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第20讲 函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用



第 20 讲
知识梳理

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

函数 y=sin(-2x)的递减区间是

(



3π π -kπ,- -kπ 4 4

)

(k∈Z).(

)

一、五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)的简图 用五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图,要确定五个特征点,如下表所示: π -φ 2 3π -φ 2

3.求三角函数的周期 函数 y=2sin

x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)



φ ω

π-φ

ω
π 2

ω
π 0

2π-φ

( )
1 π x- 2 4

4 π 的频率为 ,初相为 .( π 4

)

ω
3π 2 -A

ω

考点一
2π 0

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

0 0

A

例 1 (1)[山东卷] 已知向量 m=(sinx, 1), n=

π 3π 具体做法是:先令________取 0, ,π, ,2π 五个值,求出相应的 x、y 的值,再描点作图. 2 2 二、函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关的概念如下表: 数 y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义 简谐振动 振幅 周期 2π T= 频率 相位 初相

(

3Acosx, cos2x 2

A

)

(A>0), 函数 f(x)=m· n 的最大值为 6,

π 1 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 12 2

y=g(x)的图象,则 g(x)在

[ ]
0, 5π 24

上的值域为________.

(2) 给出下列六种图象变换方法:

y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)

A

ω

f= T

1

ωx+φ

φ

三、函数 y=sinx 的图象经平移变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 方 法 一 : 先 画 出 函 数 y = sinx 的 图 象 , 再 把 正 弦 曲 线 向 左 ( 右 ) 平 移 ________ 个 单 位 长 度 , 得 到 函 数 ____________的图象;然后使曲线上各点的横坐标都变为原来的________倍,得到函数_____________的 图象;最后把曲线上各点的________变为原来的________倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 方法二: 先画出函数 y=sinx 的图象, 再使曲线上各点的横坐标都变为原来的________倍, 得到函数________ 的图象;然后把正弦曲线向左(右)平移________个单位长度,得到函数______________的图象;最后把曲线 上各点的________变为原来的________倍,这时的曲线就是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩,方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.

1 ①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ; 2 ②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; π π ③图象向右平移 个单位;④图象向左平移 个单位; 3 3 2π 2π ⑤图象向右平移 个单位;⑥图象向左平移 个单位. 3 3 请用上述变换中的两种变换, 将函数 y=sinx 的图象变换到函数 y=sin

( )
x π
+ 2 3

的图象, 那么这两种变换正确

的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 归纳总结 由函数 y=sinx(x∈R)的图象经过平移变换得到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题中,可先平移 变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩后平移时要把 x 前面的系数提取出来. 变式题 (1)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 φ 的最小值 为________.

疑难辨析
1.利用函数 y=Asin(ωx+φ)图象的伸缩与平移变换求解析式 (1)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,向左或向右平移的单位长度一样.( (2)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需把函数 y=sin

1 1 (3)把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数 y=sin x 的图象.( 2 2 2.求三角函数的单调区间

( )
π 2x+ 3

) 移

π 的图象向右平移 个单位长度.( 3

) )

π 个单位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图象,则 g(x)=________. 12

(2)设函数 f(x)= 2+2 6sinxcosx-2 2sin2x(x∈R),对 f(x)的图象作如下变换:先将 f(x)的图象向右平

考点二

函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式的求法

例 2 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象的两个相邻零点为

函数的最大值为 2,最小值为-2,则该函数的解析式为______________________.

(

π - ,0 6

)( )
和 π ,0 2

,且该

归纳总结 利用图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑: ①根据最大值或最小值求出 A 的值. ②根据周期求出 ω 的值. ③根据函数图象上的某一特殊点求出 φ 的值. 变式题(1)如图表示的函数 f(x)=Asin(ωx+θ)(ω>0,θ∈[0,2π])的部分图象,则解析式为 f(x)=_________.

g(x),若 g(x)的图象关于 y 轴对称,解答以下问题: (1)求 ω 的值.
(2)如果 f(x)在区间

[

3 5 π, π 4 4

]

上的最小值为 3,求 a 的值.

考点四

三角函数模型的简单应用

例 4 如图,为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈,图 中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时 间是多少?

π π (2)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对 2 3 称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________________. ①y=4sin

③y=2sin

( ) ( )
4x+ π 6 π 3 4x+

;②y=2sin

+2;④y=2sin

( ) ( )
π 2x+ 3 π 4x+ 6

+2;

+2.

归纳总结 面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例 题,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程,在高考中,将实际问 题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行 解题.

考点三

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

变式题某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 y=a+Acos

例 3 [湖北卷] 已知向量 a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2 3cosωx).设函数 f(x)=a· b +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点

( )
1 ,1 2

.

2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气温最低,为 18℃,则 10 月份 的平均气温值为________℃.

[

π (x-6) 6

]

(x=1,

( )
π ,0 4

,求函数 f(x)在区间

[ ]
3π 0, 5

习题 1。已知函数 f(x)=
上的取值范围.

3sin2x+2cos2x. π (1)将 f(x)的图象向右平移 个单位,再将周期扩大一倍,得到函数 g(x)的图象,求 g(x)的解析式; 12 (2)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间.

归纳总结 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间和对称性的确定,基本思想是把 ωx+φ 看做一个整 体.在单调性应用方面,比较大小是一类常见的题目,依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的 一个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综合利用这些性质解决问题,解题时可利用数 形结合思想. π 变式题 设函数 f(x)= 3cos2ωx+sinωxcosωx+a(0<ω<1,a∈R),f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数 4

π π 2.[浙江卷] 已知函数 f(x)=Asin x+φ,x∈R,A>0,0<φ< .y=f(x)的部分图象如图所示,P,Q 分别为该 3 2 图象的最高点和最低点,点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值;

2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3

3.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)

(

ω>0,|φ|<

π 2

)

,y=f(x)的部分图象如图,则 f

( )
π 24

=________.

4.已知 f(x)=cos

只需把 y=sinωx 的图象( ) 11π A.向右平移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 11π C.向左平移 个单位长度 12 5π D.向左平移 个单位长度 12

(

ωx+

π 3

)

(ω>0)的图象与 y=1 的图象的两相邻交点间的距离为 π,要得到 y=f(x)的图象,

课后习题(函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用)
π 1. 给定性质: a: 最小正周期为 π; b: 图象关于直线 x= 对称. 则下列四个函数中, 同时具有性质 ab 的是________. 3 ①y=sin

( )
x π
+ 2 6

;②y=sin

2.若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在

( ) [ ]
2x+ π 6 2π 2π - , 3 3

; ③y=sin|x|;④y=sin

( )
2x- π 6

.

11.[2013· 全国卷] 当函数 y=sinx- 3cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x=________. 12. 若将函数 y=sin

上单调递增,则 ω 的最大值为________.

π 3.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点),则正整数 t 的 2 最小值是________. π 4.已知函数 f(x)=a sin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为_______ 12 5.已知函数 f(x)=sin

则 ω 的最小值为________. π π 13.若 <x< ,则函数 y= tan2xtan3x 的最大值为________. 4 2

(

ωx+

5π 6

)

π (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 与函数 y=sin 3

(

ωx+

π 4

)

的图象重合,

π π 14. (10 分)如图是某简谐运动的一段图象, 它的函数模型是 f(x)=Asin(ωx+φ)(x≥0), 其中 A>0, ω>0, - <φ< . 2 2 (1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; 1 (2)将 函数 y=f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的 , 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象, 求函数 y=g(x) 2 在

图象重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 6.函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象( ) π π A.向左平移 个单位得到 B.向右平移 个单位得到 2 2 π π C.向左平移 个单位得到 D.向右平移 个单位得到 3 3 7.如果函数 y= cos(2x+φ)的图象关于点 π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2

(

π ωx+ 3

)

2 (ω>0),将函数 y=f(x)的图象向右平移 π 个单位长度后,所得图象与原函数 3

[ ]
π ,π 2

上的最大值和最小值.

( )
4π ,0 3

中心对称,那么|φ|的最小值为(

)

15.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;[来源:Z#xx#k.Com] (2)当 x∈

8.[2013· 课程标准卷] 已知 ω>0,函数 f(x)=sin 1 5 , 2 4 1 3 , 2 4 1 2

(

π ωx+ 4

)( )
在 π ,π 2

单调递减,则 ω 的取值范围是(

)

[ ]
0, π 6

时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值.

A.

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)

f(x)的图象(

[ ] [ ] ( ] ( )
B. C. 0, π 其中A>0,|φ|< 2 )

D.(0,2]

的部分图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只要将

π π 16.如图是某简谐运动的一段图象,其函数模型是 f(x)=Asin(ωx+φ)(x≥0),其中 A>0,ω>0,- <φ< . 2 2 (1)根据图象求函数 y=f(x)的解析式; (2)若函数 g(x)=f

( )
x+
π 6

,实数 α 满足 0<α <π,且

g(x)dx=3,求 α 的值. ? ?α

π

π π A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 12 π π C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 12 10.已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________.

课后习题答案(函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用)

1.④

3 2. 4

3.5

4.

3 3

5.B 6.A 7.A 8.A 9.A

9π 5π 7 10. 11. 12. 10 6 4

13.-8

同理可得,函数 y=g(x)在区间

14.解:(1)由函数图象及函数模型 f(x)=Asin(ωx+φ)知 A=2; 2π 13π π 1 由 =T= - =4π,得 ω= , ω 3 3 2 由最高点

[ ]
2π ,π 3

上单调递减.

又∵g

( )
4 π,2 3

1 4π π 得, × +φ=2kπ+ (k∈Z), 2 3 2

()
π 2

= 3,g

∴函数 y=g(x)在

π π π ∴φ=- +2kπ(k∈Z),又- <φ< , 6 2 2 π ∴φ=- . 6 ∴所求函数解析式为 y=f(x)=2sin

( ) [ ]
2π 3 π ,π 2 +m+1,

=2,g(π)=1,

上的最大值为 2,最小值为 1.

15.解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m =2sin (x≥0).

(2)方法一:将 y=f(x)=2 sin

( ) ( )
1 π x- 2 6 1 π x- 2 6

2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π ππ π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, k∈Z, 得- +kπ≤x≤ +kπ, k∈Z, 故 f(x)的单调增区间为 2 62 3 6

( )
π 2x+ 6

1 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到 y=g(x)= 2

2sin

( )
x-
π 6

的图象,

k∈Z.因此 f(x)在[0,π]上的单调递增区间为
(2)当 x∈

[ ][ ]
0, π 6 , 2π ,π 3

[

π π - +kπ, +kπ 3 6

]



.

π π π 5π ∵ ≤x≤π,∴ ≤x- ≤ , 2 3 6 6 π π 2π 当 x- = ,即 x= 时,g(x)有最大值 2; 6 2 3 π 5π 当 x- = ,即 x=π 时,g(x)有最小值 1. 6 6 方法二:将 y = f(x) = 2sin

2sin

( )
π x- 6

( )
1 π x- 2 6

1 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到 y = g(x) = 2

∴m 的值为 1. 【难点突破】 16.解:(1)由函数图象及函数模型 f (x)=Asin(ωx+φ),知 A=2; 1 7π π 由 T= - =π,得 T=2π, 2 6 6 2π ∴ω= =1,即 f(x)=2sin(x+φ),

[ ]
0, π 6

π 时, ∵f(x)单调递增, ∴当 x= 时, f(x)取得最大值为 m+3, 即 m+3=4, 解之得 m=1, 6

T

的图象,

1 把 (0,-1)代入上式,得 sinφ=- , 2

π 令 t=x- ,∵函数 y=2sint 的单调递增区间是 6

π ππ π 2π 由- +2kπ≤x- ≤ +2kπ,得- +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z, 2 62 3 3 设 A=

[

π π - +2kπ, +2kπ 2 2

]

,k∈Z,

π π π ∵- <φ< ,∴φ=- , 2 2 6 ∴所求函数的解析式为 y=f(x)=2sin

( )
x-
π 6

.

则 A∩B=

∴函数 y=g(x)在区间

[ ] ? ? | [ ] [ ]
π ,π 2 ,B=?x

? ?

π 2π - +2kπ≤x≤ 3 3

?Z +2kπ,k∈ , ? ?

? ?

(2)由(1)知 g(x)=f

( )
x+
π 6

=2sinx,

π 2π , 2 3





? ?α

π

g(x)dx=3,∴

? ?α

π

2sinxdx=-2cosx

?) ?

π
α=-2cosπ-(-2cos

1 α)=3,解得 cosα= , 2

π 2π , 2 3

上单调递增,

又实数 α 满足 0<α<π,则所求 α 的值为 . 3

π



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