? A D ) ? A C ? D B ? A C ? 0 ? D B ? A C ,对角线互相垂直的平行四边形为菱

形. 10.B ,

f ( x ) ? sin 2 x ? co s 2 x ?

2 sin ( 2 x ?


?
4

) ,T ?

2? 2

?? . 1 2


??? ? BC ? b ? a

???? ? 1 ??? ? 1 BM ? BC ? (b ? a) 3 3

,

11.D

| e 1 |? 1
2



| e 2 |? 1

e 1 ? e 2 ? | e 1 | ? | e 2 | cos 60 ? ?

???? ? ??? ???? ? ? 1 1 AM ? AB ? BM ? a ? (b ? a ) ? (b ? 2a) . 3 3
3.B

( 3 e1 ? 4 e 2 ) ? e1 ? 3 e1

? 4 e1 ? e 2 ? 5 ,
2

2 sin

2

? ? 4 sin ? cos ? ? 9 cos

2

? ?

2 sin

2

? ? 4 sin ? cos ? ? 9 cos
sin
2

2

?

| 3 e 1 ? 4 e 2 |?
cos ? ?

( 3 e1 ? 4 e 2 )

?
5 37

2

9 e1
.

? 24 e 1 ? e 2 ? 16 e 2

2

?

37 ,

? ? cos

2

?
( 3 e1 ? 4 e 2 ) ? e1 | 3 e1 ? 4 e 2 | ? | e1 | ?

?

2 tan ? ? 4 tan ? ? 9
2

tan ? ? 1
2

?

21 10

. 12.A

4.B AB ? BD ? AC ? CD ? ( AB ? BD ) ? ( AC ? CD ) ? AD ? AD ? 0 . 5.B

y ? sin 2 x cos 2 x ?

1 2

sin 4 x ,故是周期为

?
2

的奇函数.

? sin ? ? ? cos ?
.

cos ? ? ? sin ? ?

? sin ? ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? sin( ? ? ? ) ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? cos( ? ? ? ) ? ? cos 2 ?

? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? ?

6.D

设 P ( x , y ) ,则 PN ? (10 ? x , ? 2 ? y ) , PM ? ( ? 2 ? x , 7 ? y ) ,
? ? ?

?10 ? x ? ? 2 ( ? 2 ? x ), ? x ? 2, ? ? PN ? ? 2 PM ? ? ? ? 2 ? y ? ? 2 ( 7 ? y ), ? y ? 4.
? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在题中的横线上.)

13.

6 ? 4

2

sin 75 ? ? sin( 45 ? ? 30 ? ) ? sin 45 ? cos 30 ? ? cos 45 ? sin 30 ?

7.C

? A ? B ? 2, ? A ? 3, ? ? ? ?? A ? B ? ?4, ? B ? ? 1,
2? T 1 2 ? 2? 4? 3
?
3

T 2

?

4? 3

? (?

2? 3

) ? 2? ? T ? 4?



?
14.

2 2

?

3 2

?

2 2

?

1 2

?

6 ? 4

2

.

? ?

?

1 2



?

4?

?? ?

?
2

? ? ? ?
1 2

?
6

?3

.

b ? ( a ? ? b ) ? b ? ( a ? ? b ) ? (1,1) ? ( 2 ? ? , 4 ? ? ) ? 2 ? ? ? ( 4 ? ? ) ? 0 ? ? ? ? 3
?
3 ) ? y ? sin [

8.A

y ? sin ( x ?

) ? y ? sin (

x?

1 2

(x ?

?
3

)?

?
3

] ? sin (

1 2

x?

?
6

).

.

15.

1 8

cos 20 ? cos 40 ? cos 80 ? ? x?

8 sin 20 ? cos 20 ? cos 40 ? cos 80 ? 8 sin 20 ?

?

sin 160 ? 8 sin 20 ?

?

1 8

.

(1) f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2) f ( x ) 的最大值为 ( 3 )

2? 1

? 2? ;

16.①③④

?
4

?

?
2 1 2

? k? ? x ?

?
4

? k ? ( k ? Z ) ,故①正确;

2 和最小值 ?


2 ;

2

sin ? ?

,且 ? ? [0, 2 ? ] ? ? ?

?
6

或? ?

5? 6

,故②不正确;

f (? ) ?

3 4 7 16

, ,



函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 正确;

?
8

对称 ? f ( 0 ) ? f ( ?

?
4

) ? a ? ? 1 ,故③

sin ? ? cos ? ?

3 4

? (sin ? ? cos ? ) 7 16
. 由

?

9 16

? 2 sin ? cos ? ? ?

即 sin 2 ? ? ?

y ? co s x ? sin x ? 1 ? sin x ? sin x ? ? (sin x ?
2 2

1 2

) ?
2

5 4

,?1 ? y ?

5 4



19.



: (

1



?

?
2

? 2 k? ?

1 2

x?

?
4

?

?
2

? 2 k?



k?Z





故④正确.

?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17.解:∵ x ? ( ? ∵ cos(

3? 2

? 4 k? ? x ?

?
2

? 4 k? ( k ? Z ) , 3? 2 ? x ?

?
2

,?

?
4

), 4 5


?
4

? x) ?

,0 ) , 4 ? 3 ? x) ? ? , ∴ sin( 4 5 4

∴x ?

?

? (?

?

当 k ? 0 时,得 ?

?
2



[?

3? 2

,

?
2

] ? [ ? 2 ? , 2 ? ] ,且仅当 k ? 0 时符合题意, 1 2 x?

sin x ? sin[(

?
4

? x) ?

?
4

] ? sin(

?
4

? x ) cos

?
4

? cos(

?
4

? x ) sin

?
4

∴函数 f ( x ) ? sin(

?
4

) 在区间 [ ? 2 ? , 2 ? ] 上的单调增区间是 [ ?
sin 70 ? cos 70 ?

3? 2

,

?
2

].

? ?

3 5

?

2 2

?

4 5

?

2 2

? ?

7 2 10

(2) tan 70 ? cos 10 ? ( 3 tan 20 ? ? 1) ? ,

? cos 10 ? ?

3 sin 20 ? ? cos 20 ? cos 20 ?

∴ cos x ? ∴

2 10



?

sin 70 ? cos 70 ?

? cos 10 ? ?

? 2 sin 10 ? cos 20 ?

cos 70 ? cos 20 ? cos 20 ? sin 20 ? ? ? ? ? ?1 . sin 20 ? cos 20 ? 2? T

? ?

sin 70 ?

?

sin 20 ?

sin 2 x ? 2 sin 1 ? tan x

2

x

?

2 sin x cos x ? 2 sin 1? sin x cos x

2

x

?

2 sin x cos x (cos x ? sin x ) cos x ? sin x

?

28 75

20.解: (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2 ? , . ∴ T ? 2? , 则? ?

? 1,

18.解: f ( x ) ? sin x ? sin( x ?

?
2

) ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

∴ f ( x ) ? sin( x ? ? ) ,

),

∵ f ( x ) 是偶函数, 又0 ? ? ? ? , (2)由已知得 cos( ? ?

∴? ? k? ? ∴? ?

?
2

(k ? Z ) ,
则 f ( x ) ? cos x . ∵ | a |?

?
2

5 , | b |?

5 2





∴ cos ? ?

a ?b |a |?|b |

? ? 5?

5 2 5 2 ? ?1 ,

?
3

) ?

1 3



∵? ? (?

? ?
, 3 2

),

∴? ?

?
3

? (0,

5? 6

),
∵? ? [ 0 , ? ] , 22.解: (1) a ? b ? cos ∴? ? ? .

则 sin( ? ?

?
3

)?

2 2 3



3x 2

cos

x 2

? sin

3x 2

sin

x 2

? cos 2 x ,

∴ sin( 2 ? ?

5? 3

) ? ? sin( 2 ? ?

2? 3

) ? ? 2 sin( ? ?

?
3

) cos( ? ?

?
3

) ? ?

4 2 9

.

| a ? b |?

(cos

3x 2

? cos

x 2

) ? (sin
2

3x 2

? sin

x 2

)

2

?

2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos

2

x ,

21.解: (1)设 c ? ( x , y ) , ∵ | c |? 2

∵ c // a , a ? (1, 2 ) , ∴

∴2x ? y ? 0 , ∴ x
2

∴ y ? 2x , ∵ x ? [0,

?
2

],

∴ cos x ? 0 ,
2

| a ? b |? 2 cos x .
? 1 ? 2? ,
2

5 ,

x ? y
2

2

? 2 5 ,

? y

2

? 20 ,



(2) f ( x ) ? cos 2 x ? 4 ? cos x ? 2 (cos x ? ? )

x ? 4x
2

2

? 20 ,
∵ x ? [0,

?
2

],

∴ 0 ? cos x ? 1 ,

? x ? 2, ? x ? ? 2, ∴? 或? ? y ? 4, ? y ? ? 4,
∴ c ? ( 2,4 ) 或 c ? ( ? 2,? 4 ) (2)∵ a ? 2 b ? 2 a ? b ,
2

①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 ? 1 ,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 ,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? 1 ? 2 ? ,
2

∴ (a ? 2b ) ? (2 a ? b ) ? 0 ,

由已知得 ? 1 ? 2 ?
2

2

? ?

3 2

,解得 ? ?

1 2



∴ 2a

? 3a ? b ? 2b

2

? 0,
5 2

即2 | a |

2

?3a ? b ? 2 | b | ? 0 ,

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 1 ? 4 ? , 由已知得 1 ? 4 ? ? ? 综上所述, ? ?

3 2

又∵ | a | ? 5 , | b | ? (
2
2

)

2

?

5 4



,解得 ? ?

5 8

,这与 ? ? 1 相矛盾.

1 2

为所求.

∴ 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 4

? 0,

∴a ?b ? ?

5 2





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